文档内容
2017 年重庆市中考数学试卷（B卷）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5C．﹣ D．
2．（4分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）计算a5÷a3结果正确的是（ ）
A．aB．a2 C．a3 D．a4
4．（4分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．对某地区现有的16名百岁以上老人睡眠时间的调查
B．对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查
C．对某校九年级三班学生视力情况的调查
D．对某市场上某一品牌电脑使用寿命的调查
5．（4分）估计 +1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
6．（4分）若x=﹣3，y=1，则代数式2x﹣3y+1的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．4D．10
7．（4分）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x=3
8．（4分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（
）
A．1：4B．4：1C．1：2 D．2：1
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半
径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
第1页（共36页）A．4﹣2π B．8﹣ C．8﹣2π D．8﹣4π
10．（4分）下列图象都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第①个图形中
一共有4颗 ，第②个图形中一共有11颗 ，第③个图形中一共有21颗 ，…，
按此规律排列下去，第⑨个图形中 的颗数为（ ）
A．116 B．144 C．145 D．150
11．（4分）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平
面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡
CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物
AB 的高度约为（精确到 0.1 米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，
tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
12．（4分）若数a使关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且使
第2页（共36页）关于y的分式方程 + =2有非负数解，则所有满足条件的整数 a的值之和
是（ ）
A．3B．1C．0D．﹣3
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）据统计，2017年五一假日三天，重庆市共接待游客约为14300000人次，
将数14300000用科学记数法表示为 ．
14．（4分）计算：|﹣3|+（﹣4）0= ．
15．（4分）如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若
∠ABC=40°，则∠AOC= 度．
16．（4分）某同学在体育训练中统计了自己五次“1分钟跳绳”成绩，并绘制了
如图所示的折线统计图，这五次“1分钟跳绳”成绩的中位数是 个．
17．（4分）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，
乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，
乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间
的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需 分钟到达终点B．
第3页（共36页）18．（4分）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点
E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到
△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是
．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，
∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
20．（8分）中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某校初
二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优
秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完
整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
第4页（共36页）（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图
补充完整．
（2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选
两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求
出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
四、简答题（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）
21．（10分）计算：
（1）（x+y）2﹣x（2y﹣x）；
（2）（a+2﹣ ）÷ ．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例
函数y= （k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点
H，点O是线段CH的中点，AC=4 ，cos∠ACH= ，点B的坐标为（4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△BCH的面积．
第5页（共36页）23．（10分）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨
水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产
量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去
年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售
量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200
千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销
售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售
总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
24．（10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB=4 ，BE=5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，
当AF=DF时，求证：DC=BC．
五、解答题（本大题2个小题，第25小题10分、第26小题12分，共22分）
25．（10分）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不
第6页（共36页）为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对
调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111的商记为F
（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字
得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和为
213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都
是正整数），规定：k= ，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣ x﹣ 与x轴交于
A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，
n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连
接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求
KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y= x2﹣ x﹣ 沿x轴正方向平移得到
新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点
Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明
理由．
第7页（共36页）2017 年重庆市中考数学试卷（B 卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．（4分）5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5C．﹣ D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：5的相反数是﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上
“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是
0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．（4分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合．
3．（4分）计算a5÷a3结果正确的是（ ）
第8页（共36页）A．aB．a2 C．a3 D．a4
【分析】根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，求出
a5÷a3的计算结果是多少即可．
【解答】解：a5÷a3=a2
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相
减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②
单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a
可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
4．（4分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A．对某地区现有的16名百岁以上老人睡眠时间的调查
B．对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查
C．对某校九年级三班学生视力情况的调查
D．对某市场上某一品牌电脑使用寿命的调查
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不
大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普
查．
【解答】解：A、人数不多，容易调查，适合普查．
B、对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查必须准确，故必须
普查；
C、班内的同学人数不多，很容易调查，因而采用普查合适；
D、数量较大，适合抽样调查；
故选D．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是解题
的关键．
5．（4分）估计 +1的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【分析】先估算出 的范围，即可得出答案．
第9页（共36页）【解答】解：∵3＜ ＜4，
∴4＜ +1＜5，
即 +1在4和5之间，
故选C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出 的范围是解此题的关键．
6．（4分）若x=﹣3，y=1，则代数式2x﹣3y+1的值为（ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．4D．10
【分析】代入后求出即可．
【解答】解：∵x=﹣3，y=1，
∴2x﹣3y+1=2×（﹣3）﹣3×1+1=﹣8，
故选B．
【点评】本题考查了求代数式的值，能正确代入是解此题的关键，注意：代入负数
时要有括号．
7．（4分）若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x=3
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：∵分式 有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x≠3；
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
8．（4分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（
）
A．1：4B．4：1C．1：2 D．2：1
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
第10页（共36页）∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故选A
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的
关键．
9．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半
径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．4﹣2π B．8﹣ C．8﹣2π D．8﹣4π
【分析】用矩形的面积减去半圆的面积即可求得阴影部分的面积．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=CB=2，
∴S =S ﹣S =2×4﹣ π×22=8﹣2π，
阴影 矩形 半圆
故选C．
【点评】本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，能够了解两个扇形构成半
圆是解答本题的关键，难度不大．
10．（4分）下列图象都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第①个图形中
一共有4颗 ，第②个图形中一共有11颗 ，第③个图形中一共有21颗 ，…，
按此规律排列下去，第⑨个图形中 的颗数为（ ）
第11页（共36页）A．116 B．144 C．145 D．150
【分析】根据题意图形得出小星星的个数变化规律，即可的得出答案．
【解答】解：∵4=1×2+2，
11=2×3+2+3
21=3×4+2+3+4
第4个图形为：4×5+2+3+4+5，
∴第⑨个图形中 的颗数为：9×10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形变化规律，正确得出每个图形中小星星的变化情况
是解题关键．
11．（4分）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平
面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡
CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物
AB 的高度约为（精确到 0.1 米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，
tan20°≈0.364）（ ）
A．29.1米 B．31.9米 C．45.9米 D．95.9米
【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据
同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，
可得答案．
第12页（共36页）【 解 答 】 解 ： 作 DE⊥ AB 于 E 点 ， 作 AF⊥ DE 于 F 点 ， 如 图
，
设DE=xm，CE=2.4xm，由勾股定理，得
x2+（2.4x）2=1952，
解得x≈75m，
DE=75m，CE=2.4x=180m，
EB=BC﹣CE=306﹣180=126m．
∵AF∥DG，
∴∠1=∠ADG=20°，
tan∠1=tan∠ADG= =0.364．
AF=EB=126m，
tan∠1= =0.364，
DF=0.364AF=0.364×126=45.9，
AB=FE=DE﹣DF=75﹣45.9≈29.1m，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题
关键．
12．（4分）若数a使关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且使
关于y的分式方程 + =2有非负数解，则所有满足条件的整数 a的值之和
是（ ）
A．3B．1C．0D．﹣3
第13页（共36页）【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出﹣4＜a≤3，再解
分式方程 + =2，根据分式方程有非负数解，得到a≥﹣2且a≠2，进而得到
满足条件的整数a的值之和．
【解答】解：解不等式组 ，可得 ，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴﹣1≤﹣ ＜0，
∴﹣4＜a≤3，
解分式方程 + =2，可得y= （a+2），
又∵分式方程有非负数解，
∴y≥0，且y≠2，
即 （a+2）≥0， （a+2）≠2，
解得a≥﹣2且a≠2，
∴﹣2≤a≤3，且a≠2，
∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，
∴满足条件的整数a的值之和是1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题时注意：使分式方程中令等号左右两
边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）据统计，2017年五一假日三天，重庆市共接待游客约为14300000人次，
将数14300000用科学记数法表示为 1.43 × 1 0 7 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移
动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负
数．
第14页（共36页）【解答】解：14300000=1.43×107，
故答案为：1.43×107．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．（4分）计算：|﹣3|+（﹣4）0= 4 ．
【分析】分别计算﹣3的绝对值和（﹣4）的0次幂，然后把结果求和．
【解答】原式=3+1
=4．
【点评】本题考查了绝对值的意义和零指数幂．a0=1（a≠0）．
15．（4分）如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若
∠ABC=40°，则∠AOC= 8 0 度．
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周
角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
16．（4分）某同学在体育训练中统计了自己五次“1分钟跳绳”成绩，并绘制了
如图所示的折线统计图，这五次“1分钟跳绳”成绩的中位数是 18 3 个．
第15页（共36页）【分析】把这组数据从小到大排列，处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
【解答】解：由图可知，把数据从小到大排列的顺序是：180、182、183、185、186，中
位数是183．
故答案是：183．
【点评】此题考查了中位数和折线统计图，中位数是将一组数据从小到大（或从大
到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的
中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
17．（4分）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，
乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，
乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间
的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需 7 8 分钟到达终点B．
第16页（共36页）【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以
乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行
驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案．
【解答】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6
分钟，
甲的速度是1÷6= 千米/分钟，
由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，
设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得
10x+16× =16，
解得x= 千米/分钟，
相遇后乙到达A站还需（16× ）÷ =2分钟，
相遇后甲到达B站还需（10× ）÷ =80分钟，
当乙到达终点A时，甲还需80﹣2=78分钟到达终点B，
故答案为：78．
【点评】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题
关键．
18．（4分）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点
E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到
△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB边的中点，则△EMN的周长是
．
第17页（共36页）【分析】解法一：如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等
证明FQ=BQ=PE=1，△DEF是等腰直角三角形，利用勾理计算 DE=EF= ，PD=
=3，如图2，由平行相似证明△DGC∽△FGA，列比例式可得FG和CG
的长，从而得EG的长，根据△GHF是等腰直角三角形，得GH和FH的长，利用
DE∥GM证明△DEN∽△MNH，则 ，得EN= ，从而计算出△EMN各边的
长，相加可得周长．
解法二，将解法一中用相似得出的FG和CG的长，利用面积法计算得出，其它解
法相同．
解法三：作辅助线构建正方形和全等三角形，设EP=x，则DQ=4﹣x=FP=x﹣2，求x
的值得到PF=1，AE的长；由△DGC和△FGA相似，求AG和GE的长；证△GHF和
△FKM全等，所以GH=FK=4/3，HF=MK=2/3，ML=AK=10/3，DL=AD﹣MK=10/3，即
DL=LM，所以DM在正方形对角线DB上，设NI=y，列比例式可得NI的长，分别求
MN和EN的长，相加可得结论．
【解答】解：解法一：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，
∵DC∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，
∴PD=EQ，
∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，
第18页（共36页）∴△DPE≌△EQF，
∴DE=EF，
∵DE⊥EF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
易证明△DEC≌△BEC，
∴DE=BE，
∴EF=BE，
∵EQ⊥FB，
∴FQ=BQ= BF，
∵AB=4，F是AB的中点，
∴BF=2，
∴FQ=BQ=PE=1，
∴CE= ，PD=4﹣1=3，
Rt△DAF中，DF= =2 ，
DE=EF= ，
如图2，∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴ = =2，
∴CG=2AG，DG=2FG，
∴FG= × = ，
∵AC= =4 ，
∴CG= × = ，
∴EG= ﹣ = ，
连接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE=45°，
第19页（共36页）∴△GHF是等腰直角三角形，
∴GH=FH= = ，
∴EH=EF﹣FH= ﹣ = ，
由折叠得：GM⊥EF，MH=GH= ，
∴∠EHM=∠DEF=90°，
∴DE∥HM，
∴△DEN∽△MNH，
∴ ，
∴ = =3，
∴EN=3NH，
∵EN+NH═EH= ，
∴EN= ，
∴NH=EH﹣EN= ﹣ = ，
Rt△GNH中，GN= = = ，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM= + + = ；
解法二：如图3，过G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R，
∵AC平分∠DAB，
∴GK=GR，
∴ = = = =2，
第20页（共36页）∵ = =2，
∴ ，
同理， = =3，
其它解法同解法一，
可得：∴△EMN的周长=EN+MN+EM= + + = ；
解法三：如图4，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD，
∵AC是对角线，
∴EP=EQ，
易证△DQE和△FPE全等，
∴DE=EF，DQ=FP，且AP=EP，
设EP=x，则DQ=4﹣x=FP=x﹣2，
解得x=3，所以PF=1，
∴AE= =3 ，
∵DC∥AB，
∴△DGC∽△FGA，
∴同解法一得：CG= × = ，
∴EG= ﹣ = ，
AG= AC= ，
过G作GH⊥AB，过M作MK⊥AB，过M作ML⊥AD，
则易证△GHF≌△FKM全等，
∴GH=FK= ，HF=MK= ，
第21页（共36页）∵ML=AK=AF+FK=2+ = ，DL=AD﹣MK=4﹣ = ，
即DL=LM，
∴∠LDM=45°
∴DM在正方形对角线DB上，
过N作NI⊥AB，则NI=IB，
设NI=y，
∵NI∥EP
∴
∴ ，
解得y=1.5，
所以FI=2﹣y=0.5，
∴I为FP的中点，
∴N是EF的中点，
∴EN=0.5EF= ，
∵△BIN是等腰直角三角形，且BI=NI=1.5，
∴BN= ，BK=AB﹣AK=4﹣ = ，BM= ，MN=BN﹣BM= ﹣ = ，
∴△EMN的周长=EN+MN+EM= + + = ；
故答案为： ．
第22页（共36页）【点评】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相似的性质和
判定、勾股定理，三角函数，计算比较复杂，作辅助线，构建全等三角形，计算出
PE的长是关键．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
19．（8分）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，
∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．
第23页（共36页）【分析】由平行线的性质求出∠ABD=108°，由三角形的外角性质得出
∠ABD=∠ACD+∠BDC，即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：∵EF∥GH，
∴∠ABD+∠FAC=180°，
∴∠ABD=180°﹣72°=108°，
∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，
∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性
质是解决问题的关键．
20．（8分）中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富．某校初
二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优
秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完
整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
（1）扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 7 2 度，并将条形统计图补
充完整．
（2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选
两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求
第24页（共36页）出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
【分析】（1）由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应
的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即
可；
（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）360°（1﹣40%﹣25%﹣15%）=72°；
故答案为：72；
全年级总人数为45÷15%=300（人），
“良好”的人数为300×40%=120（人），
将条形统计图补充完整，
如图所示：
（2）画树状图，如图所示：
共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，
∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）= = ．
【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，
要熟练掌握．
四、简答题（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）
21．（10分）计算：
（1）（x+y）2﹣x（2y﹣x）；
第25页（共36页）（2）（a+2﹣ ）÷ ．
【分析】（1）按从左往右的顺序进行运算，先乘方再乘法；
（2）把（a+2}看成分母是1的分数，通分后作乘法，最后的结果需化成最简分式．
【解答】解：（1）（x+y）2﹣x（2y﹣x）
=x2+2xy+y2﹣2xy+x2
=2x2+y2；
（2）（a+2﹣ ）÷
=（ ）×
=
= ．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，运算过程中注意运算顺序．分式的运算
顺序：先乘方，再乘除，最后加减．有括号的先算括号里面的．注意分式运算的结
果需化为最简分式．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例
函数y= （k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点
H，点O是线段CH的中点，AC=4 ，cos∠ACH= ，点B的坐标为（4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△BCH的面积．
第26页（共36页）【分析】（1）首先利用锐角三角函数关系得出HC的长，再利用勾股定理得出AH
的长，即可得出A点坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出B点坐标，即可得
出一次函数解析式；
（2）利用B点坐标的纵坐标再利用HC的长即可得出△BCH的面积．
【解答】解：（1）∵AH⊥x轴于点H，AC=4 ，cos∠ACH= ，
∴ = = ，
解得：HC=4，
∵点O是线段CH的中点，
∴HO=CO=2，
∴AH= =8，
∴A（﹣2，8），
∴反比例函数解析式为：y=﹣ ，
∴B（4，﹣4），
∴设一次函数解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得： ，
∴一次函数解析式为：y=﹣2x+4；
第27页（共36页）（2）由（1）得：△BCH的面积为： ×4×4=8．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数解析式求法以及三角形面积求法
正确得出A点坐标是解题关键．
23．（10分）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨
水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产
量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去
年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售
量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200
千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销
售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售
总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进
而得出不等式求出答案；
（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱
桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．
【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，
根据题意得：400﹣x≤7x，
解得：x≥50，
答：该果农今年收获樱桃至少50千克；
（2）由题意可得：
100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，
令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，
整理可得：8y2﹣y=0
解得：y =0，y =0.125
1 2
∴m =0（舍去），m =12.5
1 2
第28页（共36页）∴m =12.5，
2
答：m的值为12.5．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确
表示出水果的销售总金额是解题关键．
24．（10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB=4 ，BE=5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，
当AF=DF时，求证：DC=BC．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC= AB=4，根据勾股定理得
到CE= =3，于是得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，
F ， C ， B 四 点 共 圆 ， 根 据 圆 周 角 定 理 得 到 ∠ CFB=∠ CAB=45° ， 求 得
∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AC=BC= AB=4，
∵BE=5，
∴CE= =3，
∴AE=4﹣3=1；
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
第29页（共36页）∵AF⊥BD，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴A，F，C，B四点共圆，
∴∠CFB=∠CAB=45°，
∴∠DFC=∠AFC=135°，
在△ACF与△DCF中， ，
∴△ACF≌△DCF，
∴CD=AC，
∵AC=BC，
∴AC=BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆，等腰直角三角形的性质，
勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
五、解答题（本大题2个小题，第25小题10分、第26小题12分，共22分）
25．（10分）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不
为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对
调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111的商记为F
（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字
得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和为
213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都
是正整数），规定：k= ，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出
结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方
程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可
第30页（共36页）求出F（s）、F（t）的值，将其代入k= 中，找出最大值即可．
【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；
F（617）=（167+716+671）÷111=14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，F（t）=（510+y+100y+51+105+10y）
÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴ 或 或 或 或 或 ．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴k的最大值为 ．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F（n）的定义式，
求出F（243）、F（617）的值；（2）根据s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，找
出关于x、y的二元一次方程．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣ x﹣ 与x轴交于
A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，
第31页（共36页）n）在抛物线上．
（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连
接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求
KM+MN+NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y= x2﹣ x﹣ 沿x轴正方向平移得到
新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点
Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明
理由．
【分析】（1）抛物线的解析式可变形为y= （x+1）（x﹣3），从而可得到点A和点
B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E
的坐标代入求得k和b的值，从而得到AE的解析式；
（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣ ，将点E的坐标代入求得m的值，从而得到
直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE与点F．设点P的坐标为（x， x2﹣
x﹣ ），则点F（x， x﹣ ），则FP= x2+ x．由三角形的面积公式
得到△EPC的面积=﹣ x2+ x，利用二次函数的性质可求得x的值，从而得
到点P的坐标，作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、
M．然后利用轴对称的性质可得到点G和点H的坐标，当点O、N、M、H在条直线
第32页（共36页）上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH；
（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点
G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF，FQ=FQ三种情况求解即可．
【解答】解：（1）∵y= x2﹣ x﹣ ，
∴y= （x+1）（x﹣3）．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
当x=4时，y= ．
∴E（4， ）．
设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得： ，
解得：k= ，b= ．
∴直线AE的解析式为y= x+ ．
（2）设直线CE的解析式为y=mx﹣ ，将点E的坐标代入得：4m﹣ = ，解得：
m= ．
∴直线CE的解析式为y= x﹣ ．
过点P作PF∥y轴，交CE与点F．
第33页（共36页）设点P的坐标为（x， x2﹣ x﹣ ），则点F（x， x﹣ ），
则FP=（ x﹣ ）﹣（ x2﹣ x﹣ ）= x2+ x．
∴△EPC的面积= ×（ x2+ x）×4=﹣ x2+ x．
∴当x=2时，△EPC的面积最大．
∴P（2，﹣ ）．
如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．
∵K是CB的中点，
∴k（ ，﹣ ）．
∴tan∠KCP= ．
∵OD=1，OC= ，
第34页（共36页）∴tan∠OCD= ．
∴∠OCD=∠KCP=30°．
∴∠KCD=30°．
∵k是BC的中点，∠OCB=60°，
∴OC=CK．
∴点O与点K关于CD对称．
∴点G与点O重合．
∴点G（0，0）．
∵点H与点K关于CP对称，
∴点H的坐标为（ ，﹣ ）．
∴KM+MN+NK=MH+MN+GN．
当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GH．
∴GH= =3．
∴KM+MN+NK的最小值为3．
（3）如图3所示：
∵y′经过点D，y′的顶点为点F，
第35页（共36页）∴点F（3，﹣ ）．
∵点G为CE的中点，
∴G（2， ）．
∴FG= = ．
∴当FG=FQ时，点Q（3， ），Q′（3， ）．
当GF=GQ时，点F与点Q″关于y= 对称，
∴点Q″（3，2 ）．
当QG=QF时，设点Q 的坐标为（3，a）．
1
由两点间的距离公式可知：a+ = ，解得：a=﹣ ．
∴点Q 的坐标为（3，﹣ ）．
1
综上所述，点Q的坐标为（3， ）或′（3， ）或（3，2 ）或
（3，﹣ ）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求一次函数的解析式、轴对称最短路径问题、等腰三角形的定义和性质，找到
KM+MN+NK取得最小值的条件是解答问题（2）的关键；分为QG=FG、QG=QF，
FQ=FQ三种情况分别进行计算是解答问题（3）的关键．
第36页（共36页）
