文档内容
新高二开学摸底考试卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数、导数，三角函数、解三角形，平面向量
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（
）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】B
【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得.
【详解】相同的那一本有5种可能选法，不同的一本有 种可能选法，
故共有 种选法.
故选：B.
2．设随机变量 ，则 （ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.6
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性求解.
【详解】由于随机变量 ,所以 ，
又因为
所以 ，
所以 .
故选：B
3．2024年汤姆斯杯需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别负责语言服务、人员
引导、应急救助工作，其中甲、乙、丙3人不能负责语言服务工作，则不同的选法种数共有（ ）
A．102种 B．105种 C．210种 D．288种
【答案】C
【分析】先算从8名志愿者中任意选出3名的方法数，再减去甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作的方法数，即可得解.
【详解】先从8名志愿者中任意选出3名，
分别负责语言服务、人员引导、应急救助工作，有 种，
其中甲、乙、丙3人有一人负责语言服务工作，有 种，
故符合条件的选法共有 种.
故选：C
4．下列求导运算中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】借助导数的运算法则及复合函数求导法则计算即可得.
【详解】对A： ，故A正确；
对B： ，故B正确；
对C： ，故C错误；
对D： ，故D正确.
故选：C.
5．我国古代有很多数学家，其中刘徽、祖冲之、赵爽、贾宪、秦九韶为我国古代数学的发展做出了重要
贡献，若从上述五位数学家中任意抽取2位了解其著作，则抽到祖冲之的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，找到样本空间和抽到祖冲之事件 的样本点，根据古典概率求解.
【详解】记祖冲之为 ，其余4位数学家为 ，
则从五位数学家中任意抽取2位,样本空间为 ，
其中抽到祖冲之为 ，
所以抽到祖冲之的概率为 .
故选：A
6．若 的二项式展开式中 的系数为10，则 （ ）A．1 B．-1 C．±1 D．±2
【答案】A
【分析】由多项式的二项展开式的通项公式列出方程，求解即得.
【详解】由 的通项公式可知二项式展开式中 的系数为 ，
则得 ，解得 .
故选：A.
7．已知函数 ，其导函数 的图象如图所示，则对于 的描述正确的是（ ）
A．在区间 上单调递减
B．当 时取得最大值
C．在区间 上单调递减
D．当 时取得最小值
【答案】C
【分析】根据导数图象与函数图象的关系可得答案.
【详解】由图可知， 时， ， 为增函数；
时， ， 为减函数；当 时， 有极大值，不一定为最大值；
时， ， 为增函数；当 时， 有极小值，不一定为最小值；
时， ， 为减函数；
综上可得只有C正确.
故选：C
8．下列说法正确的序号是（ ）
①在回归直线方程 中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量 平均增加0.8个单位；
②利用最小二乘法求回归直线方程，就是使得 最小的原理；
③已知X，Y是两个分类变量，若它们的随机变量 的观测值k越大，则“X与Y有关系”的把握程度越
小；
④已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 .A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据回归方程的定义和性质即可判断①②；随机变量 的观测值越小，则“ 与 有关系”的
把握程度越小，即可判断③；根据正态曲线的对称性即可判断④
【详解】对于①，在回归直线方程 中，
当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 平均增加0.8个单位，故①正确；
对于②，用随机误差的平方和，即 ，
并使之达到最小，这样回归直线就是所有直线中 取最小值的那一条，
由于平方又叫二乘，所以这种使 “随机误差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法，
所以利用最小二乘法求回归直线方程，
就是使得 最小的原理，故②正确；
对于③，对分类变量 与 ，对它们的随机变量 的观测值越小，
则“ 与 有关系”的把握程度越小，故③错误；
对于④，随机变量 服从正态分布 ，且 ，
则 ，故④正确.
故选：D.
9．已知偶函数 ，则下列结论中正确的个数为（ ）
① ；② 在 上是单调函数；
③ 的最小值为 ；④方程 有两个不相等的实数根
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由偶函数的性质分析求出 ,根据复合函数的单调性，即可判断①，结合导数判断函数单调性即
可判断②，根据函数的单调性即可求解最值判断③,根据函数的最值即可判断④.
【详解】函数 是偶函数，
则有 ，
即 ，
，①正确；则 ，
设 ，由于 ，易知 在 上单调递增，则 ，
所以 在 上为增函数，
而 为 增函数，则 在 上是单调函数，②正确；
，当且仅当 时，等号成立，
则 的最小值为 ，③正确；
为偶函数且在 上为增函数，其最小值为 ，
由于 ，所以 ，故方程 没有实数根；④错误．
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10．若函数 在区间 内单调递减，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出导数 ，由题意得 在 上恒成立，由分离参数思想可得结果.
【详解】由 得 ，
由于函数 在区间 内单调递减，
即 在 上恒成立，即 ，
即得 在 恒成立，所以 .
故答案为：
11．已知 ，则 ， .
【答案】
【分析】利用赋值法分别令 和 代入计算即可求得结果.
【详解】令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
即 .
故答案为：
12．从0，1，2，3，4中选出3个数组成各位数字不重复的三位偶数，这样的数有 个.
【答案】30
【分析】根据题意，分 在个位与 不在个位 种情况讨论，分别求出每一种情况的三位偶数的个数，由加法原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分 种情况讨论：
① 在个位，在剩下的 个数字中任选 个，安排在百位、个位，有 种选法，
② 不在个位，需要在 、 中选 个，个位有 种选法， 不能在首位，则首位有 种选法，
则十位有 种选法，此时有 种选法，
则一共可以组成 个无重复数字的三位偶数.
故答案为：30
13．随着经济的不断发展，城市的交通问题越来越严重，为倡导绿色出行，某公司员工小明选择了三种出
行方式.已知他每天上班选择步行、骑共享单车和乘坐地铁的概率分别为0.2、0.3、0.5.并且小明步行上班
不迟到的概率为0.91，骑共享单车上班不迟到的概率为0.92，乘坐地铁上班不迟到的概率为0.93，则某天
上班小明迟到的概率是 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用对立事件及全概率公式计算即得.
【详解】记小明步行、骑共享单车、乘坐地铁上班的事件分别为 ，小明上班不迟到的事件为 ，
则 ，且 两两互斥，依题意， ，
，
因此 ，
所以某天上班他迟到的概率 .
故答案为：
14．已知 ， 的取值如表：
0 1 3 4
4.3 4.8 6.7
若 ， 具有线性相关关系，且回归方程为 ，则 ．
【答案】
【详解】将 代入回归方程为 ，可得
，应填答案 ．
点睛：解答这类问题的常规方法就是先求出 ，再借助这个点 的坐标满足回归
方程为 这一结论，将其代入回归方程可方程 ，然后通过解方程得到 ，使
得问题获解．
15．已知函数 ，若 ， ，则实数k的最大值是 ．【答案】
【分析】根据题意，转化为即 ，设 ，利用导数求得函数 单调性与最大值，即可求解.
【详解】由 ，可得 ，即 ，
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以，当 时， 取得最大值，最大值为 ，
因为 ， ，所以 ，所以实数 的最大值为 .
故答案为： .
三、解答题：本题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月
十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽
有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：
不喜爱 喜爱 合计
男性 90 120
女性 25
合计 200
附： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
(1)完成 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？
(2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽
取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是 ，且每道题正确完成与否
互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；
②设随机变量 表示戏迷乙正确完成题的个数，求 的分布列及数学期望．
【详解】（1）补全的 列联表如下：
不喜爱 喜爱 合计
男性 30 90 120
女性 25 55 80
合计 55 145 200
根据表中数据，计算得到 ，
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
因此我们可以认为 成立，即认为对该场活动的喜爱程度与性别无关．
（2）①记“戏迷甲至少正确完成其中3道题”为事件A，则
．
② 的可能取值为 ，
，
，
的分布列为；
X 2 3 4
P
数学期望 .
17．已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间和极值.
【详解】（1）函数 的定义域为R.
导函数 .
所以 ， ，所以函数 在点 处的切线方程为 ，即 .
（2）令 ，解得： 或 .列表得：
x 1 3
+ 2 +
单调递
单调递增 极大值 极小值 单调递增
减
所以函数 的单调增区间为 ， ；单调减区间为 ；
的极大值为 ，极小值为 .
18．为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队2人，甲、乙两人组成“冲锋队”
参加比赛，比赛共两轮．第一轮甲、乙两人各自先从“健康安全”题库中随机抽取一道题作答，每答对一
道题给该队加1分，没答对不加分，也不扣分．第二轮甲、乙两人各自再从“应急救援”题库中随机抽取
一道题作答，每答对一道题给该队加2分，没答对不加分，也不扣分．已知甲答对“健康安全”题库中题
目的概率为 ，答对“应急救援”题库中题目的概率为 ．乙答对“健康安全”题库中题目的概率为 ，
答对“应急救援”题库中题目的概率为 ，甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率；
(2)求“冲锋队”最终得分不超过4分的概率．
【详解】（1）设事件 为甲恰好答对一道题，事件 为乙恰好答对两道题
，
，
，
所以甲恰好答对一道题且乙恰好答对两道题的概率为 ．
（2）设事件 为“冲锋队”最终得6分，事件 为“冲锋队”最终得5分，
，
，
，所以“冲锋队”最终得分不超过4分的概率为 ．
19．本着健康低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时
间不超过两小时免费，超过两小时的部分，每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙
两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 ， ；两
小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 ， ；两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)求甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率；
(3)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列、均值 、方差
【详解】（1）由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为 ， ，
设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则 ，
所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为 ；
（2）若甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元，
则分为甲两小时以上且不超过三小时还车，且乙不超过两小时还车，
或者甲三小时以上且不超过四小时还车，且乙两小时以上且不超过三小时还车两种情况，
甲所付的租车费用比乙所付的租车费用多2元的概率为 ；
（3）X的可能取值为0，2，4，6，8，
，
， ，
分布列如下表：
X 0 2 4 6 8
P
数学期望 ，
.20．已知函数 ， ，其中 ．
(1)若 ，求实数a的值
(2)当 时，求函数 的单调区间；
(3)若存在 使得不等式 成立，求实数a的取值范围．
【详解】（1）因为 ，则 ，
由 可得 ，解得 .
（2）函数 的定义域为 ，
且 ，
当 时，令 ，可得 或 ，
①当 ，即 时，
对任意的 ， ， 的单调递增区间为 ．
②当 ，即 时，
，得 或 ， ，得 ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
③当 ，即 时
，得 或 ； ，得 ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
综上所述， 时，函数 的单调增区间为 ；
时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；
时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 .（3）由 ，可得 ，即 ，其中 ，
令 ， ，
若存在 ，不等式 成立，则 ， ，
，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
所以函数 在端点 或 处取得最小值．
因为 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因此，实数 的取值范围是 ．
