文档内容
2024 届培元中学高三年段 12 月份月考
数学试卷
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题只有一项是符合题目要求的．
.
1 已知 ，则 （ ）
A. 2 B. C. 4 D. 10
2. 已知直线 ： ， ： ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设 ，若 ，则实数 的取值范围为.
A. B. C. D.
4. 两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 ， ，则
在 上的投影向量的长度为（ ）
A. 10 B. C. D. 2
5. 已知函数 ，若 为奇函数，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 用1、2、3、4、5、6组成没有重复数字的六位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6不相邻，这样
的六位数有（ ）
A. 24个 B. 48个 C. 96个 D. 36个7. 设等比数列 的前 项和为 .已知 ， ，则 （ ）
A. B. 16 C. 30 D.
8. 已知抛物线 ，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线
的垂线，垂足为P，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．
9. 将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象关于 轴对称，则实数 的值可
能为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知椭圆 与双曲线 共焦点 ，设它们在第一象限的交点为 ，且
，则（ ）
A. 双曲线的实轴长为 B. 双曲线的离心率为
C. 双曲线的渐近线方程为 D. 双曲线在 点处切线的斜率为
11. 某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 （边长为2个单位）的顶
点 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为
，则棋子就按逆时针方向行走 个单位，一直循环下去．某人抛掷三次骰子后棋子恰好又
回到点 处，则（ ）的
A. 三次骰子后所走 步数可以是12 B. 三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C. 三次股子的点数之和超过10的走法有6种 D. 回到点 处的所有不同走法共有27种
12. 如图，在边长为 的正方体 中，点 ， 分别是棱 ， 的中点， 是棱
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 为 中点时，直线 平面
B. 当 为 中点时，直线 与 所成的角为
C. 若 是棱 上的动点，且 ，则平面 平面
D. 当 在棱 上运动时，直线 与平面 所成的角的最大值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题．
13. 已知 的展开式中 项的系数为_____________．
14. 已知数列 满足 , ，则 的最小值为____________．
15. 已知 是双曲线 的左焦点， 为坐标原点，过 且倾斜角为 的直线双曲线 的渐近线 交于 点，若 ，则双曲线 的离心率为_____________．
16. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 R，且满足 时，
．若不等式 在 上恒成立，则a的取值范围是__________,
四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步簿．
17. 在△ABC中，内角 的对边分别为 ，已知 ， ，角
为锐角．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，且△ABC的面积为 ，求 的值．
18. 已知函数 的图象恒过定点 ，且点 又在函数 的图
象上．
（1）求实数 的值；
（2）当方程 有两个不等实根时，求 的取值范围；
（3）设 ， ， ，求证： ， ．
19. 已知椭圆 ，长轴长为4， 分别为椭圆的左焦点、右焦点，椭圆上一点
满足 垂直于 轴，且 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）已知点 为该椭圆的左顶点，若斜率为 且不经过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且点在以线段 为直径的圆上，求证：直线 过定点．
20. 类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图 1，由射线 构成的
三 面 角 ， ， 二 面 角 的 大 小 为 ， 则
，
如图2，四棱柱 中， ， ，且 ，
.
（1）证明二面角 为直二面角，并求 的余弦值；
（2）在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由．
21. 如图，在我校即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，这条跑道一共由三个部
分组成，其中第一部分为曲线段ABCD，该曲线段可近似看作函数
， 的图象，图象的最高点坐标为 .第二部
分是长为1千米的直线段DE， 轴.跑道的最后一部分是以O为圆心的一段圆弧 .（1）若新校门位于图中的B点，其离AF的距离为1千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的万象
楼，求该学生走过的路BO的长；
（2）若点P在弧 上，点M和点N分别在线段 和线段 上，若平行四边形 区域为学生的
休息区域，记 ，请写出学生的休息区域 的面积S关于 的函数关系式，并求当 为何
值时， 取得最大值.
的
22. 已知 为坐标原点， 为直线 上 动点， 的平分线与直线 交于点
，记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）设 为曲线 上的两个动点，点 在第一象限，点 在第四象限，直线 分别过点 且与
曲线 相切， 为 的交点， 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值．2024 届培元中学高三年段 12 月份月考
数学试卷
友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，在每小题只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】A
二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】ABD
【11题答案】
【答案】BCD
【12题答案】
【答案】ACD
第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题．
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
【15题答案】
【答案】2
【16题答案】
【答案】
四、解答题：本题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步簿．
【17题答案】
【答案】（1） ；（2） ．
【18题答案】
【答案】（1） ；
（2） 的取值范围为 ；
（3）证明见解析
【19题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析
【20题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，点 在 的延长线上，且使
【21题答案】【答案】（1） 千米
（2） ；
【22题答案】
【答案】（1）
（2）
