点石联考2025年10月高二数学巩固卷(1)_1多考区联考_251025点石联考2025年10月高二巩固卷（全）

数学考后巩固卷 高二 2025 年 10 月版 姓名： 班级： 强化记忆 举一反三 步步为赢 点石成金 点石联考出题中心点石联考 巩固卷采集了所有学生的考试数据，运用人工智能技术诊断出 每道题的知识点，通过“算法推荐+专家干预”精准推送习题， 提供与试卷同结构的巩固卷供您追踪效果，巩固卷每道原题衍 生1道基础题、3到巩固题、1道提升题，助力您精准高效提升！ 1.及时分析，明确薄弱点  错题复盘：逐题分析错误原因（审题不清、知识点遗忘、计算失误等），用不同颜色标注错题类型。  统计归类：按知识点或题型分类整理错题（如函数、几何、语法、实验设计），统计高频失分模块， 明确需优先突破的薄弱环节。 2. 针对性突破 ， 夯实基础  知识补漏：针对错题涉及的课本概念、公式、定理，重新梳理核心内容，结合例题理解应用场景。  专项训练：根据错题类型，精选同类题目进行限时练习（如每天10道同类题），强化解题思维和熟练 度。 3. 构建思维框架 ， 提炼方法  思路对比：对比参考答案与自己的解题步骤，标注关键思路差异（如是否遗漏隐含条件、逻辑跳步）。  总结模板：针对高频题型（如阅读理解主旨题、数学压轴题），归纳通用解题步骤或答题模板。 4. 模拟应用 ， 检验效果  变式训练：将原题条件或设问方式稍作改动，自主改编1-2道同类题，测试是否真正掌握核心逻辑。  限时重测：1-2周后重做巩固卷，对比正确率变化，重点关注反复出错的题目。 5. 长期规划 ， 动态调整  建立档案：将错题整理成电子文档或活页本，标注错误日期和重做结果，形成个人学习轨迹。  定期回顾：每周抽取10分钟复习错题本，考前集中筛查易错点，避免重复错误。点石联考 小题 满分 零分人 题号 知识点 人数 平均分 难度 标准差 区分度 分值 人数 数 1 交集及其运算 49995 5 4.85 96.91 0.87 0.1 48448 1547 2 函数奇偶性的性质 49995 5 4.24 84.82 1.79 0.44 42405 7590 3 命题的真假判断与应用 49995 5 3.39 67.72 2.34 0.41 33857 16138 必要条件、充分条件与充要条件 4 49995 5 3.33 66.51 2.36 0.49 33251 16744 的判断 5 不等式的综合 49995 5 2.46 49.11 2.5 0.51 24552 25443 6 分段函数的应用 49995 5 3.15 62.99 2.41 0.69 31492 18503 7 数列的应用 49995 5 4.06 81.12 1.96 0.53 40556 9439 8 函数与方程的综合运用 49995 5 3.08 61.52 2.43 0.41 30756 19239 三角函数的恒等变换及化简求 9 49995 6 4.69 78.19 2.13 0.61 34619 6430 值 10 函数模型的选择与应用 49995 6 2.08 34.63 1.81 0.34 4573 14995 11 函数与方程的综合运用 49995 6 2.51 41.8 1.71 0.38 5351 8209 填空 12-1 综合 49995 15 5.59 37.24 5.15 0.7 6039 17897 4 15 三角函数中的恒等变换应用 49995 13 5.42 41.66 4.86 0.76 9236 12498 16 数列的求和 49995 15 6.47 43.13 6.5 0.92 12198 19401 17 利用导数研究函数的极值 49995 15 5.18 34.53 5.89 0.82 8167 20894 18 等差数列 49995 17 2.54 14.92 3.99 0.42 435 28091 19 利用导数研究函数的单调性 49995 17 1.98 11.67 3.15 0.32 170 29651点石联考 2025 年 10 月高二数学巩固卷 【原卷 1 题】 知识点 直线的倾斜角 π 1-1（基础）[28874004] 若直线l:y=tan 的倾斜角为a，则a=（ ） 3 π π A．0 B． C． D．不存在 3 2 1-2（巩固）[11809477] 直线l:xtan60°+y-3=0，则直线l的倾斜角a为（ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 1-3（提升）[26341561] 设直线l的方程为2x-2ycosq+3=0，则直线l的倾斜角a的范围是（ ） éπ πù A．0,π B． , ê ú ë4 2û éπ 3πù éπ πö æπ 3πù C． ê , ú D． ê , ÷Èç , ú ë4 4 û ë4 2ø è2 4 û 【原卷 2 题】 知识点 空间向量共面求参数 uuuur 1uuur uuur uuur 2-1（基础）[27741683] 已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，且OM = OA+2xOB+ yOC ，若 2 M,A,B,C四点共面，则2x+y的值为（ ） 1 A．2 B．1 C． D．0 2 uuur 1uuur 1uuur uuur 2-2（巩固）[27351790] 已知空间中有5个点E、A、B、C、D，若满足1-lEA= EB+ EC+lAD， 3 4 且A、B、C、D四点共面，则l的值为（ ） 7 5 1 1 A． B． C． D． 12 12 4 12 2-3（提升）[26146086] 在平行六面体ABCD-ABCD 中，H为CC 的中点， u A u F ur =l u A u H ur ，lÎ0,1，若B， 1 1 1 1 1 1/48D，C ，F 四点共面，则l=（ ） 1 1 2 1 2 A． B． C． D． 2 5 3 3 【原卷 3 题】 知识点 求平行线间的距离 3-1（基础）[28874005] 两直线l :3x-4y-2=0，l :3x-4y+3=0之间的距离等于（ ） 1 2 1 A．2 B． 5 C．1 D． 5 3-2（巩固）[27752187] 直线3x-4y=1与直线6x-8y=1间的距离是（ ） 1 1 1 A． B． C． D．１ 5 10 15 3-3（提升）[24455176] 已知直线3x+2y-3=0和6x+my=0互相平行，则它们之间的距离是（ ） 3 13 13 5 A． B． C． D．3 13 13 3 【原卷 4 题】 知识点 求平面的法向量 4-1（基础）[25235031] 已知平面内的两个向量ar=(2,3,1)，b r =(5,6,4)，则该平面的一个法向量为（ ） A．(1,-1,1) B．(2,-1,1) C．(-2,1,1) D．(-1,1,-1) 4-2（巩固）[28425931] 已知点A1,2,-1，B2,1,-1，C-1,2,0，则平面ABC的法向量nr是（ ） A．1,1,2 B．1,-1,2 C．2,1,1 D．1,2,1 4-3（提升）[27583708] 在空间直角坐标系中，O为坐标原点，P为其内一点，A1,1,2,B-2,1,0，平面 PAB^平面OAB，则平面PAB的一个法向量可以为：（ ）． A．-5,24,21 B．-6,10,9 C．-7,11,13 D．-8,13,12 2/48【原卷 5 题】 知识点 由空间向量共线求参数或值,空间向量的坐标运算 5-1（基础）[25803023] 已知A1,5,-2，B2,4,2，Ca,3,b+2三点在同一条直线上，则a+b=（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 5-2（巩固）[24998198] 若平面a的法向量为nr=4,-4,-2，方向向量为x,2,1的直线l与平面a垂直，则实 数x=（ ） A．4 B．-4 C．2 D．-2 ur r 5-3（提升）[20722322] 已知m=2,4,6是平面a的一个法向量，n=1,a,b是平面b的一个法向量，且平面 a//平面b，则向量a r =1,0,-1在n r 上的投影向量为（ ） 1r 1r 2r 2r A． n B．- n C． n D．- n 7 7 7 7 【原卷 6 题】 知识点 点到直线距离的向量求法 6-1（基础）[26030623] 已知空间中向量u A u B ur=（0，1，0），向量 u A u C ur 的单位向量为（- 3 ， 3 ，- 3 ），则点B 3 3 3 到直线AC的距离为（ ） 3 6 2 3 15 A． B． C． D． 3 3 3 3 6-2（巩固）[26365111] 已知A2,2,1，B3,2,0，则点P2,0,-1到直线AB的距离为（ ） A． 3 B．2 C． 5 D． 6 uuuur 2uuur 6-3（提升）[25758063] 在长方体ABCD-ABCD 中，AD= AA =1，AB=3，点M 满足AM = AB，则点 1 1 1 1 1 3 M 到直线AD的距离为（ ） 1 3/482 3 3 2 3 3 A． B． C． D． 2 2 2 2 【原卷 7 题】 知识点 空间向量模长的坐标表示,空间向量平行的坐标表示 7-1（基础）[25774067] 在边长为 2 的正方体ABCD-ABCD 中，E，F分别为BC，AA 的中点， P，Q 分 1 1 1 1 1 别为线段 DA，CD 上的动点 (不包括端点) 满足EP^FQ ，则线段PQ的长度最小值为（ ） 1 1 1 1 A． 2 B．2 C． 6 D．2 2 7-2（巩固）[25933264] 已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为3，平面a//平面BDDB 且与线段AB ，AD分 1 1 1 1 1 1 1 1 别交于点E,H ，则EH 长度的最小值为（ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 7-3（提升）[28291480] 如图，在直三棱柱ABC-ABC 中，AC ^ AB，AC = AB=CC =1，E是线段AB的 1 1 1 1 uuur uuur 中点，在 V A 1 BC内有一动点P（包括边界），则 PA + PE 的最小值是（ ）． 33 2 33 33 33 A． B． C． D． 2 3 6 3 【原卷 8 题】 知识点 直线斜率的定义,斜率与倾斜角的变化关系,已知斜率求参数,已知直线垂直求参数 4/488-1（基础）[26146099] 已知直线l与直线x- 3y+1=0夹角为45°，则l的倾斜角为（ ） A．-15°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．30°或60° 8-2（巩固）[23832292] 直线l ，l 的斜率分别为1，2，l ，l 夹角为q，则sin2q=（ ） 1 2 1 2 3 4 3 3 A． B． C． D． 4 5 5 10 8-3（提升）[15072597] 将直线3x- 3y=0绕着原点逆时针旋转90°，得到新直线的斜率是（ ） 3 3 A． B．- C． 3 D．- 3 3 3 【原卷 9 题】 知识点 直线过定点问题 9-1（基础）[25156763] 设mÎR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx- y-m+3=0交于点 P(x,y)，（点P与点A，B不重合），则 PAB的面积的值可以是（ ） V 5 A． B． 5 C．3 D．2 5 2 9-2（巩固）[25761182] 已知直线l ：x+2ay-1=0；直线l ：3a-1x-ay-1=0，则（ ） 1 2 æ 1ö 1 A．当a=-1时，l 的一个方向向量为ç1, ÷ B．若l ∥l ，则a= 1 è 2ø 1 2 6 C．若l ^l ，则a=1 D．点-4,1到l 距离的最大值为5 1 2 2 9-3（提升）[28335918] 已知mÎR，若过定点A的动直线l :x-my+m-2=0和过定点B的动直线 1 l :mx+y-4+2m=0交于点P(P与A，B不重合），则以下说法正确的是（ ） 2 A． AB =5 B．|PA|2 +|PB|2为定值 25 C．S 的最大值为 D．2 PA + PB 的最大值为5 5 VPAB 2 【原卷 10 题】 知识点 数量积的运算律,空间向量数量积的应用,用空间基底表示向量 5/4810-1（基础）[26982327] 在平行六面体ABCD-ABCD 中，AB=AD=AA =2， 1 1 1 1 1 ÐAAB=ÐAAD=ÐBAD= π ，AC 与BD交于点M ．设u A u B ur =a r， u A u D ur =b r ， u A u A ur =c r ，则下列说法正确的有 1 1 3 1 1 1 1 1 （ ） uuuur r r r uuuur 1r 1 r r A．AC =a+b+c B．CM = a- b+c 1 2 2 uuur uuuur uuuur uuur π C．AB×AC =8 D．CM 与AC 的夹角为 1 1 2 uuur uuur uuur uuur uuur 10-2（巩固）[28239125] 已知空间单位向量PA，PB，PC两两之间的夹角均为60°，PA=2PE， uuur uuur BC =2BF ，则下列说法正确的是（ ） uuur uuur 1 uuur uuur uuur 1 A．PA×PB= B．PA× BC+AC =- 2 2 uuur 2 uuur uuur 3 C． EF = D．cos AF,CP = 2 6 π 10-3（提升）[27676011] 在平行六面体ABCD-ABCD 中，各棱长均为6．ÐAAB=ÐAAD=ÐDAB= ， 1 1 1 1 1 1 3 则下列结论正确的有（ ） A．AC =6 3 1 B．四边形ABCD 为正方形 1 1 3 C．AA 与平面ABCD所成角的余弦值为 1 3 π D．四边形CC DD内存在点P，使得直线AP与BD 所成角为 1 1 1 6 【原卷 11 题】 知识点 空间向量模长的坐标表示,异面直线夹角的向量求法,面面角的向量求法 6/4811-1（基础）[22441029] 已知ABCD-ABCD 为正方体，其中正确的是（ ） 1 1 1 1 uuur uuuur2 uuuur2 A． AA+AD =2AB 1 1 1 1 1 uuuur uuuur uuur B．CD× AB -AA =0 1 1 1 1 uuur uuur C．向量AD 与向量AB的夹角是60° 1 1 D．二面角B-AC -B 的正切值为 2 1 1 1 11-2（巩固）[24560013] 如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中，P为线段BC上的动点，则（ ） 1 1 1 1 1 2 14 A．当BP=2PC时，AP= 1 3 π B．直线AP与BD所成的角不可能是 1 6 uuur 1uuur 3 C．若BP= BC，则二面角B-AP-B 平面角的正弦值为 1 3 1 1 1 6 2 D．当BP=2PC时，点D 到平面ABP的距离为 1 1 1 3 11-3（提升）[21952392] 如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，如 果四边形ABCD是边长为2的正方形，则（ ） 7/48π A．异面直线AE与DF所成角大小为 3 1 B．二面角A-EB-C的平面角的余弦值为 3 C．此八面体一定存在外接球 8π D．此八面体的内切球表面积为 3 【原卷 12 题】 知识点 由空间向量共线求参数或值,空间向量平行的坐标表示 12-1（基础）[26874046] 已知空间向量ar=1,-2,3，b r =2,m,6，若ar∥b r ，则实数m的值为 ． 12-2（巩固）[24473994] 已知点A(2,-5,-1),B(-1,-4,-2),C(l+3,-3,m)在同一直线上，则l+m= 12-3（提升）[25028999] 已知A1,1,1，B-2,1,-1，点P在坐标平面xOy上，且A、B、P三点共线，则P 点的坐标为 . 【原卷 13 题】 知识点 直线截距式方程及辨析,直线一般式方程与其他形式之间的互化 13-1（基础）[25859883] 过点2,0，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是 . 13-2（巩固）[28583813] 过点A2,1的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 . 13-3（提升）[20218764] 经过点A(3,4)且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为 ． 【原卷 14 题】 知识点 点到平面距离的向量求法,定点到圆上点的最值（范围）,立体几何中的轨迹问题 14-1（基础）[18494757] 在棱长为4的正方体ABCD-ABCD 中，点E是棱AA 上一点，且AE=1.过三点 1 1 1 1 1 8/48E、B 、C 的平面截该正方体的内切球，所得截面圆面积的大小为 . 1 1 14-2（巩固）[28536776] 已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为2，点P在正方体的内切球表面上运动，且满 1 1 1 1 足DP//平面ABC ，则AP的最小值为 ． 1 1 1 uuur uuur 14-3（提升）[26809107] 如图，在棱长为6的正四面体ABCD中，点E满足DE=2EA，则四面体ABCE的外 接球的表面积为 ． 【原卷 15 题】 知识点 由向量共线（平行）求参数,由两条直线垂直求方程,求点到直线的距离,求直线的方向向量 （平面中） 15-1（基础）[24675023] 已知点A2,-2、B6,6、C0,6． (1)若直线l通过点A与B，求直线l的一个方向向量，并求直线l的方程； (2)求线段AB的垂直平分线的方程； (3)若点C关于直线AB的对称点为D，求点D到直线AB的距离． 15-2（巩固）[24556826] 求满足下列条件的直线l的一般式方程： (1)直线l的一个方向向量是-1,2，且经过l :2x-y+9=0,l :3x+2y-4=0的交点P； 1 2 (2)与直线l :3x-y=0垂直，且点Q2,-5到直线l的距离为 10. 3 15-3（提升）[24707700] 已知平面内两点A6,-6,B2,2 . (1)求过点P1,3且与直线AB垂直的直线l的方程； (2)若 V ABC是以C为顶点的等腰直角三角形，求直线AC的方程； (3)已知直线l过点A，且点B到l的距离为4，求直线l的方程. 9/48【原卷 16 题】 知识点 求空间中两点间的距离,空间向量垂直的坐标表示,空间位置关系的向量证明 16-1（基础）[17760843] 如图，已知正方体ABCD-A B C D 棱长为2，点M、N分别是AA 、A C 的中点， 1 1 1 1 1 1 1 点P在棱A B 上，且A P=3PB ，Q为BP的中点， 1 1 1 1 (1)求证：MN ^BC； 1 (2)求MN与BP所成角的余弦值； (3)求NQ的长. 16-2（巩固）[16186026] 如图，在棱长为a的正方体ABCD-ABCD 中，M为BC 的中点，E为AC 与DM 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的交点，F为BM 与CB 的交点. 1 (1)求证：BD ^ AC ，BD ^BC. 1 1 1 1 1 (2)求证：EF是异面直线AC 与BC的公垂线段. 1 1 1 (3)求异面直线AC 与BC的距离. 1 1 1 16-3（提升）[20087451] 如图，梯形ABCD，ABEF所在的平面互相垂直，AB//CD，AB//EF， 10/48π CD=EF =1，AB=AD=AF=2，ÐBAD=ÐBAF = ，点M 为棱BE的中点． 2 (1)求证：AF ^平面ABCD； (2)求二面角C-DF-B的余弦值； (3)判断直线AM 与平面DCEF 是否相交，并说明理由，若相交，求出A点与交点之间的距离． 【原卷 17 题】 知识点 证明面面垂直,求二面角,面面角的向量求法 17-1（基础）[28650593] 如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， PA^平面 ABCD,PA= AB=2. (1)求证∶ 当AD=2时，平面PBD^平面PAC; (2)当 AD= 2时， ①求二面角B-PD-C的大小； ②求PB与平面PDC成角的正弦值． 17-2（巩固）[15450375] 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB^ AP，AB∥CD，且PB=BC =BD， CD=2AB． 11/48(1)求证：平面PAD^平面ABCD； (2)若△PAD是边长为2的正三角形，且PC与平面PAD所成角的正切值为 2，求二面角B-PC-D的余弦 值． 17-3（提升）[23013208] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形， ÐBAD=ÐPAD=60o，PA=2,O,E分别为AD,PC的中点. (1)证明：DE∥平面POB； (2)证明：平面ADE^平面PBC； 2 3 (3)若直线OE与平面POB所成角的正切值为 ，求二面角E-BD-C的余弦值. 3 【原卷 18 题】 知识点 锥体体积的有关计算,证明线面垂直,证明面面垂直,点到平面距离的向量求法 18-1（基础）[26718419] 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA^平面PBC,AB=2DC =4,BC =2 2,AB^BC， DC//AB. 12/48(1)证明：平面ABCD^平面PAB； π (2)若ÐABP= ，求点C到平面PAD的距离. 3 18-2（巩固）[25590664] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PAD，△PAB均为等 1 边三角形，cosÐBAD = ． 4 (1)证明：平面PAB^平面PAD． 4 15 (2)若点D到平面PBC的距离为 ，求四棱锥P-ABCD的体积． 5 18-3（提升）[27205586] 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，ÐAPB=30°，ÐPAD=45°， 且AP=2AB=2. (1)求证：平面ABP^平面BCP. uuur uuur (2)若PQ=mAB(m>0)，且三棱锥Q-BCP的体积是四棱锥.P-ABCD体积的一半. （i）求点C到平面APQ的距离； （ii）求平面APQ与平面BCQ夹角的余弦值. 【原卷 19 题】 知识点 证明线面垂直,线面垂直证明线线垂直,面面角的向量求法 π 19-1（基础）[27227838] 如右图所示，五边形ABCED中，ÐCBA=ÐBAD=ÐCDE= ， 2 BA= AD=DE=1，连接BD、CD，将三角形ABD和CDE分别沿BD、CD折叠，使点A和点E重合，将重合 13/48的点记作点P． (1)若BC =2，求证：PB^CD； 7 (2)若面PBC与面DBC的夹角余弦值为 ，求BC的长． 7 19-2（巩固）[22304381] 如图1所示 PAB中，AP^AB,AB=AP=12．D,C分别为PA,PB中点．将△PDC V 沿DC向平面ABCD上方翻折至图2所示的位置，使得PA=6 2．连接PA,PB,PC得到四棱锥P-ABCD，记 PB的中点为N，连接CN ，动点Q在线段CN 上． (1)证明：CN ^平面PAB； (2)若QC =2QN ，连接AQ,PQ，求平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值； (3)求动点Q到线段AP的距离的取值范围． 19-3（提升）[27076102] 如图，在斜三棱柱ABC-ABC 中，平面ABC ^平面ABBA ,M,N分别为棱AB,AA 1 1 1 1 1 1 的中点，BC = AC =3. (1)若四边形ABBA 为菱形，证明：AB ^平面CMN ； 1 1 1 2 2 (2)若AB= 3AC,cosÐBAA = . 1 3 （i）求平面ACC A 与平面BCCB 夹角的余弦值； 1 1 1 1 （ii）若斜三棱柱ABC-ABC 内存在两个体积相等且相切的球，且每个球都与该三棱柱的一个底面及三个侧 1 1 1 面相切，求点A到平面ABC的距离. 1 14/48因为折叠前D为PA中点，PA=12，所以 uuur 设平面ABCD的法向量为DP=0,0,6，所以 PD= AD=6，折叠后，PA=6 2， 所以PD2+AD2 =PA2，所以PD^ AD，在折叠前 cos nr, u D uu P r = nr× u D uu P r = 6 = 3 19 D,C分别为PA,PB中点， nr × u D uu P r 6 12+ æ ç 1ö ÷ 2 +1 19 ， è3ø 所以DC//AB，又因为折叠前PA^ AB，所以 所以平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值为 DC ^PA，所以在折叠后PD^ AD， 3 19 DC^PD，AD^DC；以D为坐标原点， DA、 . 19 DC、DP分别为x、y、z轴建立 uuur （3）设Qx,y ,z ，CQ=x,y -6,z ， 1 1 1 1 1 1 空间直角坐标系，则D0,0,0，A6,0,0， uuur CN =3,0,3，动点Q在线段CN 上， B6,12,0，C0,6,0，P0,0,6， 所以C uu Q ur =lC uu N ur ，lÎ0,1，即 uuur N 为PB中点，所以N3,6,3，CN =3,0,3，设平 ìx =3l 面PAB的法向量为 ï 1 x,y -6,z =3l,0,3l，即íy =6 ， 1 1 1 1 mr =x,y,z，又 u A u P ur =-6,0,6， u A u B ur =0,12,0，所 ï îz =3l 1 ì ï u A u P ur ×mr =0 所以Q3l,6,3l， u A u P ur =-6,0,6， 以 îï íu A u B ur ×mr =0 ， uuur QA=6-3l,-6,-3l， ì-6x+6z=0 í ，令x=1，则y=0，z=1，所以 设点Q到线段AP的距离为d， î12y=0 æuuur uuurö2 mr =1,0,1，所以C uu N ur =3m ur ， d = Q uu A ur2 - ç ç QA uu × ur AP÷ ÷ ， ç AP ÷ uuur ur è ø 所以CN//m，所以CN ^平面PAB. uuur （2）设Qx ,y ,z ，由（1）知，CN =3,0,3，因 é-6×6-3l-3´6lù2 0 0 0 d = 6-3l2 +-62 +-3l2 -ê ú ê ë 6 2 ú û 为动点Q在线段CN 上， uuur 2uuur ，lÎ0,1， 且QC =2QN ，所以CQ= CN ，所以 3 x ,y -6,z = 2 3,0,3， d = 18l2-36l+54，lÎ0,1，令 0 0 0 3 所以x = 2，y =6，z =2，所以Q2,6,2， t =18l2-36l+54，lÎ0,1， 0 0 0 Q uu P ur =-2,-6,4， 则t =18l-12 +36，lÎ0,1，根据二次函数的性 Q uu A ur =4,-6,-2，设平面PAQ的法向量为 质可知tÎ36,54， ï ìQ uu P ur ×nr=0 所以dÎ é êë 6,3 6ù úû ，由此可知动点Q到线段AP的距 nr=x 1 ,y 1 ,z 1 ，í îïQ uu A ur ×nr=0 ， 离的取值范围为 é êë 6,3 6ù úû . ì-2x -6y +4z =0 1 í 1 1 1 ，令x =1，则y = ，z =1， 19-3【提升】 【正确答案】(1)证明见解析 î4x -6y -2z =0 1 1 3 1 1 1 1 1 4 (2)（i） ；（ii） 所以nr= æ ç1, 1 ,1 ö ÷， 2 3 è 3 ø 46/48AB垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐 【试题解析】【分析】（1）先证MN ^ AB ，再证明 1 标系， CM^平面ABBA ，进而得出CM ^AB ，最后利用 1 1 1 （i）在 V ABC中，AB=3 3,AC =BC =3， 线面垂直的判定定理即可； 则在等腰 ABC中可得 V （2）（i）以A为原点建系，计算平面ACC 1 A 1 与平面 1 1 AB ´3 3 2 2 3， cosÐCAB= = = BCCB 的法向量即可； AC 3 2 1 1 则ÐBAC =ÐABC =30o， （ii）先利用线面平行的性质定理和判定定理求证 æ3 3 3 ö   DE//AA，再利用公式 则Cç , ,0÷,B 3 3,0,0 ， 1 ç 2 2 ÷ è ø u A u O uur ×nr u B u O uur ×mr r= 1 = 1 计算r，最后计算 uuur æ3 3 3 ö uuur æ 3 3 3 ö nr mr 则AC =ç , ,0÷,BC =ç- , ,0÷， ç 2 2 ÷ ç 2 2 ÷ è ø è ø 2r+DE×sinÐBAA 1 即可. 所以AC的一个方向向量为ar=  3,1,0  ,BC的一个方 【详解】（1）如图，连接AB， r   1 向向量为b = - 3,1,0 ， 因为四边形ABBA 为菱形，所以AB^ AB ， 2 2 1 1 1 1 1 由cosÐBAA = ，得tanÐBAA = ，则直线 1 3 1 2 2 因为M,N分别为棱AB,AA的中点，所以MN//AB，   1 1 AA 上存在点 2 2,0,1 ， 1 所以MN ^ AB 1 ， 所以AA,BB 的一个方向向量为cr=  2 2,0,1  ， 1 1 因为BC = AC，所以CM^ AB， 设平面ACC A 的法向量为nr=x,y ,z ， 1 1 1 1 1 因为平面ABB 1 A 1 ^平面ABC，平面ABB 1 A 1I 平面 ì ïnr×ar= 3x +y =0 ABC = AB,CM Ì平面ABC， 则í 1 1 ，取x =-1，所以 îïnr×cr=2 2x +z =0 1 1 1 所以CM ^平面ABBA ， 1 1 nr=  -1, 3,2 2  ， 又AB Ì平面ABBA ，所以CM ^AB ， 1 1 1 1 设平面BCCB 的法向量为mr =x ,y ,z ， 1 1 2 2 2 又MNÇCM =M,MN,CM Ì平面CMN ，所以AB ^ 1 ì ïmr×b r =- 3x +y =0 平面CMN . 则í 2 2 ，取x =1，所以 îïmr×cr=2 2x +z =0 2 2 2 mr =  1, 3,-2 2  ， . 设平面ACC A 与平面BCCB 的夹角为q， 1 1 1 1 则 mr×nr -1+3-8 1 cosq= cos mr,nr = = = ， （2）由（1）可知CM ^平面ABBA ， mr nr 1+3+8´ 1+3+8 2 1 1 以A为原点，AB所在直线为x轴，以过点A且与 1 所以平面ACC A 与平面BCCB 夹角的余弦值为 . 1 1 1 1 2 CM 平行的直线为y轴，平面ABBA 内过点A且与 1 1 47/48所以斜三棱柱ABC-ABC 的高为 1 1 1 1 4 2r+DE×sinÐBAA =1+ = ， 1 3 3 4 所以点A到平面ABC的距离为 . 1 3 （ii）设与平面ABC相切的球的球心为O，与平面 1 ABC 相切的球的球心为O ， 1 1 1 2 由题意知球O,O 均与平面ABBA 相切，设切点分别 1 2 1 1 为D,E， 连接OO ,DE，则OO //DE，OO =DE， 1 2 1 2 1 2 因为球O,O 均与平面ACC A 相切，所以OO //平面 1 2 1 1 1 2 ACC A ， 1 1 因为DEË平面ACC A ，所以DE//平面ACC A ， 1 1 1 1 又DEÌ平面ABB 1 A 1 ，平面ABB 1 A 1I 平面 ACC A = AA ，所以DE//AA， 1 1 1 1 设球O的半径为r，球心O x,r,r，则 1 1 u A u O uur =x,r,r, u B u O uur =  x-3 3,r,r  ， 1 1 因为CM^平面ABBA ，所以点C到平面ABBA 的 1 1 1 1 3 3 距离为CM = ，则0