黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025届高三第四次模拟考试数学_2025年6月_250602黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025届高三第四次模拟考试（全科）

哈三中 2025 年高三学年第四次模拟考试 数学试卷 考试说明：本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分． 考试时间为120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚． 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹 签字笔书写，字体工整，字迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案 无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第 I 卷 (选择题, 共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 已知全集U   xN x8  ，A 3,4,5 ，B 1,3,6 ，那么 2,7 是（ ） A．(C A)B B．A(C B) C．C (AB) D．(C A)(C B) U U U U U 1 2. 已知条件P:x1，Q: 1，则P是Q的（ ） x A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知随机变量X 服从标准正态分布N0,1，且PX a0.3，则Pa X 0（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6 4. 已知1i是关于x的实系数方程 x2 mxn 0的一个根（i为虚数单位）， 则n（ ） A. B. 2 C. D.3 1 5． 已知(a2x )n的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式 x 中x2的系数是（ ） A．4 B．8 C．32 D．64 高三数学 第 1 页 共 6 页 {#{QQABJYS5xgC4gBaACR5LUQGICEmQkJAgJWoMxRAYqA4KgBNIBIA=}#}6．直线xmy10与圆C:x2y22x30相交于A，B两点，当VABC面积最大时， m（ ） A．0 B．1 C．2 D．3   5 7． 已知函数 f(x)sin(2x) 3cos(2x)为奇函数，则y f(x) 在   ,  上的  6 24 最大值为( ) 3 6 2 A. B. 3 C. 31 D. 2 2 f x  8． 牛顿用“作切线”的方法求函数 f x零点时给出一个数列x ：x  x  n ， n n1 n fx  n 我们把该数列称为牛顿数列．如果函数 f xax2bxca0有两个零点1，2， x 2 数列x 为 f x的牛顿数列．设a ln n ，已知a 2，a 的前n项和为S ， n n x 1 1 n n n 则S 2等于（ ） 2025 A．2025 B．2026 C．22025 D．22026 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量e,e 为平面内两个单位向量，且 e 2e  3 ，则下列说法正确的有（ ） 1 2 1 2 1 A. e 在e 上的投影向量为 e 1 2 2 2 B. 2e 3e  19 1 2 C. e e 与e e 可以构成平面内所有向量的一组基底 1 2 1 2 D. e (e 2e ) 1 1 2 高三数学 第 2 页 共 6 页 {#{QQABJYS5xgC4gBaACR5LUQGICEmQkJAgJWoMxRAYqA4KgBNIBIA=}#}x2 y2 10．双曲线  1(a0)的左、右焦点分别为F ,F ，下列说法正确的有（ ） a2 16 1 2 A．若双曲线的两条渐近线互相垂直，则a2 16 B．过F 作渐近线l :4x  ay  0 的垂线，垂足为M ，若S 4，则双曲线 2 OF 2 M 离心率为 5 12 C．若双曲线的焦距为10，A为双曲线上一点，则A到两渐近线距离之积为 5    D．若点 为该双曲线上的一点，且 MF 1 MF 2 2 MO ，则S F 1 MF 2 16 11．已知棱长为2的正方体ABCDABC D 中，E,F分别是棱BC ,CC 的中点， 1 1 1 1 1 1 1 G为棱CD上一点，动点P在线段AD上，动点Q在正方形CDDC 内及其边界上， 1 1 1 且EQ  AB．记点Q的轨迹为曲线，则（ ） A．V V PD1EF ED1FD B．曲线的长度为 3 C．存在P,Q，使得PQ//平面ABC 1 D．当DG与只有一个公共点时，tanDGD2 1 1 第Ⅱ卷 (非选择题, 共92分) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 等比数列 a 的公比为2，若3a ，a 3，a 成等差数列，设S 为{a }的前n项和， n 1 2 3 n n 则S _________. 5 13. 4位学生被分配到A、B、C三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一 个地点学习，其中学生甲必须去A地，则共有______种不同分配方式（用数字作答）. 6x2,x1 14．已知函数 f x ，若存在实数a、b、cabc，满足2bac且 23x,x1 f  a  f  b  f  c  ，则ba_________. 高三数学 第 3 页 共 6 页 {#{QQABJYS5xgC4gBaACR5LUQGICEmQkJAgJWoMxRAYqA4KgBNIBIA=}#}四、解答题:本题共5小题, 共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题13分) 已知四棱锥P ABCD，PA 平面ABCD，底面ABCD是矩形，PA  AB 2， AD  4，M,N 分别是BC与PD的中点． (1)求证：MN //平面PAB ； P (2)求直线PB与平面AMN 所成角的正弦值； N (3)求点P到平面AMN 的距离． A D B M C 16．(本小题15分) 在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，m a,bc，n  3sinCcosC,1  ， mn2bc . (1) 求A； 11 5 7 3 3 (2) 若b1，D为线段BC的中点，请从①cosB ；②cosB ；③S  14 14 △ABC 4 这三个条件中选一个，使得ABC存在，求此时线段AD的长. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分 别解答，按第一个解答计分． 高三数学 第 4 页 共 6 页 {#{QQABJYS5xgC4gBaACR5LUQGICEmQkJAgJWoMxRAYqA4KgBNIBIA=}#}17．(本小题15分) 平面直角坐标系xOy中，已知曲线E上任意一点到点F2,0的距离比到直线x1 的距离大1． (1)求曲线E的方程； (2)过点F(2,0)作两条互相垂直的直线l、l ，直线l 与曲线E交于A、B两点，直线l 1 2 1 2 与曲线E交于C、D两点，求|AB|2 |CD|2的最小值． 18．(本小题17分) 已知 f  x  asinxx2lnxaxxsinxlnx．   (1)若 f x 有两个零点时，求a的取值范围；   2f x 2lnx (2)若 aeax  a恒成立，求实数a的最小值； xsinx x   1 f x xsinx (3)a 时，设g  x  ，判断g  x  在 0，上解的个数． e xlnxa 3 高三数学 第 5 页 共 6 页 {#{QQABJYS5xgC4gBaACR5LUQGICEmQkJAgJWoMxRAYqA4KgBNIBIA=}#}19．(本小题17分) 某医院对原有生命维持设备安装升级装置，安装后该升级装置的控制系统由 2k 1(kN)个相同的电子模块组成，每个模块正常工作的概率均为 p(0 p 1)， 各模块之间相互独立. 控制系统有不少于k个模块正常工作时升级装置正常运行，否 则升级装置不工作（原设备正常工作）. 升级装置正常运行的概率为 p （例如 p 表 k 3 示控制系统由5个模块组成时升级装置正常运行的概率）. (1) 若每个模块正常工作的概率为0.75. （i）计算 p ； 2 （ii）当k 3时，求控制系统中正常工作的模块个数X 的分布列和期望； (2) 已知设备安装升级装置前单位时间可维持患者生命体征的稳定率为60%，安装后 升级装置正常运行时有90%的概率触发“基础模式”，稳定率可提升至90%，有10% 的概率触发“高效模式”，稳定率可达95%. （i）用 p 表示安装升级装置后该设备的平均稳定率； k （ii）在确保模块总数为奇数的条件下，能否通过增加模块的数量来提高平均稳定 率？请说明理由. 高三数学 第 6 页 共 6 页 {#{QQABJYS5xgC4gBaACR5LUQGICEmQkJAgJWoMxRAYqA4KgBNIBIA=}#}