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专题 07 三角函数的图象与性质
（5 种经典基础练+6 种优选提升练）
三角函数的图象（共11题）
一、单选题
1．（23-24高一上·山东青岛·期末）当 时，函数 与 的图象所有交
点横坐标之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名
的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为
世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，
“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来
研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数 的图象如图所示，
则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高一上·福建三明·期末）函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）下列直线中，与函数 的图象不相交的是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·四川德阳·期末） ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（23-24高一上·宁夏银川·期末）下列关于函数 的说法错误的是（ ）
A．函数的图象关于点 中心对称 B．函数的定义域为
C．函数在区间 上单调递增 D．函数在区间 上单调递增
三、填空题
学科网（北京）股份有限公司7．（23-24高一上·上海·期末）若角 满足 ， ，则 ．
8．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数 且 ，写出满足条件的 的
一个值 ．
9．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数 在 上有且仅有 个零点，则
实数 的取值范围是 ．
四、解答题
10．（23-24高一上·青海海北·期末）已知函数 的部分图象
如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)求 的单调递增区间.
11．（23-24高一上·浙江衢州·期末）函数 的部分图象如图所
示.
学科网（北京）股份有限公司(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 在 上的值域.
三角函数的单调性（共16题）
一、单选题
1．（23-24高一上·陕西西安·期末）使得函数 为减函数，且值为负数的区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·河北沧州·期末）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知常数 ，函数 在区间 上单调，
则 不可能等于（ ）
A． B．2 C． D．
4．（23-24高一上·广东江门·期末）下列四个函数中，以 为周期，且在区间 上单调递减的
是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·北京大兴·期末）下列函数中，在区间 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知函数 在区间 上单调递减，则正实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的定义域为
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在定义域上是增函数
D．函数 的一个对称中心为
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数 的部分图象如图所示，则
下列选项错误的是（ ）
A．
B．函数 的单调增区间为
C．函数 的图象关于 中心对称
D．函数 的图象关于直线 对称
三、填空题
9．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知函数 在 上单调递增，则
的取值范围是 .
10．（23-24高一上·福建福州·期末）试写出一个函数 ，使其满足以下三个条件：函数的周期
为 ；函数的图象关于直线 对称；函数在 上单调递减.则 的解析式可以为：
．
11．（23-24高一上·天津滨海新·期末）已知函数 .
学科网（北京）股份有限公司（ⅰ）函数 的定义域为 ；
（ⅱ）若 是斜三角形的一个内角，则使不等式 成立的 的集合为 .
12．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数 ，若
恒成立，且 在区间 上单调递增，则 的取值范围为 .
四、解答题
13．（23-24高一上·广东阳江·期末）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2)求函数 的单调递增区间；
14．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）已知函数 ．
(1)求 的最小正周期；
(2)求 的单调区间．
15．（23-24高一上·安徽安庆·期末）将函数 的图象向右平移 个单位得到
学科网（北京）股份有限公司函数 的图象，且使 成立的 的最小值为 ．
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)设函数 ，求函数 的最大值．
16．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数 在 上单调递增．
(1)求 的取值范围：
(2)当 取最大值时，将 的图象向左平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的3
倍，得到 的图象，求 在 内的值域．
学科网（北京）股份有限公司三角函数的奇偶性（共11题）
一、单选题
1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·湖北·期末）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·河北承德·期末）函数 在区间 上的图象大致为（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
4．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）下列函数是偶函数，且在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·贵州毕节·期末）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
6．（23-24高一上·湖南长沙·期末）函数 （ 是常数，
）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．
B．在区间 上单调递增
C．将 的图象向左平移 个单位，所得到的函数是偶函数
D．
7．（23-24高一上·湖南永州·期末）在下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的有
（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·山西太原·期末）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小正周期
B． 的定义域为
C． 的值域为
D． 是奇函数
9．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数 ，下列说法中正确的有（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．是奇函数 B．在区间 上单调递增
C． 为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为
三、填空题
10．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数 ，若
，则
的最大值为 .
四、解答题
11．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数 （ ， ）的最小正
周期为 ．
(1)求 的值；
(2)求当 为偶函数时 的值；
(3)若 的图象过点 ，求 的单调递增区间．
三角函数的周期性（共10题）
一、单选题
1．（23-24高一上·湖北荆州·期末）下列函数中，周期为 的是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
2．（22-23高一上·江苏苏州·期末）下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调
递减的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·重庆·期末）下列函数中最小正周期为 ，且在区间 上单调递减的是
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）下列函数中，以 为最小正周期，且在区间 上单调递增
的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·甘肃陇南·期末）下列函数的周期为 的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
6．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数 的最小正周期为 ．
7．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数 的最小正周期是 ．
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知 ，则 .
四、解答题
9．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知函数 .
(1)把 化为 的形式，并求 的最小正周期；
(2)求 的单调递增区间.
10．（23-24高一上·四川德阳·期末）已知 ．
(1)求 的最小正周期及单调递减区间；
(2)当 ，求 的值域．
三角函数的对称性（共10题）
一、单选题
1．（23-24高一上·北京平谷·期末）如果函数 的一个零点是 ，那么 可以是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·贵州毕节·期末）下列函数中，以点 为对称中心的函数是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数 的对称中心是
，则 （ ）
A． B． C．3 D．0
二、多选题
4．（23-24高一上·河北·期末）关于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．图象关于直线 对称
C．图象关于点 对称 D．在区间 上单调递增
5．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数 的图象关于直线 对称，
则（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在区间 上单调递增 D．函数 在区间 上的值域为
6．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数 ，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 在 上单调递增
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象可由函数 的图象向右平移 个单位得到
学科网（北京）股份有限公司三、填空题
7．（23-24高一上·新疆阿克苏·期末）函数 的对称轴为 ．
8．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）写出函数 图象的一条对称轴方程: .
四、解答题
9．（23-24高一上·河南郑州·期末）设函数 ．
(1)求函数 的最小正周期及其图象的对称轴；
(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再向上平移1个单位得到函数 的图象，求函数
在 上的值域．
10．（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数 的一条对称轴为 ．
(1)求 的值；
(2)当 时，求 的单调递增区间
学科网（北京）股份有限公司三角函数大小比较（共5题）
一、单选题
1．（23-24高一上·北京密云·期末）已知 ， ， ，则“ ”的一个充分而不必要条件是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·浙江金华·期末）若实数 ，满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·江苏扬州·期末）若 且满足 ，设
， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数 ，记 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高一上·江苏常州·期末）下列不等式中，正确的有（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C． D．
三角函数不等式求解（共5题）
1．（23-24高一上·广东江门·期末）已知 .
(1)求 的单调递增区间及对称轴；
(2)求不等式 在 上的解集.
2．（23-24高一上·湖北荆州·期末）已知函数 ．
(1) 用“五点法”作出函数 在 上的图象；
(2)解不等式 ．
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高一上·四川绵阳·期末）已知函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间，并解不等式 ；
(2)关于 的方程 在 上有两个不相等的实数解 ，求实数 的取值范
围及 的值．
4．（22-23高一上·江苏南京·期末）如图所示，有一条“L”形河道，其中上方河道宽 ，右侧河
道宽 ，河道均足够长.现过点 修建一条长为 的栈道 ，开辟出直角三角形区域（图中
）养殖观赏鱼，且 .点 在线段 上，且 .线段 将养殖区域分为两
部分，其中 上方养殖金鱼， 下方养殖锦鲤.
学科网（北京）股份有限公司(1)当养殖观赏鱼的面积最小时，求 的长度；
(2)若游客可以在河岸 与栈道 上投喂金鱼，在栈道 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路
长度与投喂金鱼的道路长度之比不小于 ，求 的取值范围.
5．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数 的最小正周期
为 ，且其图象经过点 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)设 ，求不等式 的解集．
三角函数中的参数问题（共8题）
学科网（北京）股份有限公司1．（23-24高一上·山东聊城·期末）若 是三角形的一个内角，且函数 在区间
上单调，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数 （ ， ）的最小正周期
为 ，且 .给出下列判断：
①若 ，则函数 的图象关于直线 对称
②若 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
③若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是
④若 的图象与直线 在 上有且仅有1个交点，则 的取值范围是
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24高一上·江苏镇江·期末）已知函数 ， .甲：当 时，函
数 单调递减；乙：函数 关于直线 对称；丙：当 时，函数 单调递增；
丁：函数 图象的一个对称中心为 .甲、乙、丙、丁四人对函数 的论述中有且只
学科网（北京）股份有限公司有两人正确，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·陕西西安·期末）设函数 若存在 且
，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数 满足： ， ，都有
成立，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数 是偶函数
C．函数 是周期函数
D． ， ，若 ，则
6．（23-24高一上·全国·期末）已知函数 在区间 上单调递增,那么
实数ω的取值范围是 .
7．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知函数 的最小正周期为 ．
(1)求 的值，并求 的单调递减区间；
(2)求 在 上的值域．
学科网（北京）股份有限公司8.（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 ，且函数 在区
间 上的值域为 .
(1)求函数 的解析式；
(2)令函数 ，求函数 的单调递增区间.
三角函数中的最值问题（共24题）
1．（23-24高一上·天津·期末）音乐是用声音来表达人思想感情的一种艺术，是人类精神通过无意
识计算而获得的愉悦享受.法国的数学家傅里叶说：“任何声乐都是形如‘ ’的各项之
和”，其中每一项都代表一种有适当频率和振幅的简单声音.某音乐的数学模型可以用函数
表示，则下列结论中正确的个数是（ ）
① 是周期为 的周期函数
② 是函数 的一个单调递增区间
③若 ， ，则 的最小值为
学科网（北京）股份有限公司④ 的对称中心为 ，
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（23-24高一上·云南昆明·期末）设函数 ，已知 在 单调递增，下
列结论正确的是（ ）
A． 的值可能为1 B．
C．若 在 有且仅有1个零点 D．若 在 单调递减
3．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知函数 ，则（ ）
A．函数 的最大值为3
B．函数 的最小正周期为
C．函数 的图象关于直线 对称
D．函数 在 上单调递减
4．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知函数 ，有下列四个结论，其中正确的
结论为（ ）
A． 在区间 上单调递增 B． 是 的一个周期
C． 的值域为 D． 的图象关于y轴对称
5．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C．函数 的图象存在对称轴 D．函数 的图象存在对称中心
6．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知 在 上是单调函
数，对任意 满足 ，且 ．设函数 ，
，则（ ）
A．函数 是偶函数
B．若函数 在 上存在最大值，则实数a的取值范围为
C．函数 的最大值为1
D．函数 的图象关于直线 对称
7．（23-24高一上·山东德州·期末）已知函数 ，则 ；
若 在 上恒成立，则整数t的最小值为 ．
8．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数 与 在区间
单调性一致，则 的最大值为 ．
9．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数 ，对 都有
，且在 上单调，则 的取值集合为
学科网（北京）股份有限公司10．（23-24高一上·山东青岛·期末）设函数 ，若
，则 的最小值为 ．
11．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）已知函数 ，若存在 ， ，…， 满足
， ，且 ，
，当 取最小值时，则此时 的值为 ．
12．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期及对称轴；
(2)求 在区间 上的最值.
13．（23-24高一上·贵州安顺·期末）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求函数 的单调递减区间；
(2)若 ，且函数 在区间 上的值域为 ，求实数a，b的值.
14．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求函数 的最小正周期、图象的对称中心及其单调递减区间；
(2)求函数 在 上的最值及其对应的 的值．
15．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数 ， .
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)当 时，求 的最大值以及取得最大值时 的集合.
16．（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）已知函数
(1)用“五点法”画出函数在一个周期内的简图
(2)求函数 的单调增区间
(3)当 时，求函数 的最大值和最小值及相应x的值
学科网（北京）股份有限公司17．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数 ．
(1)求 的值；
(2)求函数 的单调递减区间；
(3)当 时，求 的最大值与最小值．
18．（23-24高一上·湖北荆门·期末）已知函数 .
(1)求 在 上的值域；
(2) ，若对 ， ，使得 ，求实数 的取值范围.
19．（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调递增区间；
(2)当 时，函数 的最大值为1，最小值为 ，求实数 的值.
学科网（北京）股份有限公司20．（23-24高一上·山东德州·期末）已知函数 ，当 时，
的最小值为 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求a的值及此时 的最大值．
21．（23-24高一上·安徽·期末）对于函数 ， 为函数定义域，若存在正常数 ，使得
对任意的 ，都有 成立，我们称函数 为“ 同比不增函数”.
(1)若函数 是“ 同比不增函数”，求 的取值范围；
(2)是否存在正常数 ，使得函数 为“ 同比不增函数”，若存在，求 的
取值范围；若不存在，请说明理由.
22．（23-24高一上·山西长治·期末）函数 的部分图象如图所
学科网（北京）股份有限公司示，该图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 为最高点， 的面积为 ．
(1)求函数 的解析式；
(2)若对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围．
23．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数 在区间 上的最大值
为3.
(1)求 的值；
(2)当 时， ，对于给定的实数 ，若方程 有解，则记该方程所有
解的和为 ，求 的所有可能取值.
学科网（北京）股份有限公司24．（23-24高一上·广东广州·期末）已知函数 图象的对称轴与对
称中心之间的最小距离为 ，且满足 .
(1)求 的解析式；
(2)已知函数 ，若有且只有一个实数 ，对于 ， ，使得
，求实数 的值.
三角函数中零点问题（共8题）
1．（23-24高一上·重庆渝中·期末）已知函数 在 上单调递增，
且在 上有且仅有1个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·湖南永州·期末）已知函数 在区间 上有且仅有两
个不同的零点，则（ ）
A． 在区间 上有两条对称轴
学科网（北京）股份有限公司B． 的取值范围是
C． 在区间 上单调递增
D．若 ，则
3．（23-24高一上·福建莆田·期末）已知函数 （ ），则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 是 的图象的对称中心
B．若 恒成立，则 的最小值为2
C．若 在 上单调递增，则
D．若 在 上恰有2个零点，则
4．（23-24高一上·浙江·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则
称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．
B．函数 有3个零点
C． 的最小正周期为
D． 的值域为
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数 在区间 上
单调，且满足 ；函数 在区间 上恰有5个零点，
则 的取值范围为 ．
6．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数 .
(1)求 的定义域；
(2)解不等式 ；
(3)求 在区间 上零点的个数.
7．（23-24高一上·上海·期末）已知 ， .
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若函数 恰有两个零点，求实数a的取值范围；
(3)证明： .
学科网（北京）股份有限公司8．（23-24高一上·浙江杭州·期末）设 ，函数 ， .
(1)讨论函数 的零点个数；
(2)若函数 有两个零点 ， ，试证明： .
三角函数中恒成立问题（共5题）
1．（23-24高一上·广东广州·期末）设函数 ．
(1)若 对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的方程 在 有实数解，求实数a的取值范围．
2．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数 对任意实数 ， 都有 ，则称
学科网（北京）股份有限公司其为“保积函数”.现有一“保积函数” 满足 ，且当 时， .
(1)判断“保积函数” 的奇偶性；
(2)若“保积函数” 在区间 上总有 成立，试证明 在区间 上单调递增；
(3)在（2）成立的条件下，若 ，求 ， 的解集.
3．（23-24高一上·河南许昌·期末）已知函数 为奇函数.
(1)求 的值；
(2)若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若 ，使得 成立，求实数 的
取值范围.
4．（23-24高一上·山西阳泉·期末）设函数 ．
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 ，则 在闭区间 上有实数解，求实数 的取值范围；
(3)若函数 的图象过点 ，且不等式 对任意 均成立，求实数 的取
值集合．
学科网（北京）股份有限公司5．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的对称中心；
(2)若 为奇函数，不等式 在 上恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若 过点 ，设 ，若对任意的 ， ，都有
，求实数a的取值范围.
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