文档内容
★ 保密·启用前
★
吉林地区普通高中2023—2024学年度高三年级第二次模拟考试
数 学 试 题
说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合题目要求．
1．设集合 ，集合 ，则
A． B．
C． D．
2．在 个互不相等的数据中，记上四分位数为 ，中位数为 ，第 百分位数为 ，则
A． B．
C． D．
3．已知等差数列 满足 ，前 项和为 ，则
A． B． C． D．
4．已知函数 ，则 的图象不可能是
y y y y
A．O x B． O x C O ． x D．O x
5．过点 与圆 相切的两条直线夹角为 ，则
高三数学试题 第 1 页 （共 7 页）A． B．
C． D．
6．如图，位于某海域 处的甲船获悉，在其北偏东 方向 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救．
甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东 ，且与甲船相距 的 处的乙船，已知
遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为
A． 北
B C
B．
15
60
C．
A
D．
7．已知函数 ，则关于 的不等式 的解集为
A． B．
C． D．
8．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，左、右顶点分别为
，以 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点 ，且 ，则双曲线
的离心率为
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数 ，则
A．
高三数学试题 第 2 页 （共 7 页）B．
C．
D．若关于 的方程 的一个根为 ，则
10．已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，且 ， ，则
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
11．已知函数 的部分图象如图所示，则
A．
B．函数 在 上单调递减
C．方程 的解集为
D． 是函数 是奇函数的充分不必要条件
12．已知平面向量 ， ， ， ， ， ，且 ，则
A． 与 的夹角为
B． 的最大值为
C． 的最小值为
D．若 ，则 的取值范围是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．其中第15题的第一个空填对得2分，第二个
空填对得3分．
13．2023年9月，我国成功地举办了“杭州亚运会”．亚运会期间，某场馆要从甲、乙、丙、丁、戊
5名音效师中随机选取3人参加该场馆决赛的现场音效控制，则甲、乙至少有一人被选中的
概率为 ． M
y
14．如图， 是抛物线 上的一点， 是抛物线的焦点，
高三数学试题 第 3 页 （共 7 页） F
O x以 为始边、 为终边的角 ，且 ，则 ．
15．足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长．清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味．右面的几
何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，
④⑥是正方形，其中 ， ，若沿图中的虚线
折起，围成一个封闭几何体 ，则 的体积为 ； 的
外接球的表面积为 ．
16．若实数 满足 ，则称 为函数 与
的“关联数”．
若 且 与 在实数集 上有且只有 个“关联数”，则实数
的取值范围为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
我市近日开展供热领域民生问题“大调研、大起底、大整治、大提升”工作，在调查阶段，从
两小区一年供热期的数据中随机抽取了相同 天的观测数据，得到 两小区的同
日室温平均值如下图所示：
根据室内温度 （单位： ），将供热状况分为以下三个等级：
室内温度
高三数学试题 第 4 页 （共 7 页）供热等级 不达标 达标 舒适
（Ⅰ）试估计 小区当年（供热期 天）的供热状况为“舒适”的天数；
（Ⅱ）若 两小区供热状况相互独立，记事件 “一天中 小区供热等级优于 小区供
热等级”．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件 的
概率；
（Ⅲ）若从供热状况角度选择生活地区居住，你建议选择 中的哪个小区，并简述判断依
据．
18．（本小题满分12分）
三棱柱 中， ， ， 分别为
中点，且 ．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值．
C
1
E
B
19．（本小题满分12分）
已知 的三个内角 的对边分别为 ， 的外接圆半径为 ，
且 ．
高三数学试题 第 5 页 （共 7 页）（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的内切圆半径 的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知数列 满足 ， ．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的通项公式；
（Ⅲ）设 的前 项和为 ，若 ，求 .
21．（本小题满分12分）
设 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 短轴的一个顶
点，已知 的面积为 ， ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图， 是椭圆上不重合的三点，原点 是 的重心．
（ⅰ）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线 的距离；
（ⅱ）求点 到直线 的距离的最大值．
y
N
M
O x
高三数学试题 第 6 页 （共 7 页）
G22．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中， 的直角顶点 在 轴上，另一个顶点 在函数
的图象上．
（Ⅰ）当顶点 在 轴上方时，求 以 轴为旋转轴，边 和边 旋转一周形成的面
所围成的几何体的体积的最大值；
（Ⅱ）已知函数 ，关于 的方程 有两个不等实根
.
（ⅰ）求实数 的取值范围；
（ⅱ）证明： .
命题、校对：数学学科中心组
高三数学试题 第 7 页 （共 7 页）
