东师附中26届二模数学_251121吉林省长春市东北师大附中2026届高三第二次摸底考试（全科）

数 学 试 题 考查时间：120分钟 满分：150分 一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A{∣x0 x2}，B ∣x x2 4x30 ，则A ð B （ ） R A．{x|1 x2} B．{x|0 x1} C．{x|0x2} D．{x|1 x2} 2.设a( 3 )  3 4，b( 4 )2，clog sin 5π ，则a，b，c的大小关系是（ ） 4 3 2 12 A．bac B．cba C．bca D．cab         3.设a,b是非零向量，则“存在实数λ，使得a=λb”是“ ab  a  b ”的 （ ） A．充分必要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件  5  4.已知幂函数 f xa2  a2xa的定义域为R，则 f a（ ）  2  1 A． B．1 C．4 D．8 2 2 5.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交点的纵坐标是 ，把的 3 π 终边绕端点O逆时针方向旋转 弧度，这时终边对应的角是，则cos2（ ） 2 1 1 4 5 4 5 A． B． C． D． 9 9 9 9 π 6.已知VABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，A ，点D是线段BC上一点，且 3 1 1 AD平分BAC，若AD1，则  （ ） b c 1 3 A．2 B． 3 C． D． 2 3 7.下面图1是某晶体阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2   中圆的半径均为1，且相邻圆都相切，A,B,C,D是其中四个圆的圆心，则ABCD（ ）． A．14 B．26 C．38 D．42 8.已知函数 f(x)k2x2 2k(x2)exe2x(k 0)，当ek时，函数 f(x)极值点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4二．选择题：本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列不等式正确的是（ ） 4 A． 6 3 5 2 B．sin2x 的最小值是4 sin2x C．若0a1，则 1  1 4 D．0log  x24x  2 a 1a 2 10.函数 f xsin2x2sinx，则（ ）  A．x 是 f x的一条对称轴 B．2是 f x的最小正周期 4 C． f x f x0 D． f x的最小值为 5 11．设函数 f xxa2x2aR ，则（ ） A．当a0时， f x在x0处取极大值 B．当a0时，方程 f xsin10有3个实根 C．当a2时，a是 f x的极大值点 D．存在实数a， f x f x1恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.   12．已知函数 f(x)3sin(2x)(|| )的图象向右平移 个单位长度后，得到函数g(x) 2 6 的图象，若g(x)是偶函数，则为 . 13. 已知向量a  ，b  满足a  b  |a  |，|2a  b  ||a  2b  |，|b  |1，则|a  | ． 14．已知函数 f xe2x ax2恰有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.  π 15．（13分）已知函数 f xcos2x 2 3cos2x 3.  6  π (1)求 f(x)在  0,  上的单调区间和值域；  2 5π 2π 3 (2)若x 0   12 , 3   ，且 f x 0  3 ，求cos2x 0 的值.16．（15分）已知函数 f xaxlnx1，aR． (1)当a2时，求函数 f x在点  1, f 1 处的切线方程； (2)讨论 f x的单调性； (3)若 f x有极大值，且极大值小于0，求a的取值范围． 17．（15分）已知函数 f xx23x，f n为数列a 的前n项和. n (1)求a 的通项公式； n  1  2 (2)记数列 的前n项和为T ，证明：T  . a n f2n  n n 7 18．（17分）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足c2bcosAb． (1)求证：A2B； 3 (2)若cosB ,a42c，求b； 4 3bc (3)求 的最小值． bcosB19．（17分）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形 成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”  x x   cec e c  exex 方程 ，其中c为参数．当c1时，就是双曲余弦函数chx ，类   y 2 2 exex 似地双曲正弦函数shx ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质． 2 (1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式 sin2x2sinxcosx；②平方关   sinx' cosx 系 sin2 xcos2 x1；③求导公式  ,写出双曲正弦和双曲余弦函数的一  cosx' sinx 个正确的性质并证明； π 3π (2)若x[ , ]，试比较cosh(sinx)与sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论； 4 2 (3)若x >0，x 0，证明： 1 2  chx 2 shx 2 x 2 1   ch x 1  sh x 1    sin x 1 x 2  sinx 1 x 2 cosx． 1