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2025 年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟
数 学
参考解析及评分标准
选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C A C B D D A B ACD BD ACD
填空题：
12. 13. 14.
参考解析：
1.解析： ， ,则集合 的真子集个数为7个，故选C.
2.解析： ，则 .故选A.
3.解析： .故选C.
4.解析：过点 作 的垂线，垂足为 ，则 ， ，则
该建筑物的高度 .故选B.
5.解析：因为直线 ，圆 所以， ，由于圆的半径为
2，所以恰好有3个对应的点 到直线 的距离等于 .故选D.
6.解析：因为 所以， .
故选D.
7.解析：因为 ，所以， ，
在 中，令 ，得 ，所以， ，则
（共8页） 第1页.故选A.
8.解析：在三角形 中，
所以， 设 的外接圆半径为 ，据正弦定
理：
；
设外接圆圆心为 G，过 G 作 ，则球心 必在垂线 上，连接 ,则
，
设 ，则可列： ，解之 ，则
所以，三棱锥 的外接球表面积为 .故选B.
9.解析：因为正实数 满足 ，对A选项： ，故A对；
对B选项： ， ，故B错；
对C选项：令 ，故C对；
对D选项： ，当且仅当 时，等号成立，故D对；
故选ACD.
10.【解析】对A. 当 时， ；
对B. 因为 ，所以点的轨迹为线段 ， 的最大值为 ；
对C. 因为 ，且 分 为三等分，所以 的中点到平面 的距离为
（共 10 页）第 2 页；
对D. 当 时， 与 重合，此时 与平面 所成角最小，其正弦值为
故选BD.
11.【解析】对A.当 ， ，令 ，可得 ，所以 ，故A对
对B. 当 时， 恒成立，令 ，可得 ，故B错；
对C. 法1：因为 ，所以 ，令 ，可得C对.
法2：构造函数 ，易证： 在 单调递增，
所以 ， ，可得 ，
可知， .故C对；
对D. 构造函数 ， ， ， ，所以
在 ，可得 ，令 ，所以 ，故D对
故选ACD.
12.【解析】 的展开式 的系数： ，
则展开式中 的系数为 .
13.【解析】 对一切实数均成立，所以当 时，显然成立；当 时， ，
解之， ；故 的取值范围为 .
14.【解析】在抛物线 中，若 ，则直线 过定点 ，故点 是以 为直径的圆上
的动点，其轨迹方程为： ，而点 又在圆 上，则 的
最大值为： .
（共8页） 第3页解答题：
15.解析：
（1）证明：因为 ，所以 ， 1分
在直三棱柱 中， ，
，所以 ， 3分
又因为 ， ，所以
又因为 ，所以 平面 . 5分
（2）建立以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴的空间直角坐标系.
由于 ， 分别是 的中点．则 ， ，
， ， 7分
设平面 的法向量为 ，
据（1）可知， ，所以 平面 ，
所以平面 的法向量为 ； 10分
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ；
令 ，可得 ； 11分
平面 和平面 的夹角的余弦值 .
故平面 和平面 的夹角的余弦值为 . 13分
（共 10 页）第 4 页16.解析：
（1）据题可得： ，当 时， ， 2分
两式子作差可得：
，
又 ，所以 ， 5分
当 时， ，
所以，数列 是以 为首项，2为公差的等差数列. 7分
（2）令 ，据（1）可知： .
所以 ； 则 ， 9分
得： ，
，
两式相减可得： 13分
所以 ，
综上所述，数列 的前n项和 . 15分
(0，+∞)
17.解析：（1）已知函数 的定义域为 ，
导函数 ，令 ，解得： ， ，
（共8页） 第5页所以点 到直线 距离的最小值 ； 5分
(0，+∞)
（2）若 ，定义域为
令 ，可得 ，
则函数 的零点的个数与 的零点个数相同； 7分
，
再令 ，则 ， 9分
所以 在 单调递减，又因为 .
∴ 在 单调递增；在 上单调递减，
则 ； 11分
当 . 12分
所以，当 时， 恒成立， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时， ， 在 和 分别有1个零点，
（共 10 页）第 6 页即 有2个零点；
当 时， ， 在 有1个零点，在 上， 恒成
立，即 只有1个零点；
14分
综上所述，当 时， 无零点；
当 时， 有1个零点；
当 时， 有2个零点. 15分
（ 其它解法酌情给分 ）
18.解析：（1）由题意知，该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值平均数为：
； 2分
该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为：
； 4分
（2）按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，则抽取3名男员工，2名女员工。
从这5名员工随机选择3人，记抽到男员工的人数为 ，可得 的取值为1，2，3.
可得 的分布列为：
1 2 3
（共8页） 第7页所以期望 ； 9分
（3）设第n天选择A餐厅用餐的概率为 .
则可列： . 11分
∴ ；
∴ 且 12分
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列.
∴ ， 14分
∴ ，即一年以后，员工选择A餐厅的概率约为 .
设400名员工选择A餐厅的人数为X， ， 15分
所以400名员工中选择A餐厅的平均人数约为 （人），
，A餐厅每天准备180人的用餐是不合理的. 17分
19.解析：（1）设 ， ，设 ，则 ， ，
且 ①， ②，
两式相减得： ，
，即 ． 3分
（共 10 页）第 8 页设椭圆 的方程： ，已知椭圆 过点
则 ，所以椭圆 的标准方程： . 4分
（2）椭圆 上存在两个不同的点 关于直线
对称，设 ，线段 的
中点 ， 则 ，
由题意知 ，
两式作差，变形可得： ，
即 ，又 ，解得： ，因为线段 的中点 在椭圆的内部，
所以 ，解得： 或 ，
综上可知， 的取值范围为： . 10分
（3）由已知得 ，不妨设 ，所以直线 的方程为： （其中
），
（共8页） 第9页与椭圆方程联立得 ，
由韦达定理 ，所以 ，
故 ；
同理可得： ， ，
所以 ，
所以直线 的斜率为 . 17分
（ 其它解法酌情给分 ）
（共 10 页）第 10 页
