文档内容
2022 年初中学业水平考试试卷
数学
注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟．
2．答题前，考生务必先将自己的考生号、姓名、座位号等信息填写在试卷和答题卡的指定位
置．请认真核对条形码上的相关信息后，将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
3．答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题只有一个正确选项，请将
答题卡上对应题自的答案标号涂黑．
1. 若 ，则m的值为（ ）
A. 8 B. 6 C. 5 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法运算计算 ，即可求解．
【详解】 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，即 （m、n为正整数），熟练掌握运算法则是
解题的关键．
2. 若a，b互为相反数，c的倒数是4，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根据a，b互为相反数，可得 ，c的倒数是4，可得 ，代入即可求解．【详解】∵a，b互为相反数，
∴ ，
∵c的倒数是4，
∴ ，
∴ ，
故选：C
【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得 ， 是解题的关键．
3. 若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都
乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的
方向改变，可得答案．
【详解】解：A、∵m＞n，∴ ，故本选项不合题意；
B、∵m＞n，∴ ，故本选项不合题意；
C、∵m＞n，∴ ，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴ ，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真
弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不
仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4. 几个大小相同，且棱长为1的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据该几何体的俯视图以及该位置小正方体的个数，可以画出左视图，从而求出左视图的面积；
【详解】由俯视图以及该位置小正方体的个数，左视图共有两列，第一列两个小正方体，第二列两个小正
方体，可以画出左视图如图，
所以这个几何体的左视图的面积为4
故选：B
【点睛】本题考查了物体的三视图，解题饿到关键是根据俯视图，以及该位置小正方体的个数，正确作出
左视图．
5. 2022年2月20日北京冬奥会大幕落下，中国队在冰上、雪上项目中，共斩获9金4银2铜，创造中国
队冬奥会历史最好成绩某校为普及冬奥知识，开展了校内冬奥知识竞赛活动，并评出一等奖3人．现欲从
小明等3名一等奖获得者中任选2名参加全市冬奥知识竞赛，则小明被选到的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，列出树状图，即可得出答案．
【详解】记小明为 ，其他2名一等奖为 ，
列树状图如下：故有6种等可能性结果，其中小明被选中得有4种，故明被选到的概率为 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
6. 若 是方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A. 3或 B. 或9 C. 3或 D. 或6
【答案】A
【解析】
【分析】结合根与系数的关系以及解出方程 进行分类讨论即可得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
,则两根为：3或-1，
当 时， ，
当 时， ，
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
7. 如图， 是 的两条直径，E是劣弧 的中点，连接 ， ．若 ，则
的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接OE，由题意易得 ，则有 ，然后可得 ，
进而根据圆周角定理可求解．
【详解】解：连接OE，如图所示：
∵OB=OC， ，
∴ ，
∴ ，
的
∵E是劣弧 中点，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键．
8. 在一次函数 中，y的值随x值的增大而增大，且 ，则点 在（ ）
A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限
【答案】B【解析】
【分析】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断A点所处的象限即可．
【详解】∵在一次函数 中，y的值随x值的增大而增大，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴点 在第三象限，
故选：B
【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
9. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上， 与 相交于点
E，连接 ，则 与 的周长比为（ ）
A. 1：4 B. 4：1 C. 1：2 D. 2：1
【答案】D
【解析】
【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明 ，最后利相
似三角形周长的比等于相似比即可求出．
【详解】如图：由题意可知， ， ，
∴ ，
而 ，
∴四边形DCBM为平行四边形，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识
并正确计算是解题关键．
10. 已知实数a，b满足 ，则代数式 的最小值等于（ ）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．
【详解】解：∵b-a=1，
∴b=a+1，
∴a2+2b-6a+7
=a2+2(a+1)-6a+7
=a2-4a+9
=(a-2)2+5，
∵(a-2)2≥0，
∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5是解题的关键．11. 如图，在 中， ，将 绕点C顺时针旋转得到 ，
其中点 与点A是对应点，点 与点B是对应点．若点 恰好落在 边上，则点A到直线 的距离
等于（ ）
A. B. C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过 作 于 求解 结合旋转：证明
可得 为等边三角形，求解 再应
用锐角三角函数可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于
由 ，
结合旋转：为等边三角形，
∴A到 的距离为3．
故选C
【点睛】本题考查的是旋转的性质，含 的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与
性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
12. 如图，在矩形 中， ，点E，F分别在 边上， ，AF与
相交于点O，连接 ，若 ，则 与 之间的数量关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出 ，再利用勾股
定理得出 ，即可得出答案．【详解】
过点O作OM⊥BC于点M，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
四边形ABFE是正方形，
，
，
，
，
由勾股定理得 ，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解
题的关键．
二、填空题：本大题共有7小题，每小题3分，共21分．请将答案填在答题卡上对应的横线
上．
13. 若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．【答案】 且
【解析】
【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；
分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．
14. 计算： ___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】分母相同，分子直接相加，根据完全平方公式的逆用即可得．
【详解】解：原式= ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加法，解题的关键是掌握完全平方公式．
15. 某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根
据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示：
专业知
候选人 通识知识 实践能力
识
甲 80 90 85
乙 80 85 90
根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定每人的最终成
绩，此时被录用的是___________．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】
【分析】分别计算甲和乙的加权平均数，进行比较，即可得到答案．【详解】甲的成绩为 （分），
乙的成绩为 （分），
，
被录用的是甲，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了加权平均数，如果n个数中， 出现 次， 出现 次，…， 出现 次（这里
），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为 ，
这样求得的平均数 叫做加权平均数，其中 叫做权，理解加权平均数的概念，掌握其公式是
解题的关键．
16. 如图，已知 的半径为2， 是 的弦．若 ，则劣弧 的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件可证 为直角三角形，得到 ，之后利用弧长公式即可得到答案．
【详解】解：由题知 ， ，
，
，劣弧 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查勾股定理，弧长的公式，掌握弧长的公式是解题的关键．
17. 若一个多项式加上 ，结果得 ，则这个多项式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设这个多项式为A，由题意得： ，求解即可．
【详解】设这个多项式为A，由题意得： ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
18. 如图，在 中， ， ，D为 边上一点，且 ，连接 ，
以点D为圆心， 的长为半径作弧，交 于点E（异于点C），连接 ，则 的长为___________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，根据题意得出 ，根据等腰三角形性质得出 ，根据
， ，得出 ，设 ，则 ，证明 ，得出，列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可得出 ．
【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：
根据作图可知， ，
∵DF⊥BC，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，平行线分线段成比例定理，平行线的判定，
作出辅助线，根据题意求出CF的长，是解题的关键．
19. 如图，反比例函数 在第一象限的图象上有 ， 两点，直线 与x轴相交于
点C，D是线段 上一点．若 ，连接 ，记 的面积分别为 ，
则 的值为___________．
【答案】4
【解析】
【分析】如图，连结BD，证明 再求解反比例函数为： ， 直线AB为：
再求解 再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，连结BD，，
而
在反比例函数图象 上，
即反比例函数为： ，
在反比例函数图象 上，
即
设直线AB为：
解得：
∴直线AB为：
当 时，为
故答案 ：4
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与 ，证明 是解本题
的关键．
三、解答题：本大题共有6小题，共3分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在
答题卡的对应位置．
20. 2022年3月28日是第27个全国中小学生安全教育日．某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，
从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试，测试后发现所有测试的学生成绩均不低于50分将全部测试成
绩x（单位：分）进行整理后分为五组（ ， ， ， ，
），并绘制成如下的频数直方图（如图）．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了___________名学生；（2）若测试成绩达到80分及以上为优秀，请你估计全校960名学生对安全知识的了解情况为优秀的学生
人数；
（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．
【答案】（1）40 （2）480人
（3）加强安全知识教育，普及安全知识；通过多种形式（课外活动、知识竞赛等），提高安全意识；结
合校内、校外具体活动（应急演练、参观体验、紧急救援等），提高避险能力
【解析】
【
分析】（1）根据频数分布直方图进行求解即可；
（2）由总人数乘以测试成绩达到80分及以上为优秀的比例即可求解；
（3）根据题意提出合理化建议即可．
【小问1详解】
由频数分布直方图可得，一共抽取： （人）
故答案为：40；
【小问2详解】
（人），
所以优秀的学生人数约为480人；
【小问3详解】
加强安全知识教育，普及安全知识；通过多种形式（课外活动、知识竞赛等），提高安全意识；结合校内、
校外具体活动（应急演练、参观体验、紧急救援等），提高避险能力．
【点睛】本题考查了频数直方图，用样本估计总体，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
21. 如图， 是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高 米．
某数学兴趣小组为测量建筑物 的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角 为 ，
再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角 为 ，已知 ，H，
G，B三点在同一水平线上，求建筑物 的高度．【答案】19米
【解析】
【分析】设 米．在 中，得到 ．在 中，得到 ， ．
根据 ，列方程 ．
【详解】解：如图．根据题意， ，
．
设 米．在 中，
∵ ，
∴ ．
在 中，∵ ，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∵ ，
∴ （米）．
答：建筑物 的高度为19米．
【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，锐角三角函数的应用，解题的关键是找出直角三角形，熟练利
用正切函数的定理求解．
22. 由于精准扶贫的措施科学得当，贫困户小颖家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市16天全部销售完．
小颖对销售情况进行统计后发现，在该草莓上市第x天（x取整数）时，日销售量y（单位：千克）与x之
间的函数关系式为 草莓价格m（单位：元/千克）与x之间的函数关系如图
所示．
（1）求第14天小颖家草莓的日销售量；
（2）求当 时，草莓价格m与x之间的函数关系式；（3）试比较第8天与第10天的销售金额哪天多？
【答案】（1）40千克
（2）
（3）第10天的销售金额多
【解析】
【分析】（1）把x=14代入 求出y值即可；
（2）用待定系数法求解，设m与x之间的函数关系式为 ，把(4,24),(12,16)代入，求出k，b值即
可求解；
（3）把x=8，x=10分别代入y=12x，求出y，再把x=8，x=10分别代入（2）问所求解析式求出m值，然后
分别求出my值，比较即可求解．
【小问1详解】
解：∵当 时， ，
∴当 时， （千克）．
∴第14天小颖家草莓的日销售量是40千克．
【小问2详解】
的
解：当 时，设草莓价格m与x之间 函数关系式为 ，
∵点 在 的图像上，
∴ 解得
∴函数关系式为 ．
【小问3详解】
解：∵当 时， ，
∴当 时， ，
当 时， ．∵当 时， ，
∴当 时， ，当 时， ．
∴第8天的销售金额为： （元），
第10天的销售金额为： （元）．
∵ ，
∴第10天的销售金额多．
【点睛】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，函数图像，能从函数图像获取有用作
息，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
23. 如图， 为 的切线，C为切点，D是 上一点，过点D作 ，垂足为F， 交
于点E，连接 并延长交 于点G，连接 ，已知 ．
（1）若 的半径为5，求 的长；
（2）试探究 与 之间的数量关系，写出并证明你的结论．（请用两种证法解答）
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得， ，根据 得 ，根据切线的性质得 ，即 ，根据题意得 ，则 ，即可得
，根据角之间的关系和边之间的关系得 是等边三角形，即可得∴ ，则
,根据题意得， ， ，在 中，根据锐角三角形函数即可得；
（2）方法一：根据题意和边、角之间得关系得， 为等边三角形，可得 ，在
中，根据直角三角形的性质得 ，即 ；方法二：连接 ，过点O作
，垂足为H，根据题意得， ，即四边形 是矩形，所以
， 根据等边三角形的性质得 ，根据边之间的关系得CE=OD，根据HL得
，即可得 ，所以 ，即可得 ．
【小问1详解】
解：如图所示，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ 为 的切线，C为切点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，垂足为F，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ 的半径为5，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴在 中， ．
【小问2详解】
，证明如下
证明：方法一：如图所示，∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴在 中， ，
∴ ，
即 ；
方法二：如图所示，连接 ，过点O作 ，垂足为H，
∴ ，
∵ ，∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴CE=OD，
∵ ，
在 和 中，
∴ （HL），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆的综合，平行线的判定与性质，锐角三角函数，等边三角形的判定与性质，矩形的
判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．
24. 如图，在平行四边形 中， 是一条对角线，且 ， ， ， 是 边
上两点，点 在点 的右侧， ，连接 ， 的延长线与 的延长线相交于点 ．（1）如图1， 是 边上一点，连接 ， ， 与 相交于点 ．
①若 ，求 的长；
②在满足①的条件下，若 ，求证： ；
（2）如图2，连接 ， 是 上一点，连接 ．若 ，且 ，
求 的长．
【答案】（1）① ；②证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①解：根据平行四边形 的性质可证 ，得到 ，再根据
， ， ，结合平行四边形的性质求出 的长，代入比例式即可求出 的
长；
②先根据 证明 可得 ，再根据 ， 求出 ，进一步
证明 ，最后利用等腰三角形的三线合一可证明结论．
（2）如图，连接 ，先根据 证明 ，再结合 ，说明
，利用平行线分线段成比例定理可得 ，接着证明 ，可得到 ，设 ，则 ，根据 构建方程求出 ，最后利用 可
得结论．
【小问1详解】
①解：如图，
∵四边形 是平行四边形， ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
②证明：∵ ，∴ ，
∵ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角
形的三线合一，平行线的判定及性质，平行线分线段成比例定理等知识．灵活运用相似三角形和全等三角
形的判定及性质是解答本题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，点B的坐标是 ，
顶点C的坐标是 ，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线 与y轴交于点G．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接 ，记 的面积分别为 ．
当 ，且直线 时，求证：点N与点M关于y轴对称；
（3）如图2，直线 与y轴交于点H，是否存在点M，使得 ．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）如图．过点M作 轴，垂足为D．当 与 都以 为底时，可得 ．
的
再求解 ， ，直线 解析式为 ．直线 的解析式为 ，可得
．从而可得答案；
（3）过点M作 轴，垂足为E．设 ，则 ．由
， 可得 ．同理可得
．再利用 ，建立方程方程即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与x轴交于点 ，顶点为 ，
∴ 解得
∴该抛物线的解析式为 ．
【小问2详解】
证明：如图．过点M作 轴，垂足为D．当 与 都以 为底时，
∵ ，∴ ．
当 时，则 ，
解得 ．
∵ ，∴ ，
∴ ．设点M的坐标为 ，
∵点M在第一象限，∴ ，
∴ ，∴ ．
设直线 的解析式为 ，
∴ 解得
∴直线 的解析式为 ．
设直线 的解析式为 ，
∵直线 ，∴ ，
∴ ，∵ ，∴ ．∴直线 的解析式为 ，将其代入 中，
得 ，∴ ，解得 ．
∵点N在第二象限，∴点N的横坐标为 ，
∴ ，∴ ．
∵ ，
∴点N与点M关于y轴对称．
【小问3详解】
如图．
存在点M，使得 ．理由如下：
过点M作 轴，垂足为E．
∵ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，∴ ．
在 和 中，
∵ ，∴ ，
∴ ．∵ ，∴ ，
在 和 中，∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
当 时， ，
∴ ．
∴存在点 ，使得 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，二次函数的性质，二次
函数与一次函数的交点坐标问题，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关
键．
