文档内容
2019年甘肃省天水市中考数学试卷
注：请使用office word软件打开，wps word会导致公式错乱
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（ ）
A. -3 B. -1 C. -1或-3 D. 1或-3
2. 自然界中的数学不胜枚举，如蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料，其厚度为0.000073
米，将0.000073用科学记数法表示为（ ）
A. 73×10-6 B. 0.73×10-4 C. 7.3×10-4 D. 7.3×10-5
3. 如图所示，圆锥的主视图是（ ）
A.
B.
C.
D.
4. 一把直尺和一块三角板ABC（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角
板的两直角边分别交于点D和点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点
A，且∠CED=50°，那么∠BFA的大小为（ ）
A. 145∘ B. 140∘ C. 135∘ D. 130∘
5. 下列运算正确的是（ ）
A. (ab) 2=a2b2 B. a2+a2=a4 C. (a2 ) 3=a5 D. a2 ⋅a3=a6
1
6. 已知a+b= ，则代数式2a+2b-3的值是（ ）
2
1
A. 2 B. -2 C. -4 D. -3
2
17. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机
向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为（
）
1 1 π π
A. B. C. D.
4 2 8 4
8. 如图，等边△OAB的边长为2，则点B的坐标为（ ）
A. (1,1)
B. (1,√3)
C. (√3,1)
D. (√3,√3)
9. 如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相
交于点E，连接AC、AE．若∠D=80°，则∠EAC的度数为（
）
A. 20∘
B. 25∘
C. 30∘
D. 35∘
10. 已知点P为某个封闭图形边界上一定点，动点M从点P出
发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点M的运动时间为
x，线段PM的长度为y，表示y与x的函数图象大致如图
所示，则该封闭图形可能是（ ）
A. B. C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 函数y=√x-2中，自变量x的取值范围是______．
1 2
12. 分式方程 - =0的解是______．
x-1 x
13. 一组数据2.2，3.3，4.4，11.1，a．其中整数a是这组数据中的中位数，则这组
数据的平均数是______．
14. 中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016
年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元．则该地区居民年人
均收入平均增长率为______．（用百分数表示）
15. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若M=4a+2b，N=a-
b．则M、N的大小关系为M______N．（填“＞”、“=”或
“＜”）
216. 如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、
y轴分别交于A、B两点，点B坐标为（0，2√3），OC与⊙D
交于点C，∠OCA=30°，则圆中阴影部分的面积为______．
17. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将
矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，
那么sin∠EFC的值为______．
18. 观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排
列的，依照此规律，第2019个图形中共有______个〇．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）
19. （1）计算：（-2）3+√16-2sin30°+（2019-π）0+|√3-4|
x x2-1
（2）先化简，再求值：（ -1）÷ ，其中x的值从不等式组
x2+x x2+2x+1
{ -x≤1
2x-1< 5 的整数解中选取．
20. 天水市某中学为了解学校艺术社团活动的开展情况，在全校范围内随机抽取了部
分学生，在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，围绕你最喜欢哪一
项活动（每人只限一项）进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整
的统计图．
请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了______名学生．
（2）请你补全条形统计图．
（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角为______度．
3（4）请根据样本数据，估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共多少名学
生？
4
21. 如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象交于A（m，4）、B（2，n）两
x
点，与坐标轴分别交于M、N两点．
（1）求一次函数的解析式；
4
（2）根据图象直接写出kx+b- ＞0中x的取值范围；
x
（3）求△AOB的面积．
22. 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙
PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决
定降低坡度，使新坡面的坡度为1：√3．（参考数据：√2=1.414，√3=1.732）
4（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化
墙PM是否需要拆除？请说明理由．
23. 天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，已知销售价不低
于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，
该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出
每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24. 如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．
过点A作⊙O的切线与
OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．
525. 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂
美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方
形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
26. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD
垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对
称轴，点F是抛物线的顶点．
（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；
（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l
向上平移到点C与点F重合，得到Rt△AOF，求此时Rt△AOF与矩形OCDE重叠
1 1 1 1
部分图形的面积；
（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△AOC，
2 2 2
Rt△AOC与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，
2 2 2
并写出自变量t的取值范围．
67答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：∵|a|=1，b是2的相反数，
∴a=1或a=-1，b=-2，
当a=1时，a+b=1-2=-1；
当a=-1时，a+b=-1-2=-3；
综上，a+b的值为-1或-3，
故选：C．
先根据绝对值和相反数得出a、b的值，再分别计算可得．
本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据相反数和绝对值的性质得出a、b的值．
2.【答案】D
【解析】
解：0.000073用科学记数法表示为7.3×10-5，
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科
学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前
面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由
原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】A
【解析】
解：圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：
故选：A．
主视图是从正面看所得到的图形即可，可根据圆锥的特点作答．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，主视图是从物体的
正面看得到的视图．
4.【答案】B
【解析】
解：∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°，
∵DE∥AF，
∴∠BFA=∠FDE=140°．
故选：B．
先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED=140°，然后根据平行线的性质得到
∠BFA的度数．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；
两直线平行，内错角相等．
5.【答案】A
【解析】
解：
A选项，积的乘方：（ab）2=a2b2，正确
B选项，合并同类项：a2+a2=2a2，错误
C选项，幂的乘方：（a2）3=a6，错误
8D选项，同底数幂相乘：a2•a3=a5，错误
故选：A．
根据合并同类项法则，同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数
相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，积的乘方，熟练掌握运算性质和
法则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】
解：
∵2a+2b-3=2（a+b）-3，
∴将a+b= 代入得：2× -3=-2
故选：B．
注意到2a+2b-3只需变形得2（a+b）-3，再将a+b= ，整体代入即可
此题考查代数式求值的整体代入，只需通过因式解进行变形，再整体代入即可．
7.【答案】C
【解析】
解：设正方形ABCD的边长为2a，
针尖落在黑色区域内的概率= = ．
故选：C．
用正方形的内切圆的面积的一半除以正方形的面积得到针尖落在黑色区域内的概率．
本题考查了几何概率：某事件的概率=某事件所占有的面积与总面积之比．
8.【答案】B
【解析】
解：过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，
∴OH=1，BH= ．
∴点B的坐标为（1， ）．
故选：B．
过点B作BH⊥AO于H点，∵△OAB是等边三角形，所以可求出OH和BH长．
本题主要考查了等边三角形的性质，以坐标系为背景，综合考查了勾股定理和坐标与
图形的性质．
9.【答案】C
【解析】
解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=80°，
∴∠ACB= ∠DCB= （180°-∠D）=50°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
9∴∠AEB=∠D=80°，
∴∠EAC=∠AEB-∠ACE=30°，
故选：C．
根据菱形的性质得到∠ACB= ∠DCB= （180°-∠D）=50°，根据圆内接四边形的性
质得到∠AEB=∠D=80°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，三角形的内角和，圆内接四边形的性质，熟练掌握菱形的性
质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】
解：y与x的函数图象分三个部分，而B选项和C选项中的封闭图形都有4条线段，其
图象要分四个部分，所以B、C选项不正确；
A选项中的封闭图形为圆，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减小，所以
A选项不正确；
D选项为三角形，M点在三边上运动对应三段图象，且M点在P点的对边上运动时，PM
的长有最小值．
故选：D．
先观察图象得到y与x的函数图象分三个部分，则可对有4边的封闭图形进行淘汰，
利用圆的定义，P点在圆上运动时，开始y随x的增大而增大，然后y随x的减小而减
小，则可对D进行判断，从而得到正确选项．
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，
通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问
题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
11.【答案】x≥2
【解析】
解：依题意，得x-2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负
数．
12.【答案】x=2
【解析】
解：
原式通分得： =0
去分母得：x-2（x-1）=0
去括号解得，x=2
经检验，x=2为原分式方程的解
故答案为x=2
先通分再去分母，再求解，最后进行检验即可
本题主要考查解分式方程，解分式方程主要将方程两边都乘最简公分母，可以把分式
方程转化为整式方程求解．
13.【答案】5
【解析】
解：∵整数a是这组数据中的中位数，
∴a=4，
10∴这组数据的平均数= （2.2+3.3+4.4+4+11.1）=5．
故答案为5．
先利用中位数的定义得到a=4，然后根据平均线的计算方法计算这组数据的平均数．
本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据
的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是
偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．也考查了算术平方根．
14.【答案】40%
【解析】
解：设该地区居民年人均收入平均增长率为x，
20000（1+x）2=39200，
解得，x=0.4，x=-2.4（舍去），
1 2
∴该地区居民年人均收入平均增长率为40%，
故答案为：40%．
根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得该地区居民年人均收入平均增长率，本
题得以解决．
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出
相应的增长率．
15.【答案】＜
【解析】
解：当x=-1时，y=a-b+c＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
M-N=4a+2b-（a-b）
=4a+2b+c-（a-b+c）＜0，
即M＜N，
故答案为：＜
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题
型．
16.【答案】2π-2√3
【解析】
解：连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
根据同弧对的圆周角相等得∠OBA=∠C=30°，
∵OB=2 ，
∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2 × =2，
AB=AO÷sin30°=4，即圆的半径为2，
∴S =S -S = - ×2×2 =2π-2 ．
阴影 半圆 △ABO
故答案为：2π-2 ．
连接AB，根据∠AOB=90°可知AB是直径，再由圆周角定理求出∠OBA=∠C=30°，由锐
角三角函数的定义得出OA及AB的长，根据S =S -S 即可得出结论．
阴影 半圆 △ABO
本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题
的关键．
114
17.【答案】
5
【解析】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=5，AB=CD=3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF=AD=5，EF=DE，
在Rt△ABF中，∵BF= =4，
∴CF=BC-BF=5-4=1，
设CE=x，则DE=EF=3-x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2=EF2，
∴x2+12=（3-x）2，解得x= ，
∴EF=3-x= ，
∴sin∠EFC= = ．
故答案为： ．
先根据矩形的性质得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，在
Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然
后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12=（3-x）2，解方程即可得到x，进一步得到EF
的长，再根据正弦函数的定义即可求解．
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状
和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
18.【答案】6058
【解析】
解：由图可得，
第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，
第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，
第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，
第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，
……
∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，
故答案为：6058．
根据题目中的图形，可以发现〇的变化规律，从而可以得到第2019个图形中〇的个数．
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利
用数形结合的思想解答．
1
19.【答案】解：（1）原式=-8+4-2× +1+4-√3
2
=-8+4-1+1+4-√3
=-√3；
x-x2-x x+1
（2）原式= •
x(x+1) x-1
12x x+1
=- •
x+1 x-1
x
= ，
1-x
{ -x≤1
解不等式组 2x-1< 5 得-1≤x＜3，
则不等式组的整数解为-1、0、1、2，
∵x≠±1，x≠0，
∴x=2，
2
则原式= =-2．
1-2
【解析】
（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组求出其整数解，再
选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式和实数的混合运算顺序和
运算法则及解一元一次不等式组的能力．
20.【答案】50 115.2
【解析】
解：（1）8÷16%=50，
所以在这次调查中，一共抽查了50名学生；
（2）喜欢戏曲的人数为50-8-10-12-16=4（人），
条形统计图为：
（3）扇形统计图中喜欢“乐器”部分扇形的圆心角的度数为360°× =115.2°；
故答案为50；115.2；
（4）1200× =288，
所以估计该校1200名学生中喜欢“舞蹈”项目的共288名学生．
（1）用喜欢声乐的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出喜欢戏曲的人数，然后补全条形统计图；
（3）用360度乘以喜欢乐器的人数所占得到百分比得到扇形统计图中喜欢“乐器”部
分扇形的圆心角的度数；
（4）用1200乘以样本中喜欢舞蹈的人数所占的百分比即可．
本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长
短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据
的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．
134
21.【答案】解：（1）∵点A在反比例函数y= 上，
x
4
∴ =4，解得m=1，
m
∴点A的坐标为（1，4），
4
又∵点B也在反比例函数y= 上，
x
4
∴ =n，解得n=2，
2
∴点B的坐标为（2，2），
又∵点A、B在y=kx+b的图象上，
{ k+b=4 { k=-2
∴ 2k+b= 2 ，解得 b= 6 ，
∴一次函数的解析式为y=-2x+6．
4
（2）根据图象得：kx+b- ＞0时，x的取值范围为x＜0或1＜x＜2；
x
（3）∵直线y=-2x+6与x轴的交点为N，
∴点N的坐标为（3，0），
1 1
S =S -S = ×3×4- ×3×2=3．
△AOB △AON △BON 2 2
【解析】
（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；
（2）根据题意，结合图象确定出x的范围即可；
（3）将△AOB的面积转化为S -S 的面积即可．
△AON △BON
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，熟练掌握待
定系数法是解本题的关键．
22.【答案】解：（1）∵新坡面坡角为α，
新坡面的坡度为1：√3，
1 √3
∴tanα= = ，
√3 3
∴α=30°；
（2）该文化墙PM不需要拆除，
理由：作CD⊥AB于点D，则CD=6米，
∵新坡面的坡度为1：√3，
CD 6 1
∴tan∠CAD= = = ，
AD AD √3
解得，AD=6√3米，
∵坡面BC的坡度为1：1，CD=6米，
∴BD=6米，
∴AB=AD-BD=（6√3-6）米，
又∵PB=8米，
∴PA=PB-AB=8-（6√3-6）=14-6√3≈14-6×1.732≈3.6米＞3米，
∴该文化墙PM不需要拆除．
【解析】
（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；
（2）根据题意和题目中的数据可以求得PA的长度，然后与3比较大小即可解答本题．
14本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角文题，解答本题的关键是明确题意，利用特殊
角的三角函数值和数形结合的思想解答．
23.【答案】解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，
{ 10k+b=30
将（10，30）、（16，24）代入，得： 16k+b= 24 ，
{ k=-1
解得： b= 40 ，
所以y与x的函数解析式为y=-x+40（10≤x≤16）；
（2）根据题意知，W=（x-10）y
=（x-10）（-x+40）
=-x2+50x-400
=-（x-25）2+225，
∵a=-1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤16，
∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【解析】
（1）利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；
（2）根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利
用二次函数的性质进一步求解可得．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根
据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
24.【答案】解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD=CD，
∴PA=PC，
在△OAP和△OCP中，
{OA=OC
∵ PA=PC，
OP=OP
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，
即OC⊥PC
15∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵AB=10，
∴OC=5，
由（1）知∠OCF=90°，
∴CF=OCtan∠COB=5√3．
【解析】
（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的
性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；
（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得
∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．
本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆
的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．
25.【答案】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
求证：AD2+BC2=AB2+CD2
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2．
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
{
AG=AC
在△GAB和△CAE中， ∠GAB=∠CAE，
AB=AE
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4√2，BE=5√2，
16∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，
∴GE=√73．
【解析】
（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应
用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
26.【答案】解：（1）∵抛抛线
y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B
（9，0）和C（0，4），
∴抛物线的解析式为y=a（x+3）
（x-9），
∵点C（0，4）在抛物线上，
∴4=-27a，
4
∴a=- ，
27
4
∴抛物线的解析式为：y=-
27
4 8
（x+3）（x-9）=- x2+ x+4，
27 9
∵CD垂直于y轴，C（0，4），
4 8
令- x2+ x+4=4，
27 9
解得，x=0或x=6，
∴点D的坐标为（6，4）；
（2）如图1所示，设AF交CD于点G，OF交CD于点H，
1 1
4 8
∵点F是抛物线y=- x2+ x+4的顶点，
27 9
16
∴F（3， ），
3
16 4
∴FH= -4= ，
3 3
∵GH∥AO，
1 1
∴△FGH∽△FAO，
1 1
GH FH
=
∴ ，
A O FO
1 1 1
4
∴GH 3 ，
=
3 4
解得，GH=1，
∵Rt△AOF与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形AOHG，
1 1 1 1
∴S =S -S
重叠部分 △A O F △FGH
1 1
1 1
= AO•OF- GH•FH
2 1 1 1 2
171 1 4
= ×3×4- ×1×
2 2 3
16
= ；
3
（3）①当0＜t≤3时，如图2所示，
设OC交OD于点M，
2 2
∵CO∥DE，
2 2
∴△OOM∽△OED，
2
O M OO
∴ 2 = 2，
DE OE
O M t
∴ 2 = ，
4 6
2
∴OM= t，
2 3
1 1 2 1
∴S=S = OO×OM= t× t= t2；
△OO 2 M 2 2 2 2 3 3
②当3＜t≤6时，如图3所示，设AC交OD于点M，OC交OD于点N，
2 2 2 2
将点D（6，4）代入y=kx，
2
得，k= ，
3
2
∴y= x，
OD 3
将点（t-3，0），（t，4）代入y=kx+b，
{ k(t-3)+b=0
得， kt+b= 4 ，
4 4
解得，k= ，b=- t+4，
3 3
4 4
∴直线AC的解析式为：y= x- t+4，
2 2 3 3
2 4 4
联立y= x与y= x- t+4，
OD 3 3 3
2 4 4
得， x= x- t+4，
3 3 3
解得，x=-6+2t，
4
∴两直线交点M坐标为（-6+2t，-4+ t），
3
故点M到OC的距离为6-t，
2 2
∵CN∥OC，
2
∴△DCN∽△DCO，
2
DC C N
∴ 2= 2 ，
CD OC
6-t C N
∴ = 2 ，
6 4
2
∴CN= （6-t），
2 3
18∴S=S =S -S
四边形A O NM △A O C △C MN
2 2 2 2 2 2
1 1
= OA•OC- CN（6-t）
2 2 2
1 1 2
= ×3×4- × （6-t）（6-t）
2 2 3
1
=- t2+4t-6；
3
1
{ t2 (0＜t≤3)
3
∴S与t的函数关系式为：S= ．
1
- t2+4t-6(3＜t≤6)
3
【解析】
（1）将点A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出该二次函数
表达式，因为CD垂直于y轴，所以令y=4，求出x的值，即可写出点D坐标；
（2）设AF交CD于点G，OF交CD于点H，求出顶点坐标，证△FGH∽△FAO，求出GH
1 1 1 1
的长，因为Rt△AOF与矩形OCDE重叠部分的图形是梯形AOHG，所以S =
1 1 1 1 重叠部分
-S ，即可求出结果；
△FGH
（3）当0＜t≤3时，设OC 交OD于点M，证△OOM∽△OED，求出OM= t，可直接求
2 2 2 2
出S= = OO×OM= t2；当3＜t≤6时，设AC 交OD于点M，OC 交OD于点
2 2 2 2 2 2
N，分别求出直线OD与直线AC 的解析式，再求出其交点M的坐标，证
2 2
△DCN∽△DCO，求出CN= （6-t），由S= = -
2 2
可求出S与t的函数表达式．
本题考查了待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等，解题
关键是能够根据题意画图，知道有些不规则图形的面积可转化为几个规则图形的面积
和或差来求出．
1920
