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2018 年江苏省扬州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项
中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应
位置上）
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．5D．﹣5
2．（3分）使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≥3D．x≠3
3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是
131分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则改日气温的极差是5℃
5．（3分）已知点A（x ，3），B（x ，6）都在反比例函数y=﹣ 的图象上，则下列关系
1 2
式一定正确的是（ ）
A．x ＜x ＜0B．x ＜0＜x C．x ＜x ＜0D．x ＜0＜x
1 2 1 2 2 1 2 1
6．（3分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到
y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）
7．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下
列结论一定成立的是（ ）
A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC
8．（3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，
CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．① C．①②D．②③
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把
答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法
表示为 ．
10．（3分）因式分解：18﹣2x2= ．
11．（3分）有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好
能搭成一个三角形的概率是 ．
12．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则 6m2﹣9m+2015的值为
．
13．（3分）用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的底面圆半径为 cm．
14．（3分）不等式组 的解集为 ．15．（3分）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB=
．
16．（3分）关于x的方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范
围是 ．
17．（3分）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，
4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ．
18．（3分）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：
y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算或化简
（1）（ ）﹣1+| |+tan60°
（2）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）20．（8分）对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b=2a+b．例如
3 4=2×3+4=10． ⊗ ⊗
（1）求2 （﹣5）的值；
⊗
（2）若x （﹣y）=2，且2y x=﹣1，求x+y的值．
⊗
21．（8分）江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了
⊗ ⊗
了解学生“最喜爱的省运动会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查
规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项
中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
最喜爱的省运会项目的人数调查统计表
最喜爱的项目 人数
篮球 20
羽毛球 9
自行车 10
游泳 a
其他 b
合计
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 ，a+b ．
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为 ．
（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．
22．（8分）4张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗
匀．
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b中的k；再
从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 y=kx+b中的b．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限
的概率．
23．（10 分）京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长
1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速
度的2倍，客车比货车少用6h，那么货车的速度是多少？（精确到0.1km/h）
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并
延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC= ，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为
圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP
的长．
26．（10分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本
为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每
天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范
围．
27．（12分）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，
求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察
发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此
类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么
∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 ；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使
BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
28．（12分）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，
6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从
点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为 ；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点
为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD= ∠MKQ？若存在，求
出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．2018 年江苏省扬州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项
中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应
位置上）
1．（3分）﹣5的倒数是（ ）
A．﹣ B． C．5D．﹣5
【分析】依据倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣5的倒数﹣ ．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．（3分）使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≥3D．x≠3
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x﹣3≥0，
解得x≥3，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键．
3．（3分）如图所示的几何体的主视图是（ ）A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层
左边一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
4．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2
B．了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查
C．小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是
131分
D．某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则改日气温的极差是5℃
【分析】直接利用中位数的定义以及抽样调查的意义和平均数的求法、极差的定
义分别分析得出答案．
【解答】解：A、一组数据2，2，3，4，这组数据的中位数是2.5，故此选项错误；
B、了解一批灯泡的使用寿命的情况，适合抽样调查，正确；
C、小明的三次数学成绩是126分，130分，136分，则小明这三次成绩的平均数是
130 分，故此选项错误；
D、某日最高气温是7℃，最低气温是﹣2℃，则改日气温的极差是7﹣（﹣2）=9℃，
故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中位数、抽样调查的意义和平均数的求法、极差，正确把
握相关定义是解题关键．
5．（3分）已知点A（x ，3），B（x ，6）都在反比例函数y=﹣ 的图象上，则下列关系
1 2式一定正确的是（ ）
A．x ＜x ＜0B．x ＜0＜x C．x ＜x ＜0D．x ＜0＜x
1 2 1 2 2 1 2 1
【分析】根据反比例函数的性质，可得答案．
【解答】解：由题意，得
k=﹣3，图象位于第二象限，或第四象限，
在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵3＜6，
∴x ＜x ＜0，
1 2
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数，利用反比例函数的性质是解题关键．
6．（3分）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M，点M到x轴的距离为3，到
y轴的距离为4，则点M的坐标是（ ）
A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）
【分析】根据地二象限内点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x=﹣4，y=3，
即M点的坐标是（﹣4，3），
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．
7．（3分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下
列结论一定成立的是（ ）
A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC
【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出
∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE 即可得出
∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A．
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE．
又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∴∠BEC=∠BCE，
∴BC=BE．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形外角的性质、余角、角平分线的定
义以及等腰三角形的判定，通过角的计算找出∠BEC=∠BCE是解题的关键．
8．（3分）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，
CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．① C．①②D．②③
【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；
（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；
（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．
【解答】解：由已知：AC= AB，AD= AE
∴
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△BAE∽△CAD
所以①正确∵△BAE∽△CAD
∴∠BEA=∠CDA
∵∠PME=∠AMD
∴△PME∽△AMD
∴
∴MP•MD=MA•ME
所以②正确
∵∠BEA=∠CDA
∠PME=∠AMD
∴P、E、D、A四点共圆
∴∠APD=∠EAD=90°
∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°
∴△CAP∽△CMA
∴AC2=CP•CM
∵AC= AB
∴2CB2=CP•CM
所以③正确
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判断．在等积式和比例式的证明中应注
意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程，请把
答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（3分）在人体血液中，红细胞直径约为0.00077cm，数据0.00077用科学记数法
表示为 7. 7 × 1 0 ﹣ 4 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一
个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00077=7.7×10﹣4，故答案为：7.7×10﹣4．
【点评】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中
1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（3分）因式分解：18﹣2x2= 2 （ x + 3 ）（ 3﹣ x ） ．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式=2（9﹣x2）=2（x+3）（3﹣x），
故答案为：2（x+3）（3﹣x）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法
是解本题的关键．
11．（3分）有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好
能搭成一个三角形的概率是 ．
【分析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以
及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、
4、5，共4种取法，
而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5，3种；
故其概率为： ．
【点评】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不
重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（3分）若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为 2018
．
【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2015=2018
故答案为：2018【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解
的定义，本题属于基础题型．
13．（3分）用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这
个圆锥的底面圆半径为 cm．
【分析】圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr= ，
解得r= cm．
故选： ．
【点评】本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：
1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
14．（3分）不等式组 的解集为 ﹣ 3 ＜ x ≤ ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀求出不等式组的解集即可．
【解答】解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤ ，
解不等式 ＞﹣2，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤ ，
故答案为：﹣3＜x≤ ．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不
等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无
解）．15．（3分）如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，则AB= 2
．
【分析】根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以
求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB=135°，
∴∠ADB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB=2，
∴AB=2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查三角形的外接圆和外心，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．（3分）关于x的方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，那么m的取值范
围是 m ＜ 且 m ≠ 0 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4﹣12m＞0且
m≠0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x+3=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m≠0，
∴4﹣12m＞0且m≠0，∴m＜ 且m≠0，
故答案为：m＜ 且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式
△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实
数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
17．（3分）如图，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，
4），把矩形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 （ ，﹣ ） ．
【分析】由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，
等量代换及等角对等边得到 BE=OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全
等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及
面积法求出DF与OF的长，即可确定出D坐标．
【解答】解：由折叠得：∠CBO=∠DBO，
∵矩形ABCO，
∴BC∥OA，
∴∠CBO=∠BOA，
∴∠DBO=∠BOA，
∴BE=OE，
在△ODE和△BAE中，
，
∴△ODE≌△BAE（AAS），∴AE=DE，
设DE=AE=x，则有OE=BE=8﹣x，
在Rt△ODE中，根据勾股定理得：42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，即OE=5，DE=3，
过D作DF⊥OA，
∵S = OD•DE= OE•DF，
△OED
∴DF= ，OF= = ，
则D（ ，﹣ ）．
故答案为：（ ，﹣ ）
【点评】此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟
练掌握折叠的性质是解本题的关键．
18．（3分）如图，在等腰Rt△ABO，∠A=90°，点B的坐标为（0，2），若直线l：
y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，则m的值为 ．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可列出相应的方程，从而可以求得m的值．
【解答】解：∵y=mx+m=m（x+1），
∴函数y=mx+m一定过点（﹣1，0），
当x=0时，y=m，
∴点C的坐标为（0，m），
由题意可得，直线AB的解析式为y=﹣x+2，
，得 ，
∵直线l：y=mx+m（m≠0）把△ABO分成面积相等的两部分，
∴ ，
解得，m= 或m= （舍去），
故答案为： ．
【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关
键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算或化简
（1）（ ）﹣1+| |+tan60°
（2）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）【分析】（1）根据负整数幂、绝对值的运算法则和特殊三角函数值即可化简求值．
（2）利用完全平方公式和平方差公式即可．
【解答】解：（1）（ ）﹣1+| |+tan60°
=2+（2﹣ ）+
=2+2﹣ +
=4
（2）（2x+3）2﹣（2x+3）（2x﹣3）
=（2x）2+12x+9﹣[（2x2）﹣9]
=（2x）2+12x+9﹣（2x）2+9
=12x+18
【点评】本题考查实数的混合运算和乘法公式，负整数指数幂的运算和相反数容
易混淆，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的
平方减去相反项的平方．
20．（8分）对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b=2a+b．例如
3 4=2×3+4=10． ⊗ ⊗
（1）求2 （﹣5）的值；
⊗
（2）若x （﹣y）=2，且2y x=﹣1，求x+y的值．
⊗
【分析】（1）依据关于“ ”的一种运算：a b=2a+b，即可得到2 （﹣5）的值；
⊗ ⊗
⊗ ⊗ ⊗
（2）依据x （﹣y）=2，且2y x=﹣1，可得方程组 ，即可得到x+y的值．
⊗ ⊗
【解答】解：（1）∵a b=2a+b，
∴2 （﹣5）=2×2+（﹣5）=4﹣5=﹣1；
⊗
（2）∵x （﹣y）=2，且2y x=﹣1，
⊗
⊗ ⊗
∴ ，
解得 ，∴x+y= ﹣ = ．
【点评】本题主要考查解一元一次方程组以及有理数的混合运算的运用，根据题
意列出方程组是解题的关键．
21．（8分）江苏省第十九届运动会将于2018年9月在扬州举行开幕式，某校为了
了解学生“最喜爱的省运动会项目”的情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查
规定每人从“篮球”、“羽毛球”、“自行车”、“游泳”和“其他”五个选项
中必须选择且只能选择一个，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表．
最喜爱的省运会项目的人数调查统计表
最喜爱的项目 人数
篮球 20
羽毛球 9
自行车 10
游泳 a
其他 b
合计
根据以上信息，请回答下列问题：
（1）这次调查的样本容量是 5 0 ，a+b 1 1 ．
（2）扇形统计图中“自行车”对应的扇形的圆心角为 72 ° ．
（3）若该校有1200名学生，估计该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数．
【分析】（1）依据9÷18%，即可得到样本容量，进而得到a+b的值；
（2）利用圆心角计算公式，即可得到“自行车”对应的扇形的圆心角；
（3）依据最喜爱的省运会项目是篮球的学生所占的比例，即可估计该校最喜爱的
省运会项目是篮球的学生人数．【解答】解：（1）样本容量是9÷18%=50，
a+b=50﹣20﹣9﹣10=11，
故答案为：50，11；
（2）“自行车”对应的扇形的圆心角= ×360°=72°，
故答案为：72°；
（3）该校最喜爱的省运会项目是篮球的学生人数为：1200× =480（人）．
【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统
计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占
总体的百分比大小．
22．（8分）4张相同的卡片分别写着数字﹣1、﹣3、4、6，将卡片的背面朝上，并洗
匀．
（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率是 ；
（2）从中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数y=kx+b中的k；再
从余下的卡片中任意抽取1张，并将所取卡片上的数字记作一次函数 y=kx+b中
的b．利用画树状图或列表的方法，求这个一次函数的图象经过第一、二、四象限
的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，利用一次获胜的性质，找出k＜0，b
＞0的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）从中任意抽取1张，抽到的数字是奇数的概率= ；
故答案为 ；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中k＜0，b＞0有4种结果，所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象限的概率= = ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能
的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事
件A或事件B的概率．也考查了一次函数的性质．
23．（10 分）京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，全长
1462km，是我国最繁忙的铁路干线之一．如果从北京到上海的客车速度是货车速
度的2倍，客车比货车少用6h，那么货车的速度是多少？（精确到0.1km/h）
【分析】设货车的速度是x千米/小时，则客车的速度是2x千米/小时，根据时间=
路程÷速度结合客车比货车少用6小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检
验后即可得出结论．
【解答】解：设货车的速度是x千米/小时，则客车的速度是2x千米/小时，
根据题意得： ﹣ =6，
解得：x=121 ≈121.8．
答：货车的速度约是121.8千米/小时．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的
关键．
24．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并
延长，交CB的延长线于点E，连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）若DC= ，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．
【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根
据BD=AD可得结论；（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CE，
∴∠DAF=∠EBF，
∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，
∴△AFD≌△BFE，
∴AD=EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵BD=AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB= ，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCB，
∴tan∠ABE=tan∠DCB=3，
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF，
∴tan∠ABE= =3，
∵BF= ，
∴EF= ，
∴DE=3 ，
∴S = •AB•DE= •3 =15．
菱形AEBD
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判
定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为
圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是A的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP
的长．
【分析】（1）作OH⊥AC于H，如图，利用等腰三角形的性质得AO平分∠BAC，再
根据角平分线性质得OH=OE，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）先确定∠OAE=30°，∠AOE=60°，再计算出AE=3 ，然后根据扇形面积公式，
利用图中阴影部分的面积=S ﹣S 进行计算；
△AOE 扇形EOF
（3）作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，利用两点之间线段最短
得到此时EP+FP最小，通过证明∠F′=∠EAF′得到PE+PF最小值为3 ，然后计算
出OP和OB得到此时PB的长．
【解答】（1）证明：作OH⊥AC于H，如图，
∵AB=AC，AO⊥BC于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH=OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵点F是AO的中点，
∴AO=2OF=3，
而OE=3，∴∠OAE=30°，∠AOE=60°，
∴AE= OE=3 ，
∴图中阴影部分的面积=S ﹣S = ×3×3 ﹣ = ；
△AOE 扇形EOF
（3）解：作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于P，如图，
∵PF=PF′，
∴PE+PF=PE+PF′=EF′，此时EP+FP最小，
∵OF′=OF=OE，
∴∠F′=∠OEF′，
而∠AOE=∠F′+∠OEF′=60°，
∴∠F′=30°，
∴∠F′=∠EAF′，
∴EF′=EA=3 ，
即PE+PF最小值为3 ，
在Rt△OPF′中，OP= OF′= ，
在Rt△ABO中，OB= OA= ×6=2 ，
∴BP=2 ﹣ = ，
即当PE+PF取最小值时，BP的长为 ．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直
线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最
短路径问题．
26．（10分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本
为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每
天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，
为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范
围．
【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润
和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的
值，根据增减性，求出x的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得： ，
解得： ．
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+700，
（2）由题意，得
﹣10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700），w=﹣10x2+1000x﹣21000=﹣10（x﹣50）2+4000，
∵﹣10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w =﹣10（46﹣50）2+4000=3840，
大
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w﹣150=﹣10x2+1000x﹣21000﹣150=3600，
﹣10（x﹣50）2=﹣250，
x﹣50=±5，
x =55，x =45，
1 2
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应
用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型
是解答本题的重点和难点．
27．（12分）问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N和E，C，DN和EC相交于点P，
求tan∠CPN的值．
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察
发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此
类问题，比如连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中．
问题解决
（1）直接写出图1中tan∠CPN的值为 2 ；
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，求cos∠CPN的值；
思维拓展
（3）如图3，AB⊥BC，AB=4BC，点M在AB上，且AM=BC，延长CB到N，使
BN=2BC，连接AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数．
【分析】（1）连接格点M，N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么
∠CPN就变换到Rt△DMN中．
（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．那么∠CPN就变换到等腰Rt△DMC中．
（3）利用网格，构造等腰直角三角形解决问题即可；
【解答】解：（1）如图1中，
∵EC∥MN，
∴∠CPN=∠DNM，
∴tan∠CPN=tan∠DNM，
∵∠DMN=90°，
∴tan∠CPN=tan∠DNM= = =2，
故答案为2．（2）如图2中，取格点D，连接CD，DM．
∵CD∥AN，
∴∠CPN=∠DCM，
∵△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DCM=∠D=45°，
∴cos∠CPN=cos∠DCM= ．
（3）如图3中，如图取格点M，连接AN、MN．
∵PC∥MN，
∴∠CPN=∠ANM，
∵AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠ANM=∠MAN=45°，
∴∠CPN=45°．
【点评】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理、直角三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思
想思考问题，属于中考压轴题．28．（12分）如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，
6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从
点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运
动停止．设运动时间为t秒．
（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为 （ ， 2 ） ；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点
为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD= ∠MKQ？若存在，求
出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P和Q的路程OP和AQ的长，再根
据中点坐标公式可得结论；
（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ与△PAQ相似时，存在两
种情况：
①当△PAQ∽△QBC时， ，②当△PAQ∽△CBQ时， ，分别列方程可
得t的值；
（3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x轴，
∴KM=KQ，KE⊥MQ，画出符合条件的点D，证明△KEQ∽△QMH，列比例式可得点
D的坐标，同理根据对称可得另一个点D．
【解答】解：（1）如图1，∵点A的坐标为（3，0），
∴OA=3，
当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4，∴P（2，0），Q（3，4），
∴线段PQ的中点坐标为：（ ， ），即（ ，2）；
故答案为：（ ，2）；
（2）如图1，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，
∴0＜t＜3，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠B=∠PAQ=90°
∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：
①当△PAQ∽△QBC时， ，
∴ ，
4t2﹣15t+9=0，
（t﹣3）（t﹣ ）=0，
t =3（舍），t = ，
1 2
②当△PAQ∽△CBQ时， ，
∴ ，
t2﹣9t+9=0，
t= ，
∵ ＞7，
∴x= 不符合题意，舍去，
综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是 或 ；
（3）当t=1时，P（1，0），Q（3，2），
把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得： ，
∴抛物线：y=x2﹣3x+2=（x﹣ ）2﹣ ，
∴顶点k（ ，﹣ ），
∵Q（3，2），M（0，2），
∴MQ∥x轴，
作抛物线对称轴，交MQ于E，
∴KM=KQ，KE⊥MQ，
∴∠MKE=∠QKE= ∠MKQ，
如图2，∠MQD= ∠MKQ=∠QKE，
设DQ交y轴于H，
∵∠HMQ=∠QEK=90°，
∴△KEQ∽△QMH，
∴ ，
∴ ，
∴MH=2，
∴H（0，4），
易得HQ的解析式为：y=﹣ x+4，
则 ，
x2﹣3x+2=﹣ x+4，
解得：x =3（舍），x =﹣ ，
1 2∴D（﹣ ， ）；
同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM= ∠MKQ=∠QKE，
由对称性得：H（0，0），
易得OQ的解析式：y= x，
则 ，
x2﹣3x+2= x，
解得：x =3（舍），x = ，
1 2
∴D（ ， ）；
综上所述，点D的坐标为：D（﹣ ， ）或（ ， ）．
【点评】本题是二次函数与三角形相似的综合问题，主要考查相似三角形的判定和性质的综合应用，三角形和四边形的面积，二次函数的最值问题的应用，函数
的交点等知识，本题比较复杂，注意用t表示出线段长度，再利用相似即可找到线
段之间的关系，代入可解决问题．
