文档内容
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2023 年武汉市初中毕业生学业考试
数学试卷
亲爱的同学：
在你答题前，请认真阅读下面的注意事项．
1.本试卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成．全卷共6页，三大题，满
分120分．考试用时120分钟．
2.答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上
角填写姓名和座位号，将条形码横贴在答题卡第1页右上“贴条形码区”．
3.答第Ⅰ卷（选择题）时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标
号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．
4.答第Ⅱ卷（非选择题）时，答案用0.5毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上，答在“试
卷”上无效．
5.认真阅读答题卡上的注意事项．
预祝你取得优异成绩！
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在
答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 实数3的相反数是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解：实数3的相反数 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握知识点，只有符号不同的两个数互为相反数，是解题关键．
2. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（
）
1【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念即可解答．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3. 掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是（ ）
A. 点数的和为1 B. 点数的和为6
C. 点数的和大于12 D. 点数的和小于13
【答案】B
【解析】
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】解：A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意；
B、点数和为6，是随机事件，符合题意；
C、点数和大于12，是不可能事件，不符合题意；
D、点数的和小于13，是必然事件，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的
事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可
能发生也可能不发生的事件．
4. 计算 的结果是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．
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【详解】解： ，
故选：D．
【点睛】本题考查积的乘方与幂的乘方，熟练掌握积的乘方与幂的乘方运算法则是解题的关键．
5. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】它的左视图，即从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项A的
图形符合题意．
【详解】解：从该几何体的左侧看到的是两列，左边一列两层，右边一列一层，因此选项A的图形符合题
意，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确三视图的形状是正确判断的前提．
6. 关于反比例函数 ，下列结论正确的是（ ）
A. 图像位于第二、四象限
.
B 图像与坐标轴有公共点
C. 图像所在的每一个象限内， 随 的增大而减小
D. 图像经过点 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答．
【详解】解：A． 的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；
3【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
C． 的图像所在的每一个象限内， 随 的增大而减小，故该选项符合题意；
D． 由 的图像经过点 ，则 ，计算得 或 ，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键．
7. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，
随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为 ，画出树状图，找到所
有情况数和满足要求的情况数，利用概率公式求解即可．
【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为 ，画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能情况，他选择“100米”与“400米”两个项目即选择C和D的情况数共有
2种，
∴选择“100米”与“400米”两个项目的概率为 ，
故选：C
【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求
情况数是解题的关键．
8. 已知 ，计算 的值是（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
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【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把 代入原式即可求出答案．
【详解】解：
=
=
= ，
∵ ，
∴ ，
∴原式= =1，
故选A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
9. 如图，在四边形 中， ，以 为圆心， 为半径的弧恰好与 相切，切
点为 ．若 ，则 的值是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作 延长线于 点，连接 ，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理
求解在 和 ，最终得到 ，即可根据正弦函数的定义求解．
【详解】解：如图所示，作 延长线于 点，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 为矩形， ， ，
∴ 为 的切线，
由题意， 为 的切线，
∴ ， ，
∵ ，
∴设 ， ， ，
则 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
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∵ ，
∴ ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运
用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键．
10. 皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积 ，
其中 分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点
为格点．已知 ， ，则 内部的格点个数是（ ）
A. 266 B. 270 C. 271 D. 285
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据题意画出图形，然后求出 的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．
【详解】如图所示，
∵ ， ，
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∴ ，
∵ 上有31个格点，
上的格点有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
共10个格点，
上的格点有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
共19个格点，
∴边界上的格点个数 ，
∵ ，
∴ ，
∴解得 ．
∴ 内部的格点个数是271．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直
接填写在答题卡指定的位置．
11. 写出一个小于4的正无理数是________．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数估算的方法求解即可．
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【详解】解：∵ ，
∴ ．
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键．
12. 新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加
到 13.6 亿，参保率稳定在 95%．将数据 13.6 亿用科学记数法表示为 的形式，则 的值是
________（备注：1亿＝100000000）．
【答案】9
【解析】
【分析】将13.6亿= 写成 （ ，n为整数）的形式即可．
【详解】解：13.6亿= = ．
故答案为9．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，将原数写成 （ ，n为整数）的形式，确定a和n
的值是解答本题的关键．
13. 如图，将 的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，
OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将 的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上
沿的交点C在尺上的读数约为____cm
（结果精确到0.1 cm，参考数据： ， ， ）
【答案】2.7．
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【解析】
【详解】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角
函数值．
过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．
在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm．
∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵ ，∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
14. 我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者
先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程 （单位：步）关于善行
者的行走时间 的函数图象，则两图象交点 的纵坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】设图象交点 的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行者的
速度是善行者速度的 ．根据速度关系列出方程，解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：设图象交点 的纵坐标是m，由“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”可知不善行
10【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
者的速度是善行者速度的 ．
∴ ，
解得 ，
经检验 是方程的根且符合题意，
∴两图象交点 的纵坐标是 ．
故答案为：
【点睛】此题考查了从函数图象获取信息、列分式方程解决实际问题，数形结合和准确计算是解题的关键．
15. 抛物线 （ 是常数， ）经过 三点，且 ．下列四个结
论：
① ；
② ；
③当 时，若点 在该抛物线上，则 ；
④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ．
其中正确的是________（填写序号）．
【答案】②③④
【解析】
【分析】①根据图象经过 ， ，且抛物线与x轴的一个交点一定在 或 的右侧，判断出
抛物线的开口向下， ，再把 代入 得 ，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线 的右侧，得出抛物线的顶点在点 的右侧，得出 ，
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根据 ，即可得出 ，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 的右侧，得出 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，根据
，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出 ，把 代入 得
，即 ，求出 ，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据 ，
得出 ，求出m的取值范围，即可判断④正确．
【详解】解：①图象经过 ， ，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛
物线与x轴的两个交点都在 的左侧，
∵ 中 ，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在 或 的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即 ，
把 代入 得 ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，故①错误；
②∵ ， ， ，
∴ ，
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∴方程 的两个根的积大于0，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即抛物线的对称轴在直线 的右侧，
∴抛物线的顶点在点 的右侧，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
③∵ ，
∴当 时， ，
∴抛物线对称轴在直线 的右侧，
∴ 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
∵ ，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，
∴ ，故③正确；
④方程 可变为 ，
∵方程有两个相等的实数解，
∴ ，
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∵把 代入 得 ，即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 在抛物线上，
∴ ，n为方程 的两个根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
综上分析可知，正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知条件
判断得出抛物线开口向下 ．
16. 如图， 平分等边 的面积，折叠 得到 分别与 相交于 两点．
若 ，用含 的式子表示 的长是________．
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【答案】
【解析】
【分析】先根据折叠的性质可得 ， ，从而可得 ，再
根据相似三角形的判定可证 ，根据相似三角形的性质可得
， ，然后将两个等式相加即可得．
【详解】解： 是等边三角形，
，
∵折叠 得到 ，
，
， ，
平分等边 的面积，
，
，
又 ，
，
， ，
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，
，
解得 或 （不符合题意，舍去），
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似
三角形的判定与性质是解题关键．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过
程、演算步骤或画出图形．
17. 解不等式组 请按下列步骤完成解答．
（1）解不等式①，得________；
（2）解不等式②，得________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
的
（4）原不等式组 解集是________．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析 （4）
【解析】
【分析】（1）直接解不等式①即可解答；
（2）直接解不等式①即可解答；
（3）在数轴上表示出①、②的解集即可；
（3）数轴上表示的不等式的解集，确定不等式组的解集即可．
【小问1详解】
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解： ，
．
故答案为： ．
【小问2详解】
解： ，
．
故答案为： ．
【小问3详解】
解：把不等式 和 的解集在数轴上表示出来：
【小问4详解】
解：由图可知原不等式组的解集是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和在数轴上表示不等式的解集是
解答本题的关键．
18. 如图，在四边形 中， ，点 在 的延长线上，连接 ．
（1）求证： ；
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（2）若 平分 ，直接写出 的形状．
【答案】（1）见解析 （2）等边三角形
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质得到 ，已知 则 ，可判定
即可得到 ；
（2）由 ， 得到 ，由 平分 ，得到
，进一步可得 ，即可证明 是等边三角形．
【小问1详解】
证明： ，
∴ ，
，
．
【小问2详解】
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知
识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
18【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
19. 某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间 （单位：
）作为样本，将收集的数据整理后分为 五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，
0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
组
时间 频数
别
5
20
15
8
各组劳动时间的扇形统计图
请根据以上信息解答下列问题．
（1）A组数据的众数是________；
（2）本次调查的样本容量是________，B组所在扇形的圆心角的大小是________；
（3）若该校有 名学生，估计该校学生劳动时间超过 的人数．
【答案】（1）
（2）60，
（3） 人
【解析】
【分析】（1）根据众数是一组数据中出现次数最多的数据进行求解即可；
（2）利用D组的频数除以对应的百分比即可得到样本容量，利用样本容量减去 A、C、D、E组的频数得
19【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
到B组的频数，再用 乘以B组占样本的百分比即可得到B组所在扇形的圆心角的大小；
（3）用该校所有学生数乘以样本中劳动时间超过 的人数的占比即可估计该校学生劳动时间超过 的人
数．
【小问1详解】
解：∵A组的数据为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，共有5个数据，出现次数最多的是0.4，共出现了3次，
∴A组数据的众数是 ；
故答案为：0.4
【小问2详解】
由题意可得，本次调查的样本容量是 ,
由题意得 ，
∴B组所在扇形的圆心角的大小是 ，
故答案为：60，
【小问3详解】
解： （人）．
答：该校学生劳动时间超过 的大约有860人．
【点睛】此题考查了扇形统计图和频数分布表的信息关联，还考查了众数、样本容量、用样本估计总体等
知识，读懂题意，找准扇形统计图和频数分布表的联系，准确计算是解题的关键．
20. 如图， 都是 的半径， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的半径．
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【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得出， ，再根据 ，
即可得出结论；
（2）过点 作半径 于点 ，根据垂径定理得出 ，证明
，得出 ，在 中根据勾股定理得出 ，在
中，根据勾股定理得出 ，求出 即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
．
【小问2详解】
解：过点 作半径 于点 ，则 ，
，
∴ ，
，
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
在 中，
，
在 中， ，
，
，即 的半径是 ．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是作
出辅助线，熟练掌握圆周角定理．
21. 如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形 四个顶点都是格点
是 上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段 绕点 顺时针旋转 ，画对应线段 ，再在 上画点 ，并连接
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，使 ；
（2）在图（2）中， 是 与网格线的交点，先画点 关于 的对称点 ，再在 上画点 ，并
连接 ，使 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）取格点F，连接BF，连接 ，再取格点P，连接 交 于Q，连接 ，延长交
于G即可．
（2）取格点F，连接BF、 ，交格线于N，再取格点P，Q，连接 交 于O，连接 并延长交
于H即可．
【小问1详解】
解：如图（1）所示，线段 和点G即为所作；
∵ ， ， ，
∴
∴
∴
∴线段 绕点 顺时针旋转 得 ；
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
由旋转性质得 ， ，
∴ ．
【小问2详解】
解：如图（2）所示，点N与点H即为所作．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
∵
∴ 与 关于 对称，
∵
∴M、N关于 对称；
∵ ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
∵
∴
∴
∴
∴
由轴对称可得
∴ ．
【点睛】本题考查利用网格作图，轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定与性质．取恰当
的格点是解题的关键．
22. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离 （单
位： ）以、飞行高度 （单位： ）随飞行时间 （单位： ）变化的数据如下表．
飞行时间 0 2 4 6 8 …
飞 行 水 平 距 离 2
0 10 30 40 …
0
4
飞行高度 0 22 54 64 …
0
探究发现： 与 ， 与 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出 关于 的函数解析
式和 关于 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据
上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域 ．若飞机落到 内（不包括端点 ），
求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
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【答案】探索发现： ；问题解决：（1） ；（2）大于 且小于
【解析】
【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：（1）令二次函数 代入函数解析式即可求解；
（2）设发射平台相对于安全线的高度为 ，则飞机相对于安全线的飞行高度 ．结合
，即可求解.
【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设 ， ，
由题意得： ， ，
解得： ，
∴ ．
问题解决（1） 解：依题总，得 ．
解得， （舍）， ，
当 时， ．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为 ．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为 ，飞机相对于安全线的飞行高度 ．
，
，
，
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
在 中，
当 时， ；
当 时， ．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于 且小于 ．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分
析转变成数学模型．
23. 问题提出：如图（1）， 是菱形 边 上一点， 是等腰三角形， ，
交 于点 ，探究 与 的数量关系．
问题探究：
的
（1）先将问题特殊化，如图（2），当 时，直接写出 大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求 与 的数量关系．
问题拓展：
（3）将图（1）特殊化，如图（3），当 时，若 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）延长 过点F作 ，证明 即可得出结论．
（2）在 上截取 ，使 ，连接 ，证明 ，通过边和角的关系即可证明．
（3）过点A作 的垂线交 的延长线于点 ，设菱形的边长为 ，由（2）知，
，通过相似求出 ，即可解出．
【小问1详解】
延长 过点F作 ，
∵ ，
，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
故答案为： ．
【小问2详解】
解：在 上截取 ，使 ，连接 ．
，
，
．
，
．
．
，
．
．
29【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问3详解】
解：过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，设菱形的边长为 ，
．
在 中，
，
．
，由（2）知， ．
．
，
，
，
在 上截取 ，使 ，连接 ，作 于点O．
30【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
由（2）知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
．
【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相
似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．
24. 抛物线 交 轴于 两点（ 在 的左边），交 轴于点 ．
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（1）直接写出 三点的坐标；
（2）如图（1），作直线 ，分别交 轴，线段 ，抛物线 于 三点，连接 ．
若 与 相似，求 的值；
（3）如图（2），将抛物线 平移得到抛物线 ，其顶点为原点．直线 与抛物线 交于 两
点，过 的中点 作直线 （异于直线 ）交抛物线 于 两点，直线 与直线 交于
点 ．问点 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2） 的值为2或
（3）点 在定直线 上
【解析】
【分析】（1）令 ，解一元二次方程求出 值可得 、 两点的坐标，令 求出 值可得 点坐
标，即可得答案；
（2）分 和 两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出
值即可得答案；
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（3）根据平移的性质可得 解析式，联立直线 与 解析式可得点 坐标，即可得出 中点 的
坐标，设 ，利用待定系数法可得直线 的解析式为 ，同理得出
直线 的解析式为 ，联立两直线解析式可得 ，设点 在直线
上，把点 代入，整理比较系数即可得出 、 的值即可得答案，也
可根据点 的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案．
【小问1详解】
∵抛物线解析式为 ，
∴当 时， ，当 时， ，
解得： ， ，
∴ ， ， ．
【小问2详解】
解： 是直线 与抛物线 的交点，
，
①如图，若 时，
，
∴
，
∴ ，
33【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得， （舍去）或 ．
②如图，若 时．过 作 轴于点 ．
，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴
，
∴ ， ，
，
∴ ，
解得， （舍去）或 ．
34【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
综上，符合题意的 的值为2或 ．
【小问3详解】
解：∵将抛物线 平移得到抛物线 ，其顶点为原点，
∴ ，
∵直线 的解析式为 ，
∴联立直线 与 解析式得： ，
解得： （舍去）， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
设 ，直线 的解析式为 ，
则 ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵直线 经过点 ，
∴
同理，直线 的解析式为 ；直线 的解析式为 ．
35【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
联立，得 ，
解得： ．
∵直线 与 相交于点 ，
．
设点 在直线 上，则 ，①
整理得， ，
比较系数得： ，
解得： ，
∴当 时，无论 为何值时，等式①恒成立．
∴点 在定直线 上．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，
熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键．
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