点石联考2025年10月高二数学巩固卷-答案(1)_1多考区联考_251025点石联考2025年10月高二巩固卷（全）

答案解析
✍ 变试题原题答案
【原卷 1 题】 【正确答案】A
【试题解析】
【原卷 2 题】 【正确答案】D
【试题解析】
【原卷 3 题】 【正确答案】A
【试题解析】
【原卷 4 题】 【正确答案】B
【试题解析】
【原卷 5 题】 【正确答案】C
【试题解析】
【原卷 6 题】 【正确答案】D
【试题解析】
【原卷 7 题】 【正确答案】C
【试题解析】
【原卷 8 题】 【正确答案】B
【试题解析】
【原卷 9 题】 【正确答案】BD
【试题解析】
16/48【原卷 10 题】 【正确答案】ACD
【试题解析】
【原卷 11 题】 【正确答案】ABD
【试题解析】
【原卷 12 题】 【正确答案】
【试题解析】
【原卷 13 题】 【正确答案】
17/48【试题解析】
【原卷 14 题】 【正确答案】
【试题解析】
【原卷 15 题】 【正确答案】
【原卷 16 题】 【正确答案】
18/48【原卷 17 题】 【正确答案】
19/48【原卷 18 题】 【正确答案】
【原卷 19 题】 【正确答案】
20/4821/48精准训练答案
求l的值.
✍ 变试题答案
uuur uuur 1uuur 1uuur uuur
【详解】由EA-lEA= EB+ EC+lAD得
3 4
1-1【基础】 【正确答案】A
uuur 1uuur 1uuur uuur uuur
EA= EB+ EC+l EA+AD ，
【试题解析】【分析】根据直线倾斜角的定义即可求解
3 4
并判断． uuur 1uuur 1uuur uuur
即EA= EB+ EC+lED，
3 4
π
【详解】∵l:y=tan = 3，
3 1 1
由空间向量共面定理的推论可知， + +l=1，解
3 4
∴直线l平行于x轴，其倾斜角为0，
5
故选：A． 得l= .
12
1-2【巩固】 【正确答案】C
故选：B.
【试题解析】将直线方程转化为点斜式，再根据倾斜
2-3【提升】 【正确答案】D
角的范围求解.
【试题解析】【分析】由四点B，D，C ，F 共面可得
【详解】 xtan60°+y-3=0， 1
Q
\y=-tan60°x+3=tan120°x+3， 存在实数x,y，使 u B u F ur =x u B u C uur +y u B u D ur ，用同一组基底
1
故直线的倾斜角是120°，
uuur uuuur uuur
向量表示出BF,BC,BD，根据系数对应相等列方程
故选：C. 1
1-3【提升】 【正确答案】C 组求解.
【试题解析】【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜 【详解】由平行六面体的特征可得
率的取值范围即可得倾斜角. uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1uuur
AH = AB+BC+CH = AB+AD+ AA ，
2 1
【详解】由题意知，当cosq=0时，直线l的斜率不
π
存在，其倾斜角a= ；
2
当cosq¹0时，直线l的斜率
1
k = Î  -¥,-1È1,+¥  ，
cosq
éπ πö æπ 3πù
所以倾斜角aÎ ê , ÷Uç , ú ，
ë4 2ø è2 4 û
éπ 3πù
综上，aÎ , . uuur uuur uuur uuur luuur
ê ë4 4 ú û 则AF =lAH =lAB+lAD+ 2 AA 1 ，
故选：C
所以
2-1【基础】 【正确答案】C
uuur uuur uuur uuur uuur uuur luuur uuur uuur luuur
BF=BA+AF=BA+lAB+lAD+ AA =l-1AB+lAD+ AA
【试题解析】【分析】根据空间向量共面定理得 2 1 2 1
1 ，
+2x+y=1，进而求解.
2
uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur
又BD= AD-AB，BC =BC+CC = AD+AA ，
1 1 1 1
【详解】由M,A,B,C四点共面，所以 +2x+y=1，
2
又由B，D，C ，F 四点共面，可得存在实数x,y，
1 1
即2x+y= ，
2
使
故选：C. u
B
u
F
ur
=x
u
B
u
C
uur
+y
u
B
u
D
ur
=x
u
A
u
D
ur
+
u
A
u
A
ur
+y
u
A
u
D
ur
-
u
A
u
B
ur
=-y
u
A
u
B
ur +x+yu
A
u
D
ur
+x
u
A
u
A
ur
1 1 1
2-2【巩固】 【正确答案】B
，
【试题解析】【分析】根据空间共面向量定理的推论可
22/48ì 令z=-1，得x=2,y=-1，则此时法向量为
ïl-1=-y
所以
ï
íl=x+y ，解得l=
2
.
2,-1,-1，故D错误.
3
ï
l
ï =x 故选：C.
î2
4-2【巩固】 【正确答案】A
故选：D.
【试题解析】【分析】利用待定系数法，设出法向量，
3-1【基础】 【正确答案】C
取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程，
【试题解析】【分析】根据平行线之间的距离公式求值.
可得答案.
【详解】根据平行线之间的距离公式得两直线之间的
uuur
距离为：
【详解】由已知得AB=1,-1,0，
d =
-2-3
=1
u
A
u
C
ur =-2,0,1．设nr=x,y,z，
.
32+-42
ì ïnr× u A u B ur =0, ì x-y=0,
故选：C 则í
ïînr× u A u C ur =0,
即í
î-2x+z=0,
令x=1，则y=1，
3-2【巩固】 【正确答案】B
【试题解析】【分析】利用平行线间距离公式计算得解. z=2，所以nr=1,1,2．
【详解】直线3x-4y=1方程为6x-8y-2=0，直线
故选：A.
6x-8y=1方程为6x-8y-1=0，
4-3【提升】 【正确答案】D
|-1-(-2)| 1
所以所求距离为 = . uuur uuur uuur uuur
62+82 10 【试题解析】【分析】设OQ=lOA+mOB，OQ为平
故选：B
面PAB的法向量，由面面垂直的性质定理得
3-3【提升】 【正确答案】A
OQ^ AB，列式求出l,m得解.
【试题解析】【分析】先利用平行直线的关系求出参
【详解】设Q为空间内一点，且
数，然后利用两平行直线的距离公式计算距离即可.
uuur uuur uuur
OQ=lOA+mOB=l-2m,l+m,2l，
【详解】因为3x+2y-3=0和6x+my=0互相平
行， 由于平面PAB^平面OAB，所以平面PAB的法向量
所以3m=2´6，解得m=4， 垂直AB且平行平面OAB（或在平面OAB内部），
所以直线6x+4y=0可以转化为3x+2y=0， uuur
故不妨取OQ为其法向量，则OQ^ AB，
由两条平行直线间的距离公式可得
uuur
AB=-3,0,-2，
0--3
3 3 13
d = = = .
32+22 13 13 uuur uuur uuur
所以OQ×AB=0Þ6m=7l，取l=6,m=7代入OQ
故选：A
uuur
得到OQ=-8,13,12，故D正确.
4-1【基础】 【正确答案】C
【试题解析】【分析】利用法向量的定义、求法进行计 故选：D.
算即可. 5-1【基础】 【正确答案】C
r r
【详解】显然a与b不平行，设该平面的一个法向量 【试题解析】【分析】先利用空间向量的坐标运算求出
为nr=(x,y,z)， u A u B ur与 u A u C ur 的坐标，再利用 u A u C ur =l u A u B ur 列方程求解即
ìïar×nr=0
ì 2x+3y+z=0
可.
则有 îï í b r ×nr=0 ，即í î5x+6y+4z=0 ， 【详解】因为A1,5,-2，B2,4,2，Ca,3,b+2
令z=1，得x=-2,y=1，所以nr=(-2,1,1)，故A,B
uuur uuur
所以AB=1,-1,4，AC =a-1,-2,b+4，
错误，C正确；
23/48又因为A，B，C三点共线，
2
所以 u A u C ur =l u A u B ur ， a-1 = -2 = b+4 =l，
u
A
u
B
ur2
-
u
A
u
B
ur ×er2
= 1-
æ
ç ç è 3
3ö
÷ ÷ ø = 3
6
，
1 -1 4
故选：B.
解得a=3，b=4，所以a+b=7，
故选：C
6-2【巩固】 【正确答案】D
5-2【巩固】 【正确答案】D
【试题解析】【分析】根据条件，利用点到直线距离的
向量法，即可求解.
【试题解析】【分析】根据直线垂直于平面，则直线的
方向向量平行于平面的法向量，即可求解. 【详解】因为A2,2,1，B3,2,0，P2,0,-1，则
【详解】由直线l与平面a垂直，故直线l方向向量
uuur uuur
AB=1,0,-1，AP=0,-2,-2，
x,2,1与平面a的法向量nr=4,-4,-2平行，
所以点P到直线AB的距离为：
ì4=lx
ï ìl=-2 2
设4,-4,-2=lx,2,1，即
ï
í
î
-
-2
4=
=l
2l，解得í
îx=-2
.
d =
u
A
u
P
ur2
-
æ
ç ç
u A u P ur
u A u
×
B ur
u A u B urö
÷ ÷ = 8-
æ
ç è
2
2
ö
÷ ø
2
= 6.
è ø
故选：D.
故选：D
5-3【提升】 【正确答案】B
6-3【提升】 【正确答案】C
ur r
【试题解析】【分析】先判断m∥n，求得a=2，
【试题解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，利
r
b=3，可得n=1,2,3，再根据投影向量公式求解即
用空间向量的方法求点到直线的距离即可.
【详解】
可.
ur
【详解】因为m=2,4,6是平面a的一个法向量，
r
n=1,a,b是平面b的一个法向量，且平面a//平面
b，
ur r 1 a b
所以得m∥n，则 = = ，
2 4 6
r
得a=2，b=3，所以n=1,2,3
r r
所以a在n上的投影向量为
如图所示，建立空间直角坐标系，
r r r r
a×n n 1´1+0´2-1´3 n 1r
r × r = × =- n， 以D为坐标原点，以DA、DC、DD 分别为x、
n n 14 14 7 1
y、z轴的空间直角坐标系，
故选：B.
6-1【基础】 【正确答案】B D0,0,0，A
1
1,0,1，M1,2,0，设点M 到直线
【试题解析】【分析】由点B到直线AC的距离为：
AD的距离为d，
1
u
A
u
B
ur2
-
u
A
u
B
ur ×er2
即可求解.
uuuur uuuur
所以DM =1,2,0，DA =1,0,1，
【详解】设向量 u A u C ur 的单位向量为er，则 1
根据点到直线距离公式有：
er=ç æ - 3 , 3 ,- 3 ÷ ö ， u A u B ur ×er= 3 ，
ç è 3 3 3 ÷ ø 3 u D uu M ur × u D uu A ur2
uuuur2 1
d = DM - ，
点B到直线AC的距离为：
u
D
uu
A
ur2
1
24/48所以
 2
1´1+2´0+0´12
1 3 2
d = 12+22+02 - = 5- =
 2 2 2
12+02+12
.
故选：C
7-1【基础】 【正确答案】A
【试题解析】【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代
因为正方体ABCD-ABCD 的棱长为3，所以
1 1 1 1
入距离公式，即可求解.
D(0,0,0)，B(3,3,0)，
【详解】如图建立空间直角坐标系，E1,2,0，
uuuur
B(3,3,3)，A(3,0,3)，A(3,0,0)，而DA =(3,0,3)，
1 1 1
F2,0,1，设Pa,0,2，Q0,b,2，
uuur
DB=(3,3,0)，
uuur uuur
EP=a-1,-2,2，FQ=-2,b,1，
uuuur uuur
DB =(3,3,3)，AB =(0,3,3)，由题意得A,E,B 共
1 1 1
因为EP^FQ，所以
uuur uuur 线，A,H,D共线，
EP×FQ=-2a-1-2b+2=0，即b=2-a， 1
uuur uuur uuuur uuuur
设AE=lAB(0£l£1)，AH =mAD(0£m£1)，
所以 PQ = a2+b2 = a2+2-a2 = 2a-12 +2， 1 1 1
E(a,b,c)，H(a,b,c )，
当a=1时，线段PQ的最小值为 2. 1 1 1
uuur uuuur
则AE=(a-3,b,c)，AH =(a -3,b,c -3)，
1 1 1 1
uuur
lAB =(0,3l,3l)，
1
得到a-3=0，b=3l，c=3l，解得a=3，则
E(3,3l,3l)，
uuuur uuuur
而AD=(-3,0,-3)，故mAD=(-3m,0,-3m)，
1 1
得到a -3=-3m，b =0，c -3=-3m，
1 1 1
故选：A
7-2【巩固】 【正确答案】C 解得a =3-3m，b =0，c =3-3m，则
1 1 1
【试题解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出关键
H(3-3m,0,3-3m)，
点的坐标，利用面面平行的性质消去变量，再利用向
uuur
故EH =(-3m,-3l,3-3m-3l)，
量模长公式将线段长度用一元函数表示，再结合二次
函数性质求解最值即可. r
设面BDDB 的法向量为n=(x,y,z)，结合
1 1
【详解】如图，以D为原点，建立空间直角坐标
uuur uuuur
DB=(3,3,0)，DB =(3,3,3)，
系，连接DB,DB,AB,AD,EH ， 1
1 1 1 1
uuur r uuuur r
则DB×n=3x+3y=0，DB ×n=3x+3y+3z=0，
1
r
令x=1，解得y=-1，z=0，故n=(1,-1,0)，
r
因为平面a//平面BDDB ，所以n=(1,-1,0)也是面
1 1
25/48a的法向量， æ 1 ö
Eç1, ,0÷，
uuur r è 2 ø
则EH×n=0，即-3m+3l=0，解得l=m，此时
uuur uuur uuur
uuur
所以CB=1,1,0，CA =1,0,1，AA =0,0,1．
EH =(-3l,-3l,3-6l)， 1 1
由向量模长公式得 设A关于平面ABC的对称点为A¢x,y,z，z > 0，
1
uuur
EH = EH = (-3l)2+(-3l)2+(3-6l)2 ， 则 u A u ¢ u A ur =1-x,-y,1-z， u A u A ur ¢=x-1,y,z．
1
= 9l2+9l2+36l2-36l+9 = 54l2-36l+9， 设平面ABC的法向量nr=x,y ,z ，则
1 1 1 1
若 54l2-36l+9最小，则54l2-36l+9最小即 ì ïC uu B ur ×nr=x +y =0
可， îï í C uu A ur 1 ×nr=x 1 1 +z 1 1 =0 ，
令 f(l)=54l2-36l+9，由二次函数性质得对称轴 令x =1，则y =-1，z =-1，所以nr=1,-1,-1，
1 1 1
1
为l= ， 所以A与A¢到平面ABC的距离
3 1
而0≤l≤1，则当l= 1 时， f(l)取得最小值，最小 u A u A ur ×nr 3 u A u ¢ u A ur ×nr -x+y+z
3 d = 1 = = 1 = ，
nr 3 nr 3
1
值为 f( )=3，
3
即 -x+y+z =1 ①．
则 54l2-36l+9的最小值为 3，即EH 的最小值
又 u A u A ur ¢∥nr，所以 x-1 = y = z ，即
为 3，故C正确. 1 -1 -1
x-1=-y=-z ②．
故选：C
1 2
7-3【提升】 【正确答案】C 由①②得3z-1 =1，由z > 0可得x= ，y= ，
3 3
【试题解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系
2
z= ，
Cxyz，因为A,E位于
V
A
1
BC的同侧，设A关于平面 3
æ1 2 2ö
所以A¢ ç , , ÷，
ABC的对称点为A¢x,y,z，根据 è3 3 3ø
1
uuur uuur uuur uuur uuuur
所以 PA + PE = PA¢ + PE ³ A¢E
uuur uuur uuur uuur uuuur
PA + PE = PA¢ + PE ³ A¢E 求解.
【详解】以C为原点，CA所在直线为x轴，过点C
=
æ
ç
1
-1
ö
÷
2
+
æ
ç
2
-
1ö
÷
2
+
æ
ç
2
-0
ö
÷
2
=
4
+
1
+
4
=
33
è3 ø è3 2ø è3 ø 9 36 9 6
且平行于AB的直线为y轴，CC 所在直线为z轴，
1
，
建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，
当且仅当A¢，P，E三点共线时取等号，
uuur uuur 33
所以 PA + PE 的最小值为 ．
6
故选：C.
8-1【基础】 【正确答案】C
【试题解析】【分析】求出直线x- 3y+1=0斜率及倾
斜角，再根据夹角为45°求出l的倾斜角即可.
3
【详解】直线x- 3y+1=0的斜率k = =tan30°，
3
则A 1,0,1，B1,1,0，C0,0,0，A1,0,0，
1
则其倾斜角为30°，
26/48大值.
由直线l与直线x- 3y+1=0夹角为45°，得l的倾斜
【详解】动直线x+my=0过定点A(0,0)，直线
角为45°+30° =75°或135°+30° =165°.
mx- y-m+3=0化简为
故选：C
ìx-1=0
8-2【巩固】 【正确答案】C m(x-1)= y-3，则í ，则直线过定点
îy-3=0
【试题解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关
B(1,3)，
系，由两角差的正切公式以及同角三角函数之间的基
当m=0时，两条直线分别为x=0,y=3，交点
本关系计算可得结果.
P(0,3)，
【详解】设直线l ，l 的倾斜角分别为a,b，则
1 2
tana=1,tanb=2,q=b-a;
tanb-tana 2-1 1
因此tanq=tanb-a= = = ； 1 3
S = ´1´3= ；
1+tanbtana 1+2´1 3 VPAB 2 2
所以
1
2´
2sinqcosq 2tanq 3 3
sin2q=2sinqcosq= = = = 1
sin2q+cos2q tan2q+1 æ1ö 2 5 当m¹0时，两条直线的斜率分别为：- ,m，所以
ç ÷ +1 m
è3ø
两条直线互相垂直，
.
故选：C
8-3【提升】 【正确答案】B
【试题解析】【分析】由题意知直线的斜率为 3，设
其倾斜角为a，将直线绕着原点逆时针旋转90°，得
到新直线的斜率为tan(a+90o)，化简求值即可得到
答案.
【详解】由3x- 3y=0知斜率为 3，设其倾斜角为
S =
1
PA PB £
1 æ
ç
PA|2 + PB|2ö
÷=
1
|AB|2=
112+32= 5
VPAB 2 2ç 2 ÷ 4 4 2
è ø
a，则tana= 3，
，
将直线3x- 3y=0绕着原点逆时针旋转90°， 5
当且仅当 PA = PB 时，面积达到最大值 ，
2
则
5
则
V
PAB的面积的值可以是 或 5，不可以是
2
sin(a+90o) cosa 1 3
tan(a+90o)= = =- =-
cos(a+90o) -sina tana 3
3,2 5,
故选：AB
3
故新直线的斜率是- . 9-2【巩固】 【正确答案】AD
3
故选：B. 【试题解析】【分析】对A，求出直线l 的斜率判断；
1
9-1【基础】 【正确答案】AB
对B，根据两直线平行的充要条件求解判断；对C，
【试题解析】【分析】求出两条直线的动点，对m进行
根据两直线垂直的充要条件求解判断；对D，求出直
分类讨论，当m=0，直接可求出三角形面积，
线l 过定点-1,-3，当点-4,1与点-1,-3连线垂
2
当m¹0时，两条直线互相垂直，即可求得面积的最
27/48直直线l 时，此时点-4,1到直线l 的距离最大，得 选 正
2 2
原因
解. 项 误
【详解】对于A，当a=-1时，直线
因为l :x-my+m-2=0可化为
1 1
l :x-2y-1=0，其斜率为k = ，
1 2
m1-y+x-2=0，所以直线l 恒过定
æ 1ö 1
所以l 的一个方向向量为ç1, ÷，故A正确；
1 è 2ø
点A2,1．又因为l :mx+y-4+2m=0
对于B，若l//l ，则-a-2a3a-1=0，解得a=0 2
1 2 A √
可化为y-4=-mx+2 ，所以直线l 恒
1 2
或 ，经检验均合题意，
6
过定点B-2,4．故
1
所以a=0或 ，故B错误；
6
AB = (2+2)2+(1-4)2 =5．
对于C，若l ^l ，则3a-1-a´2a=0，即
1 2
2a2-3a+1=0， 对于直线l,l ，因为
1 2
1
解得a=1或 ，故C错误；
2 1´m+-m´1=0，所以l ^l ，可得
B √ 1 2
对于D，由l :3a-1x-ay-1=0，即
2 PA^PB，因此|PA|2 +|PB|2=|AB|2=25，
a3x-y-x-1=0， 为定值．
令
ì
í
3x-y=0
，解得
ì
í
x=-1
， S = 1 PA´ PB £ 1 ´
PA2+ PB2
=
îx+1=0 îy=-3 VPAB 2 2 2
所以直线l 2 过定点-1,-3， 1 ´ 25 = 25 ，当且仅当 PA = PB = 5 2
2 2 4 2
C ×
当点-4,1与点-1,-3连线垂直直线l 时，此时点 时等号成立（点拨 注意等号成立的条
2
件是否满足），所以S 的最大值为
-4,1到直线l 的距离最大， VPAB
2
25
．
距离的最大值为 -4+12 +1+32 =5，故D正确. 4
故选：AD.
设ÐPAB=q，因为PA^PB，所以q为
9-3【提升】 【正确答案】ABD
锐角， PA =5cosq, PB =5sinq，所以
【试题解析】【分析】A选项，将两直线的一般式化为
点斜式，求出定点A,B，得到AB的绝对值；B选 2 PA + PB =52cosq+sinq=
项，利用两直线斜率关系，证得l ^l ，从而利用直 D √
1 2 5 5sinq+j，其中tanj=2，所以当
角三角形三边关系求出|PA|2 +|PB|2为定值；C选
sinq+j=1时，2 PA + PB 取得最大
|a|2 +|b|2
项，用基本不等式|a||b|£ ，计算三角形
g
2 值5 5．
面积最大值；D选项，引进角q为变量，实质是通过
故选：ABD.
三角换元，解决两个变量的最值问题.
【详解】列表解析 直观解疑惑
10-1【基础】 【正确答案】ACD
28/48【试题解析】【分析】利用空间向量的基本定理可判断 uuur uuur uuur uuur
PC+PB-2PA ×PC
uuur uuur ，据此可判断选项
AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断 AF×CP=-
2
CD选项.
正误.
【详解】由题知，
uuur uuur 1
【详解】对于A，由题：PA×PB=1´1´cos60°= ，
r r r r r r π 2
a×b =a×c=b×c=2´2´cos =2．
3
故A正确；
对于B，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur  uuur uuur uuur
PA× BC+AC =PA× PC-PB+PC-PA =PA× 2PC-PB-PA
uuur uuur uuur uuur uuur2 1 1 1
=2PA×PC-PA×PB-PA =2´1´1´cos60°- -1=1- -1=-
2 2 2
，故B正确；
uuur uuur 1uuur uuur
对于C，由PA=2PE，得 PA=PE，由
2
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BC =2BF ，得PC-PB=2PF-2PB
uuuur uuur uuur uuur r r r uuur uuur
对于A选项，AC = AB+AD+AA =a+b+c，故A uuur PC+PB
1 1 ÞPF = ，所以
2
正确； uuur uuur uuur
uuur uuur uuur PC+PB-PA
EF =PF-PE= ，
对于B选项， 2
uuur uuur uuur
C uu M uur =C uu C uur 1 +C uu 1 u M ur = u A u A ur 1 + 1 2 C uu 1 u A ur 1 = u A u A ur 1 - 1 2 u A u B ur + u A u D ur =- 1 2 ar- 1 2 b r +cr 则 u E u F ur = PC+PB-PA = 1 u P u C ur + u P u B ur - u P u A ur2
2 2
，故B错误；
1 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
对于C选项， = PC +PB +PA +2PC×PB-2PC×PA-2PA×PB
2
u A u B ur × u A u C uur =ar×  ar+b r +cr =ar2+ar×b r +ar×cr=4+2+2=8 1 2
1 = 1+1+1+1-1-1= ．故C正确；
2 2
，故C正确； uuur uuur uuur
uuur uuur uuur PC+PB-2PA
对于D，AF =PF-PA= ，所以
对于D，C uu M uur × u A u C uur = æ ç- 1 ar- 1 b r +crö ÷×  ar+b r +cr 2
1 è 2 2 ø uuur uuur uuur uuur
PC+PB-2PA ×PC
uuur uuur
1r2 1r r 1r r 1 r r 1r2 1 r r r r r r r2 AF×CP=-
=- a - a×b- a×c- b×a- b - b×c+c×a+c×b+c =0 2
2 2 2 2 2 2
， 1 1
uuur2 uuur uuur uuur uuur 1+ -2´
PC +PB×PC-2PA×PC 2 2 1，
uuuur uuur π =- =- =-
所以CM 与AC 的夹角为 ，故D正确． 2 2 4
1 2
故选：ACD． 故cos u A u F ur ,C uu P ur <0．故D错误.
10-2【巩固】 【正确答案】ABC
故选：ABC
【试题解析】【分析】对于A，由数量积定义可判断选
10-3【提升】 【正确答案】BC
项正误；对于B，由题可得
【试题解析】【分析】对于选项A，用向量的线性定理
uuur uuur uuur uuur  uuur uuur uuur
PA× BC+AC =PA× 2PC-PB-PA ，然后由数量 uuur
将向量AC 表示出来，然后求向量的模即可；对于选
1
积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得
uuuruuur
uuur uuur uuur 项B，可计算BC·BA 是否为0来验证四边形ABCD
uuur PC+PB-PA 1 1 1
EF = ，然后由向量模长公式可判断选
2
是否为矩形，然后结合线段长度验证其是否为正方
项正误；对于D，由题可得
形；对于选项C，求出平面ABCD的法向量后可求
AA 与平面ABCD所成角的正弦值，故可求其余弦
1
29/48值，对于D，设 u A u P ur = u A u D ur +m u D uu D ur +n u D uu C r ，根据线线 ì ïnr× u A u B ur =a u A u B ur2 +b u A u D ur × u A u B ur +c u A u A ur × u A u B ur =0
1 则í 1 ，故
角可得m,n的方程，结合判别式可判断其正误.
ï înr× u A u D ur =a u A u D ur × u A u B ur +b u A u D ur2 ×+c u A u A ur
1
× u A u D ur =0
【详解】对于选项A： ì36a+18b+18c=0
í ，
因为 î18a+36b+18c=0
uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur
AC = AA +AC = AA +AD +AB = AA +AD+AB r uuur uuur uuur
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 取a=b=-1,c=3，故n=-AB-AD+3AA ，
1
，
结合A中计算可得：
uuuur2 uuur uuur uuur2
所以 AC 1 = AA 1 +AD+AB nr =  - u A u B ur - u A u D ur +3 u A u A ur2 = 11´36-12´6´6´ 1 +2´6´6´ 1 =6 6
1 2 2
= u A u A ur2 + u A u D ur2 + u A u B ur2 +2 u A u A ur × u A u D ur +2 u A u D ur × u A u B ur +2 u A u A ur × u A u B ur ，
1 1 1
,
设AA 与平面ABCD所成角的为a，
1
因为 u A u A ur2 = u A uu D ur2 = u A uu B ur2 =36， 故
1 1 1 1 1
而 u A u A ur · u A u D ur = u A u A ur u A u D ur cosÐAAD=6´6´ 1 =18， sina= cosnr, u A u A ur = nr× u A u A ur 1 =  - u A u B ur - u A u D ur +3 u A u A ur 1  × u A u A ur 1 = 72 = 6
1 1 1 2 1 nr× u A u A ur u A u A ur ×- u A u B ur - u A u D ur +3 u A u A ur 6´6 6 3
1 1 1
uuuuruuur uuuruuur
同理AD·AB=18，AA·AB=18， ，
1 1 1
3
所以 故cosa= ，故C正确；
3
uuuur2
AC =36+36+36+2´18+2´18+2´18=216，
1 对于选项D：因为P在四边形DDCC 内的动点，故
1 1
所以AC = 216 =6 6，A错误； uuur uuur uuuur uuur
1 可设AP= AD+mDD +nDC，
1
uuur uuur uuur uuur
其中0<m<1,0<n<1，故AP= AD+mAA +nAB，
1
故
u
A
u
P
ur
=
u
A
u
D
ur
+m
u
A
u
A
ur
+n
u
A
u
B
ur2
= 36(1+m2+n2)+36(m+n)+36mn
1
，
对于选项B： uuuur uuur uuur uuur2
BD = AD+AA -AB = 3´36-36-36+36 =6 2
1 1
因为
，
uuuruuur uuuruuur uuur uuuruuur uuuruuur
BC·BA = AD· AA -AB = AD·AA -AD·AB=18-18=0
1 1 1 uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
而AP×BD = AD+mAA +nAB × AD+AA -AB
1 1 1
，所以BC ^BA，
1 =36+18-18+18m+36m-18m+18n+18n-36n
=36+36m，
又 AA = AB =6,ÐAAB=60°，故△AAB为等边三
1 1 1
故
角形，故BA =6. uuur uuuur
1 π 3 AP×BD 1 361+m
cos = = =
uuur uuuur
6 2 AP·BD 6 2´6  1+m2+n2 +m+n+mn
因为BC//AD,BC =BA = AD =6,BA ^BC， 1
1 1 1 1 1 1
，
所以平行四边形ABCD 为正方形，B正确；
1 1
对于选项C：设平面ABCD的法向量为n
r
且
整理得3(1+m2+n2)+3(m+n)+3mn=2m+12，
r uuur uuur uuur
n=aAB+bAD+cAA
1
， 整理得m2+3n-1m+3n2+3n+1=0，
30/48对于D，易知平面ABC 的一个法向量为
此时D=(3n-1)2-12n2-12n-4=-3n2-18n-3<0， 1 1 1
mr =0,0,1，
故方程无解，
uuur uuuur
故四边形CC DD内不存在点P，使得直线AP与BD 而AB=0,1,1，AC =-1,1,0，
1 1 1 1 1 1
π
所成角为 ，故D错误， 设平面BAC 的一个法向量为nr=x,y,z，则
6 1 1
故选：BC. ì ï u A uu B r ×nr= y+z=0
11-1【基础】 【正确答案】AD îï íu A u 1 u C ur ×nr=-x+y=0 ，
1 1
【试题解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，
利用空间向量法，逐一分析各选项即可得解.
取x=1，则y
=
1,z
=-
1，故nr=1,1,-1，
【详解】依题意建立空间直角坐标系，如图， π
设二面角B-AC -B 为q，则0<q< ，
1 1 1 2
mr×nr
1 3
所以cosq= cosámr,nrñ = = = ，
mr nr 1´ 3 3
6 sinq
则sinq= 1-cos2q= ，故tanq= = 2，
3 cosq
故D正确.
故选：AD.
11-2【巩固】 【正确答案】ABD
不妨设AB=1，
【试题解析】【分析】A选项，建立空间直角坐标系，
则
æ 4 2ö
D 1 0,0,0,A 1 1,0,0,C 1 0,1,0,B 1 1,1,0,D0,0,1,A1,0,1,B1,1,1 求出Pç è 2, 3 , 3 ÷ ø ，A0,0,0，利用两点间距离公式求
，
出答案；B选项，设P2,2-m,m，0£m£2，根据
uuur uuuur
对于A，AA=0,0,1,AD =-1,0,0 ，
1 1 1 uuur uuur 3
cosAP,BD = 得到方程，求出m=3，不满足
1 2
uuuur
AB =0,1,0，
1 1 π
0£m£2，故直线AP与BD所成的角不可能是 ；
1 6
uuur uuuur
所以AA+AD =-1,0,1，则
1 1 1 C选项，求出平面法向量，得到两法向量的夹角余弦
uuur uuuur2 uuuur2 值，进而求出二面角夹角正弦值；D选项，求出平面
AA+AD =2=2AB ，故A正确；
1 1 1 1 1
ABP的法向量，从而利用点到平面的距离公式求出
uuuur uuuur uuur uuur 1
对于B，CD=0,-1,1,AB -AA= AB =0,1,-1，
1 1 1 1 1
答案.
uuuur uuuur uuur
所以CD× AB -AA =-1-1¹0，故B错误；
1 1 1 1 【详解】A选项，以A为坐标原点，AB,AD,AA 所
1
uuuur uuur
对于C，AD =-1,0,-1，AB=0,1,1， 在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
1 1
æ 4 2ö
则 u A u D uur 1 = 2， u A u 1 u B r = 2， u A u D ur 1 × u A u 1 u B r =-1， 正方体棱长为2，B 1 P=2PC，故Pç è 2, 3 , 3 ÷ ø ，
所以 A0,0,0，
uuuur uuur
uuuur uuur AD ×AB -1 1 16 4 2 14
cosAD 1 ,A 1 B= u A u D uur 1 u A u 1 u B r = 2´ 2 =- 2 ¹cos60°， AP= 4+ 9 + 9 = 3 ，A正确；
1 1
故C错误；
31/48设二面角B-AP-B 平面角的大小为q，
1 1
2
æ 3ö 33
则sinq= 1-ç- ÷ = ，C错误；
ç ÷
6 6
è ø
æ 4 2ö
D选项，BP=2PC，Pç2, , ÷，
1 è 3 3ø
设平面BAP的法向量为n r =x,y,z，
1
则
B选项，A 0,0,2,B2,0,0,D0,2,0,B 2,0,2，
1 1
ìnr× u B u A ur =x,y,z×-2,0,2=-2x+2z=0
设P2,2-m,m，0£m£2， ï 1
ï í nr× u P u A ur =x,y,z× æ ç-2,- 4 , 4ö ÷=-2x- 4 y+ 4 z=0 ，
则 î 1 è 3 3ø 3 3
cos u A u 1 u P r , u B u D ur = u A u A u u 1 1 u P u P r r × × u B u B u u D u D u r r = 2,2 4 - + m 4 ,m 4 - + 2 2   × m - - 2 2 ,2  , 2 0 = 2 2 4+ 2m 2m-22 令x=1，则z=1,y=- 1 2 ，故nr=  1,- 1 2 ,1  ，
，
点D 到平面ABP的距离为
1 1
2m 3
令 2 2 4+2m-22 = 2 ，解得m=3，不满足 u A u 1 u D ur 1 ×nr 0,2,0× æ ç è 1,- 1 2 ,1 ö ÷ ø 2
= = ，D正确.
nr 1 3
0£m£2， 1+ +1
4
π
故直线AP与BD所成的角不可能是 ，B正确； 故选：ABD
1 6
uuur 1uuur æ 2 4ö 11-3【提升】 【正确答案】ACD
C选项，BP= BC，故Pç2, , ÷，
1 3 1 è 3 3ø 【试题解析】【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标
设平面BAP的法向量为n r =x,y,z， 法计算异面直线所成角及二面角可判断A项、B
1
项，由|OE|=|OF|=|OA|=|OB|=|OC|=|OD|可判断C
则
项，运用等体积法求得内切球的半径，进而可求得内
ìnr× u B u A ur =x,y,z×-2,0,2=-2x+2z=0
ï 1 切球的表面积即可判断D项.
ï í nr× u P u A ur =x,y,z× æ ç-2,- 2 , 2ö ÷=-2x- 2 y+ 2 z=0 ， 【详解】连接AC、BD交于点O，连接OE、OF ，
î 1 è 3 3ø 3 3
因为四边形ABCD为正方形，则AC^BD，
令x=1，则z=1,y=-2，故nr=1,-2,1，
又因为八面体的每个面都是正三角形，所以E、O、
F 三点共线，且EF ^面ABCD，
ur
设平面BAP的法向量为n =x,y ,z ，
1 1 1 1 1 1 所以以O为原点，分别以OB、OC、OE为x轴、y
则
轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示，
ìnr× u B uu A ur =x,y ,z ×-2,0,0=-2x =0
ï 1 1 1 1 1 1
ï í nr× u P u A ur =x,y ,z × æ ç-2,- 2 , 2ö ÷=-2x - 2 y + 2 z =0
î 1 1 1 1 è 3 3ø 1 3 1 3 1
，
ur
解得x =0，令y =1，则z =1，故n =0,1,1，
1 1 1 1
cos nr,n ur = nr×n ur 1 = 1,-2,1×0,1,1 = -2+1 =- 3
1 nr × n ur 1+4+1´ 1+1 2 3 6
1
则O(0,0,0)，A(0,- 2,0)，B( 2,0,0)，
，
32/48，
C(0, 2,0)，D(- 2,0,0)，E(0,0, 2)，
又八面体的体积为
F(0,0,- 2)，
1 1 1 π 8 3
V =8V =8V =8´ S ×r=8´ ´ ´22´sin ´r= r
E-ABO O-ABE 3 EAB 3 2 3 3
uuur uuur
对于A项，AE=(0, 2, 2)，DF =( 2,0, 2)， ，
8 3 8 2 6
设异面直线AE与DF所成角为q， 所以 r= ，解得r= ，
3 3 3
uuur uuur
AE×DF
uuur uuur 2 1 6 8π
则cosq= cosAE,DF = uuur uuur = = ， 所以内切球的表面积为4πr2 =4π´( )2 = ，故D
AE DF 2´2 2 3 3
项正确.
π π
所以q= ，即异面直线AE与DF所成角大小为 ，
3 3 故选：ACD.
故A项正确； 12-1【基础】 【正确答案】-4
uuur uuur 【试题解析】【分析】利用向量共线定理求解.
对于B项，BE=(- 2,0, 2)，BA=(- 2,- 2,0)，
【详解】根据题意，因为ar∥b r ，设b r =la r ,lÎR，
uuur
BC =(- 2, 2,0)，
则有2,m,6=l1,-2,3，
r
设面ABE的一个法向量为n=(x,y ,z )，
1 1 1
可得l=2，所以m=-2l=-4.
则 ì ï í ïî n n r r × × u B u B u u E A u u r r = = 0 0 Þ ì îï ï í - - 2 2 x x 1 1 - + 2 2 y z 1 1 = = 0 0 ，取x 1 =1，则 故 12 答 -2【 案 巩 为 固 ： 】 - 【 4. 正确答案】-10
y =-1，z =1，则n
r
=(1,-1,1)，
【试题解析】【分析】根据空间向量坐标运算及空间向
1 1
量共线定理即可求解.
ur
设面BEC的一个法向量为m=(x ,y ,z )， 【详解】 A(2,-5,-1),B(-1,-4,-2),C(l+3,-3,m)，
2 2 2 Q
ì ïnr× u B u E ur =0 ï ì- 2x + 2z =0 \ u A u B ur =(-3,1,-1), u A u C ur =(l+1,2,m+1)，
则í
ïînr× u B u C ur =0
Þí
îï- 2x
2
2
+ 2y
2
2
=0
，取x
2
=1，则
Q A,B,C在同一直线上，
uuur uuur
ur \AB//AC，
y =1，z =1，则m=(1,1,1)，
2 2
uuur uuur
nr×mr 1-1+1 1 则AC =mAB(mÎR)，
所以cosnr,mr = = = ，
nr mr 3´ 3 3
即(l+1,2,m+1)=m(-3,1,-1)，
又因为面ABE与BEC所成的二面角的平面角为钝
ìl+1=-3m ìl=-7
角，
ï ï
\í2=m ，解得ím=2 ，
1 ï ï
所以二面角A-EB-C的平面角的余弦值为- ，故 îm+1=-m îm=-3
3
B项错误； \l+m=-10.
对于C项，因为 故答案为：-10.
æ 1 ö
|OE|=|OF|=|OA|=|OB|=|OC|=|OD|= 2， 12-3【提升】 【正确答案】ç- ,1,0÷
è 2 ø
所以O为此八面体外接球的球心， 【试题解析】【分析】根据三点共线列方程，由此来求
即此八面体一定存在外接球，故C项正确； 得P点的坐标.
对于D项，设内切球的半径为r， 【详解】由于点P在坐标平面xOy上，故可设
则八面体的体积为
Px,y,0，
1 1 8 2
V =2V =2´ S ×EO=2´ ´2´2´ 2 =
E-ABCD 3 ABCD 3 3 由于A、B、P三点共线，
33/48所以 及点在直线上求直线方程即可.
O uu P ur =lO uu A ur +1-lO uu B ur =l,l,l+2l-2,1-l,l-1=3l-2,1,2l-1 【详解】若截距a都为0，即直线过原点，则直线方
， 4
程为y= xÞ4x-3y=0；
3
所以x,y,0=3l-2,1,2l-1，
x y x y
若截距a不为0，令直线为 + =1或 - =1，
a a a a
ìx=3l-2
x y 3 4
ï 1 1 当 + =1，则 + =1Þa=7，故直线方程为
所以íy=1 ，解得x=- ,y=1,l= .
a a a a
2 2
ï
î2l-1=0
x+y-7=0；
æ 1 ö x y 3 4
所以Pç- ,1,0÷. 当 - =1，则 - =1Þa=-1，故直线方程为
è 2 ø a a a a
æ 1 ö x-y+1=0；
故答案为：ç- ,1,0÷
è 2 ø
综上，直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0或
13-1【基础】 【正确答案】2x+y-4=0
x-y+1=0.
x y
【试题解析】【分析】设直线的方程为 + =1，根据 故答案为：4x-3y=0或x+y-7=0或x-y+1=0
a b
96
条件列方程组求解即可. 14-1【基础】 【正确答案】 π
25
x y
【详解】由题意，设直线的方程为 + =1， 【试题解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出球心
a b
则 ì ï í a 2 +b=6 ，解得 ì í a=2 ， 到平面EB 1 C 1 的距离，由 22- æ ç 2ö ÷ 2 = 4 6 可求出截
ï
=1 îb=4 è5ø 5
îa
x y
面圆的半径，即可求出截面圆面积.
所以直线的方程为 + =1，即2x+y-4=0.
2 4 【详解】由条件知正方体的内切球半径大小为2，设
故答案为：2x+y-4=0.
球心到平面EBC 的距离为d，
1 1
13-2【巩固】 【正确答案】x-2y=0或x-y-1=0
建立如图所示的空间直角坐标系，则
【试题解析】【分析】设直线在两坐标轴上的截距分别
为a,b，由题意分a=b=0和a¹0,b¹0两类情况讨 E4,0,1,B 4,4,4,C 0,4,4，
1 1
论，分别求直线方程即可.
设正方体内切球的球心为O，O2,2,2，
【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为a,b，则
a+b=0 uuuur uuur uuur
则BC =-4,0,0,EB =0,4,3,EO=-2,2,1，
1 1 1
若a=b=0，则直线过原点，又过点A2,1，则直线
r
设平面EBC 的法向量为n=x,y,z，
1 1
方程为：x-2y=0；
若
x
a¹
y
0,b¹0，则b=-a，可设直线方程为： ì ï
í îï
n
n
r
r
×
×
u
u
B
E
u
u 1 B
u
u
C
r
ur
1 =
=
0
0
Þí
ì
î4
-4
y
x
+
=
3z
0
=0 ，令y=-3,z=4,x=0，
1
+ =1，
a -a
代入点A2,1，可得 a 2 + - 1 a =1，解得a=1，则直线 所以n r =0,-3,4，所以d = nr× nr u E u O ur = -6 5 +4 = 5 2
方程为：x-y-1=0.
æ2ö 2 4 6
综上：所求直线方程为x-2y=0或x-y-1=0. 于是截面圆的半径大小为 22-ç ÷ = ，
è5ø 5
故答案为：x-2y=0或x-y-1=0.
2
13-3【提升】 【正确答案】4x-3y=0或x+y-7=0或 æ4 6ö 96
故截面圆的面积大小为πç ÷ = π.
ç ÷
5 25
x-y+1=0 è ø
【试题解析】【分析】讨论截距是否为0，结合截距式
34/4896
故答案为: π. 平面ACD ，
25 1
所以点P的轨迹是平面ACD 与正方体内切球的交
1
线，此交线为圆，记圆心为O.
1
如图，以D为原点，以DA,DC,DD 所在直线分别为
1
x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则A2,0,0,C0,2,0,D 0,0,2,O1,1,1，
1
uuur uuuur uuur
所以AC =-2,2,0,AD =-2,0,2,AO=-1,1,1.
6 1
14-2【巩固】 【正确答案】
3
设平面ACD 的法向量为nr=x,y,z，
【试题解析】【分析】根据题意结合正方体的性质可得 1
点P的轨迹是平面ACD
1
与正方体内切球的交线，此
则
ì ï
îï í
n
n
r
r
·
·
u
u
A
A
u
u
C
D
u
u
r
ur
=
=
-
-
2
2
x
x
+
+
2
2
y
z
=
=
0
0 ，令x=1，则nr=1,1,1，
1
交线为圆，记圆心O，以D为原点，以DA,DC,DD
1 1
所以球心O到平面ACD 的距离
所在的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 1
利用空间向量求出球心O到平面ACD 1 的距离，从而 d = | u A u O u r r g nr| = 1 = 3 .
|n| 3 3
可求出AO ，进而可求出AP的最小值.
1
如图，因为正方体的内切球半径r=1，所以圆O的
1
【详解】
1 6
半径r = r2-d2 = 1- = .
1 3 3
uuur uuur
因为AO=-1,1,1，所以|AO|= 3，即AO= 3，
1 2 6
所以AO = AO2-d2 = 3- = ，
1 3 3
2 6 6 6
所以AP的最小值为AO -r = - = .
1 1 3 3 3
在正方体ABCD-ABCD 中，AC //AC,BC //AD ，
1 1 1 1 1 1 1 1
且AC,BC Ì平面ABC ，
1 1 1 1 1
AC,AD Ë平面ABC ，所以AC//平面ABC ，AD //
1 1 1 1 1 1
平面ABC . 6
1 1 故答案为： .
3
因为AC I AD 1 = A，且AC,AD 1 Ì平面ACD 1 ，所以 14-3【提升】 【正确答案】54π
【试题解析】【分析】利用正四面体的空间几何特征得
平面ACD //平面ABC ，
1 1 1
到点M 在平面AOD上，再结合几何特征求解出
因为DP//平面ABC ，D Î平面𝐴𝐶𝐷 ，所以DPÌ 5 3
1 1 1 1 1 1 OF = OD - DF = ,建立空间直角坐标系外接球
3
35/48的半径为R，则利用外接球的几何特征
R2 = MC|2= MA|2=|ME|2求得外接球的半径.从而求
出外接球的体积.
【详解】在正四面体ABCD中，取BC的中点为O，
连接OA,OD．
易知BC ^平面AOD,OD = OA = 62-32 =3 3．
设四面体ABCE的外接球的球心为M ，则点M 在平 15-1【基础】 【正确答案】(1)一个方向向量为
面AOD上． u
A
u
B
ur
=4,8，直线l的方程为2x-y-6=0
设A,E在平面BCD上的射影分别为O,F，显然O为
1 1 (2)x+2y-8=0
△BCD的重心， 12 5
(3)
5
则
【试题解析】【分析】（1）利用直线方向向量的定义可
OO = 1 OD = 3, AO = |OA|2-OO 2 =2 6,EF = 2 AO = 4 6
1 3 1 1 3 1 3 求得直线l的一个方向向量，求出直线l的斜率，利
． 用点斜式可得出直线l的方程；
4 3 （2）求出线段AB的垂直平分线的斜率，以及线段
在Rt V EFD中， DF = DE|2 - EF|2 = ，
3
AB的中点，利用点斜式可得出线段AB的垂直平分
5 3
则OF = OD - DF = ． 线的方程；
3
以O为坐标原点，OC,OD所在直线分别为x轴，y （3）分析可知，点D到直线AB的距离等于点C到
直线AB的距离，利用点到直线的距离公式求出点C
轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
到直线AB的距离即可.
C3,0,0,A  0, 3,2 6  ,E æ ç ç 0, 5 3 3 , 4 3 6ö ÷ ÷ ． 【详解】（1）解：由题意可知，直线l的一个方向向
è ø
uuur
量为AB=4,8，
设M0,y,z，外接球的半径为R，则
6+2
直线l的斜率为k = =2，
R2 = MC|2= MA|2=|ME|2， AB 6-2
所以，直线l的方程为y-6=2x-6，即
即
2x-y-6=0.
2 2
æ 5 3ö 4 6ö
9+y2+z2 =(y- 3)2+(z-2 6)2 =çy- ÷ +(z- ÷
ç è 3 ÷ ø 3 ÷ ø （2）解：线段AB的中点为M4,2，线段AB的中
， 1 1
垂线的斜率为k =- =- ，
ì 3 k AB 2
ì ï2 3y+4 6z=18, ï
ïy=-
3
,
所以，线段AB的垂直平分线的方程为
即í 解得í 即
ïî5 3y+4 6z=15, ï 5 6 1
ï z= , y-2=- x-4，即x+2y-8=0.
î 6 2
1 25 27
R2 =9+ + = ， （3）解：由题意可知，点D到直线AB的距离等于
3 6 2
点C到直线AB的距离，
则所求外接球的表面积S =4πR2 =54π．
0-6-6 12 5
因此，点D到直线AB的距离为 = .
22+-12 5
15-2【巩固】 【正确答案】(1)2x+y-1=0
36/48(2)x+3y+3=0或x+3y+23=0. 1
为：y-3= x-1，
2
【试题解析】【分析】(1)根据直线l方向向量，可求得
即x-2y+5=0.
直线斜率，联立直线方程，求交点，根据点斜式，可
得答案；
（2）AB的中点坐标为4,-2，
(2)由直线l与l :3x-y=0垂直，可设直线l一般式方 1
3 由（1）可知线段AB垂线的斜率为 ，
2
程为x+3y+m=0，，再根据点到直线距离公式可求
1
所以线段AB垂直平分线的方程为y+2= x-4，
得直线l方程. 2
即x-2y-8=0.
【详解】（1）根据直线l方向向量，可求得直线斜率
因为 ABC是以C为顶点的等腰直角三角形，
为-2， V
所以点C在直线x-2y-8=0上，
联立l :2x-y+9=0,l :3x+2y-4=0，可求得
1 2
故设点C为2a+8,a，
ìx=-2
í ， a+6 a-2
î y=5 由CB^CA可得 × =-1，
2a+8-6 2a+8-2
根据点斜式可得y-5=-2x+2，化简可得
解得a=0或a=-4，
所以点C坐标为8,0或0,-4，
2x+y-1=0.
-6-0
（2）直线l与直线l :3x-y=0垂直，可求得 当点C坐标为8,0时，k = =3，所以
3 AC 6-8
k ×k =-1， y-0=3x-8，即y=3x-24；
l l3
1 -6+4 1
解之可求得k =- ，设直线l的一般式方程为 当点C坐标为0,-4时，k = =- ，所以
l 3 AC 6-0 3
x+3y+m=0， 1
y+4=- x-0，即x+3y+12=0；
3
2-15+m
，根据点到直线距离公式 = 10，解之可
10
因此直线AC的方程为3x-y-24=0或
得m=3或m=23， x+3y+12=0.
所以直线l的方程为x+3y+3=0或x+3y+23=0. （3）当直线方程斜率不存在时，过点A的直线l的
15-3【提升】 【正确答案】(1)x-2y+5=0 方程为x=6，
(2)3x-y-24=0或x+3y+12=0 此时点B到l的距离为4，满足题意；
(3)3x+4y+6=0或x=6 当直线方程斜率存在时，设过点A的直线l的方程为
【试题解析】【分析】（1）由两直线垂直求得直线l的
y+6=kx-6，
1
斜率为 ，再由点斜式方程可得结果；
2
8+4k
此时点B2,2到l的距离为d = =4，解得
（2）依题意可得点C在AB的垂直平分线上，再由 1+k2
CB^CA可得C点坐标，即可求得直线AC的方程；
3
k =- ；
（3）对直线l的斜率是否存在进行讨论，利用点到 4
直线距离公式可求得直线l的方程. 3
所以直线l的方程为y+6=- x-6，即
4
-6-2
【详解】（1）由题意得k = =-2，则直线l的
AB 6-2 3x+4y+6=0；
1 综上可知，直线l的方程为3x+4y+6=0或x=6.
斜率为 ，
2
16-1【基础】 【正确答案】(1)证明见解析
所以过点P1,3且与直线AB垂直的直线l的方程
37/4851
(2) 17 所以 NQ = 1-02+ æ ç1- 7ö ÷ 2 +0-12 = 41 .
è 4ø 4
41
(3)
4 16-2【巩固】 【正确答案】(1)证明见解析；
【试题解析】【分析】（1）以A
1
点为坐标原点建立空
(2)证明见解析；
uuuur uuur
间直角坐标系，写出所需点坐标，证明MN×BC =0 3a
1 (3)
3
即可；
uuur uuur uuuur
【试题解析】【分析】以D为原点，DA,DC,DD 分别
uuuur uuur æ 1 ö 1
（2）求出MN =1,1,-1,BP=ç0,- ,-2÷，根据
è 2 ø 为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量
uuuur uuur
MN×BP 法证明（1）、（2）.对于（3）利用两点间的距离公式
cosq= 求解；
uuuur uuur
MN × BP
求出异面直线AC 与BC的距离.
1 1 1
（3）根据空间中两点间的距离公式直接求解即可.
uuur uuur uuuur
【详解】（1）以D为原点，DA,DC,DD 分别为x、
【详解】（1）如图，以A 点为坐标原点建立空间直 1
1
角坐标系， y、z轴正方向建立空间直角坐标系.
则D0,0,0，Aa,0,0，Ba,a,0，C0,a,0，
D 0,0,a，A a,0,a，B a,a,a，C 0,a,a，
1 1 1 1
æa ö æa 2a ö æ2a 2aö
Mç ,a,a÷,Eç , ,a÷,Fç ,a, ÷.
è2 ø è3 3 ø è 3 3 ø
uuuur uuuur
所以BD =-a,-a,a，AC =-a,a,0，
1 1 1
uuur
BC =-a,0,a.
1
由题意知：A （0，0，0），B（0，2，2），C（2， uuuur uuuur uuuur uuuur
1 因为BD ×AC =a2-a2+0=0，所以BD ^ AC ，即
1 1 1 1 1 1
2，2），B （0，2，0），M（0，0，1），N（1，1，
1
æ 3 ö æ 7 ö BD ^ AC ；
0），Pç0, ,0÷，Qç0, ,1÷， 1 1 1
è 2 ø è 4 ø
uuuur uuur uuuur uuur
uuuur uuur 因为BD ×BC =a2+0-a2 =0，所以BD ^BC，即
则MN =1,1,-1,BC =2,0,2， 1 1 1 1
1
uuuur uuur BD ^BC；
所以MN×BC =1´2+1´0+-1´2=0， 1 1
1
故MN ^BC.
1
uuuur uuur æ 1 ö
（2）MN =1,1,-1,BP=ç0,- ,-2÷,
è 2 ø
设MN与BP所成角为q，
故
æ 1ö
M uuu N ur × u B u P ur 1´0+1´ç è - 2 ÷ ø +-1´-2 51
cosq= = =
uuuur uuur
MN × BP 1 17 uuur æa a aö uuuur
1+1+1´ 0+ +4 （2）因为EF =ç , ,- ÷，AC =-a,a,0，
4 è3 3 3ø 1 1
. uuur
BC =-a,0,a.
1
æ 7 ö
（3）因为N（1，1，0），Qç0, ,1÷，
è 4 ø
38/48uuur uuuur a2 a2 uuur uuuur
所以EF×AC =- + +0=0，所以EF ^ AC ，
1 1 3 3 1 1
即EF ^ AC ;
1 1
uuur uuur a2 a2 uuur uuur
EF×BC =- +0+ =0，所以EF ^BC,即
1 3 3 1
EF ^BC.
1
由AB=AD=AF=2，CD=EF =1，
又EFÇAC =E,EFÇBC =F,
1 1 1
可知A0,0,0，C2,1,0，D2,0,0，B0,2,0，
所以EF是异面直线AC 与BC的公垂线段.
1 1 1
F0,0,2，
（3）由（2）可知：EF是异面直线AC 与BC的公
1 1 1
uuur uuur uuur
则CD=0,-1,0，DF =-2,0,2，FB=0,2,-2，
垂线段，
r
所以异面直线AC 与BC的距离即为 设n=x,y,z为平面CDF 的一个法向量，
1 1 1
æ2a aö 2 æ 2aö 2 æ2a ö 2 3a ì ïnr×C uu D ur =x,y,z×0,-1,0=-y=0
EF = ç è 3 - 3 ÷ ø + è ça- 3 ø ÷ + è ç 3 -a÷ ø = 3 . 则 îï í nr× u D uu F r =x,y,z×-2,0,2=-2x+2z=0 ，解得
3a y=0，
即异面直线AC 与BC的距离为 .
1 1 1
3
r
令x=1，则z=1，所以n=1,0,1，
16-3【提升】 【正确答案】(1)证明见解析
6 ur
(2) 设m=x,y,z 为平面DFB的一个法向量，
1 1 1
3
(3)相交， 13 ì ïmr× u F u B ur =x,y ,z ×0,2,-2=2y -2z =0
【试题解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质可证
则 îï í nr× u D uu F r =x 1
1
,y 1
1
,z 1
1
×-2,0,2=-2 1 x
1
+2 1 z
1
=0 ，
ur
明； 令x =1，则y =1，z =1，所以m=1,1,1，
1 1 1
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面
ur r
ur r m×n 1,1,1×1,0,1 2 6
CDF 和平面DFB的法向量，利用向量关系即可求 则cos m,n = ur r = = = ，
m× n 1+1+1´ 1+1 6 3
出；
uuuur r 由图形可知二面角C-DF-B为锐二面角，
（3）根据AM×n¹0可判断，再利用空间距离公式求
6
解即可． 所以二面角C-DF-B的余弦值为 ．
3
π
【详解】（1）因为ÐFAB= ，所以FA^ AB， æ 3 ö uuuur æ 3 ö
2 （3）由A0,0,0，Mç0, ,1÷得AM =ç0, ,1÷，
è 2 ø è 2 ø
又平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD
I
平面
uuuur r 3
因为AM×n=1´0+ ´0+1´1¹0，
ABEF = AB，FAÌ平面ABEF， 2
所以FA^平面ABCD． 所以AM 与平面DCEF 不平行，所以直线AM 与平
π 面DCEF 相交，
（2）又ÐBAD= ，所以FA、AD、AB两两互相
2
在四边形ABEF中延长AM 交FE，延长线于点H．
垂直．
点H就是直线AM 与平面DCEF 的交点，
如图以A为原点，AD，AB，AF 所在直线为x轴，
因为M 为棱BE的中点，可知EH = AB=2，则
y轴，z轴建立空间直角坐标系．
FH =2+1=3，
易知H0,3,2，所以 AH = 02+32+22 = 13．
39/4817-1【基础】 【正确答案】(1)证明见解析； ìn uur × u P u D ur =x ,y ,z ×  -2,0, 2  =0
ï 2 2 2 2
则í ，
π 6 uur uuur
(2)① 6 ；② 6 . ï î n 2 ×DC =x 2 ,y 2 ,z 2 ×0,2,0=0
【试题解析】【分析】（1）利用线面垂直证明线线垂 ìï-2x + 2z =0
即í 2 2 ，令z = 2，则x =1,y =0，
直，再结合正方形对角线垂直，可证明线面垂直，即 îï2y =0 2 2 2
2
证明面面垂直；
uur  
所以n = 1,0, 2 ，
2
（2）利用空间向量法来求法向量，从而可求二面角
由
的大小和线面角的正弦值.
【详解】（1）因为PA^平面ABCD，且BDÌ平面 ur uur n ur ×n uur  1,1, 2  ×  1,0, 2  3 3
cosn,n = 1 2 = = = ，
ABCD，所以PA^BD， 1 2 n ur × n uur 4´ 3 2 3 2
1 2
又因为底面ABCD为矩形，AB= AD=2，所以底面
ur uur ur uur π
因为n,n Î0,π，所以n,n = ，
ABCD为正方形，即AC^BD， 1 2 1 2 6
由图可知二面角B-PD-C是锐角，
又因为AC
I
PA= A,AC,PAÌ平面PAC，所以BD^
π
平面PAC， 则二面角B-PD-C的大小为 ；
6
又因为BDÌ平面PBD，所以平面PBD^平面PAC;
②设PB与平面PDC成的角为q，
（2）
则
-2,2,0×  1,0, 2 
uuur uur -2 6
sinq= cosPB,n = = =
2 -2,2,0×  1,0, 2  8´ 3 6
,
6
即PB与平面PDC成角的正弦值为 .
6
17-2【巩固】 【正确答案】(1)证明见解析；
①如图建立空间直角坐标系，由 (2)0.
【试题解析】【分析】（Ⅰ）取CD中点E，连接BE，推
AD= 2,PA= AB=2，
导出BE^CD，AB^AD，从而AB^平面PAD，即
可得：P2,0,0,B0,2,0,D  0,0, 2  , 证；
（Ⅱ）由题可得PC与平面PAD所成角为ÐCPD，进
则
u P u D ur =  -2,0, 2  , u D uu C r = u A u B ur =0,2,0, u P u B ur =-2,2,0，
而可得CD=2 2，AB= 2，以A为坐标原点，建立
空间直角坐标系，利用向量法即得．
ur
设平面PBD的法向量为n =x,y ,z ， 【详解】（1）取CD中点E，连接BE，
1 1 1 1
ìn ur × u P u D ur =x,y ,z ×  -2,0, 2  =0
ï 1 1 1 1
则í ，
ur uuur
ïn ×PB=x,y ,z ×-2,2,0=0
î 1 1 1 1
ìï-2x + 2z =0
即í 1 1 ，令z = 2，则x =1,y =1，所
îï-2x +2y =0 1 1 1
1 1
ur  
以n = 1,1, 2 ，
1
uur
设平面PDC的法向量为n =x ,y ,z ， ∵在四棱锥P-ABCD中，AB^ AP，AB∥CD，且
2 2 2 2
PB=BC =BD，CD=2AB，
40/48\BE^CD， 设二面角B-PC-D的平面角为q，
\AB^AD，又AD
I
AP= A，
则cosq=
|mr×nr|
=0，
|mr|×|nr|
\AB^平面PAD， ABÌ平面ABCD，
Q
∴二面角B-PC-D的余弦值为0．
∴平面PAD^平面ABCD；
17-3【提升】 【正确答案】(1)证明见解析
（2）∵AB∥CD，AB^平面PAD，
(2)证明见解析
\
CD
^
平面PAD，PC与平面PAD所成角为
13
ÐCPD， (3)
13
QV
PAD是边长为2的正三角形，PC与平面PAD所
【试题解析】【分析】（1）结合已知通过证明四边形
成角的正切值为 2， EFOD是平行四边形可得OF ∥DE，结合线面平行
的判定定理即可得证；
CD CD
\tanÐCPD= = = 2，解得CD=2 2，
PD 2 （2）通过线面垂直的判定定理证明PB^平面
\AB= 2，AD=2， ADE，进一步通过面面垂直的判定定理即可得证；
过点P作PO^平面ABCD，交AD于O，则 3
（3）结合已知得出OF = ，ÐPOB=120o，建立
2
PO= 22-12 = 3，
适当的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，结
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，过点A 合向量夹角的坐标公式即可得解.
作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 【详解】（1）
取PB中点F ，连接EF,OF.
又因为E为PC的中点，所以EF∥BC，且
1
EF = BC.
2
则B( 2,0,0),C(2 2,2,0),D(0,2,0),P(0,1, 3)， 1
在菱形ABCD中，OD∥BC，且OD= BC，
2
uuur uuur uuur
PB=( 2,-1,- 3),PC =(2 2,1,- 3),PD=(0,1,- 3) 所以EF∥OD，且EF =OD，所以四边形EFOD是
平行四边形.
，
设平面PBC的法向量nr=(x,y,z)， 所以OF ∥DE，
又OFÌ平面POB,DEË平面POB，所以DE∥平面
ì ïnr× u P u B uv = 2x-y- 3z=0
则í ïînr× u P u C uv =2 2x+y- 3z=0 ，取x= 3，得 POB.
（2）
æ 6 3 2ö
nr=ç 3,- , ÷，
ç ÷
2 2
è ø
设平面PCD的法向量mr =(a,b,c)，
ì ïmr× u P u C uv =2 2a+b- 3c=0
则í ，取b= 3，得
ïîmr× u P u D uv =b- 3c=0
连接AF ，由（1）知，A,D,E,F四点共面.
mr =(0, 3,1)， 在 PAB中，PA= AB,F 为PB的中点，所以
V
41/48AF ^PB， 3
所以cos mr,nr = mr×nr = 3 = 13 .
因为ÐBAD=ÐPAD=60o,PA= AB= AD，所以 mr × nr 1 13
3+1+
3
PAD, ABD都是正三角形，在 POB中，
V V V
13
PO=OB，所以OF ^PB， 由图形可知，二面角E-BD-C的余弦值为 .
13
又因为AFÇOF =F,AF,OF Ì平面ADE，所以
18-1【基础】 【正确答案】(1)证明见解析
PB^平面ADE.
2 2
(2)
又因为PBÌ平面PBC，所以平面ADE^平面PBC. 3
（3）由（2）知， PAD, ABD都是正三角形，且O
【试题解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得
V V
为AD的中点，
PA^BC，从而可证明BC ^平面PAB，再根据面面
垂直的判定定理即可得证；
所以AD^OB,AD^OP.
由（1）知，EF∥ AD，所以EF ^OB,EF ^OP，
（2）以点B为原点建立空间直角坐标系，利用向量
又OBÇOP=O,OB,OPÌ平面POB，所以EF ^平
法求解即可.
面POB.
【详解】（1）因为PA^平面PBC，BCÌ平面
PBC，
所以ÐEOF即为直线OE与平面POB所成的角.
所以PA^BC，
EF 2 3 3
因此 = ，得OF = .
OF 3 2 又AB^BC,ABÇPA= A,AB,PAÌ平面PAB，
在
V
POB中，PO=OB= 3，可得ÐPOB=120o. 所以BC ^平面PAB，
又BCÌ平面ABCD，
以O为原点，OA,OB所在直线分别为x轴，y轴建立
所以平面ABCD^平面PAB；
空间直角坐标系O-xyz，
（2）因为PA^平面PBC，PBÌ平面PBC，
所以PA^PB，
π
在Rt△PAB中，AB=4,ÐABP= ，则PB=2，
3
如图，以点B为原点建立空间直角坐标系，
则A4,0,0,C  0,0,2 2  ,D  2,0,2 2  ,P  1, 3,0  ，
则B  0, 3,0  ,D-1,0,0,P æ ç0,- 3 , 3ö ÷,C  -2, 3,0  .
ç è 2 2÷ ø 故 u A u D ur =  -2,0,2 2  , u A u P ur =  -3, 3,0  , u D uu C r =-2,0,0，
所以E
æ
ç-1,
3
,
3ö
÷,
u
D
uu
E
r
=
æ
ç0,
3
,
3ö
÷,
u
D
uu
B
r
=

1, 3,0

.
设平面PAD的法向量为nr=x,y,z，
ç 4 4÷ ç 4 4÷
è ø è ø
ì ïnr× u A u D ur =-2x+2 2z=0
设平面BDE的一个法向量为mr =x,y,z 则有í ïînr× u A u P ur =-3x+ 3y=0 ，令x= 2，则
ï ìu D uu E r ×mr = 3 y+ 3 z=0, y= 6,z=1，所以nr=  2, 6,1  ，
则í 4 4
ï î u D uu B r ×mr =x+ 3y=0, nr× u D uu C r
2 2
所以点C到平面PAD的距离为 = .
nr 3
æ 3ö
取x= 3，则mr =ç 3,-1, ÷是平面BDE的一个法
ç 3 ÷
è ø
向量.
又nr=0,0,1是平面BDC的一个法向量.
42/48ì ïnr× u P u C ur = 3ay+ 3az=0
则í
ïînr× u P u B ur =-ax+ 3az=0
，令x= 3，则
r
y=-1,z=1，即n=( 3,-1,1)，
所以点D到平面PBC的距离为
u D uu C r ×nr
2 3a 2 15a 4 15
d = = = = ，
1 nr 5 5 5
18-2【巩固】 【正确答案】(1)证明见解析
(2)16 解得a=2，所以
uuur uuur uuur
【试题解析】【分析】（1）如图，设 DA=(-2,-2 3,0),AB=(2,0,2 3),PB=(-2,0,2 3)，
AB=AD=AP=DP=BP=2a，则BE^ AP，根据余弦 ur
设平面ABCD的一个法向量为m=(x,y ,z )，
1 1 1
定理的应用和勾股定理的逆定理计算可得
判 DE 定 ^ 定 B 理 E 即 ， 可 结 证 合 明 线 ； 面垂直的判定定理与面面垂直的 则 ì ï í îï m m r r × × u u D A u u B u u A r r = = 2 - x 2 1 x + 1 - 2 2 3z 3 1 y = 1 = 0 0 ，令x 1 = 3，得
（2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求
y =-1,z =-1，
1 1
解点面距建立关于a的方程，再次利用空间向量法求
ur
出点P到平面ABCD的距离，结合锥体的体积公式计 所以m=( 3,-1,-1)，
算即可求解.
所以点P到平面ABCD的距离为
【详解】（1）设AB=AD=AP=DP=BP=2a，取AP的
u P u B ur ×mr
4 15
中点E，连接BE,DE,BD，如图， d = = ，
2 mr 5
则DE^AP,BE^AP，且DE=BE= 3a，
又平行四边形ABCD的面积为
在△ABD中， 1
S=2S =2× AD×ABsinÐBAD=16 1-cos2ÐBAD=4 15
VABD 2
1
BD= AB2+AD2-2AB×ADcosÐBAD= 8a2-8a2× = 6a，
4 ，
在
V
BDE中，有BD2 =DE2+BE2，所以DE^BE， 所以四棱锥P-ABCD的体积为
又AP I DE=E,AP、DEÌ平面PAD， V = 1 Sd = 1 ×4 15× 4 15 =16.
3 2 3 5
所以BE^平面PAD，又BEÌ平面PAB，
所以平面PAB ^平面PAD.
（2）由（1）知，EP,DE,DB两两垂直，建立如图空
间直角坐标系E-xyz，
则P(a,0,0),A(-a,0,0),B(0,0, 3a),D(0, 3a,0)，
uuur uuur
由DA=CB，得(-a,- 3a,0)=(-x ,-y , 3a-z )，
C C C
ì-a=-x
C
ìx
C
=a 18-3【提升】 【正确答案】(1)证明见解析
ï ï
所以í- 3a=-y ，解得íy = 3a，即 3 3
C C (2)（i） ；（ii） .
ï ï
î0= 3a-z îz = 3a 3 3
C C
【试题解析】【分析】（1）根据勾股定理可得线线垂
C(a, 3a, 3a)，
直，根据直线垂直的判定与性质，结合面面垂直判
uuur uuur uuur
所以PC=(0, 3a, 3a),PB=(-a,0, 3a)，DC=(a,0, 3a)，
定，可得答案；
r
设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z)，
（2）由题意建立建立直角坐标系，求得平面的法向
量，根据点面距以及面面角的向量公式，可得答案.
43/48【详解】（1）证明：在△ABP中，ÐAPB=30°， 1 1 3 1
所以S = BC×BP×sinÐCBP= ´1´ 3´ = .
△BPC 2 2 3 2
AP=2，AB=1，
因为PQ∥AB，AB^平面BCP，所以PQ^平面
AB AP
由正弦定理，得 = ，即
sinÐAPB sinÐABP BCP，
1 2 所以三棱锥Q-BCP的体积
= ，
sin30° sinÐABP
1 1 1 PQ
V = S ×PQ= ´ ´PQ= .
解得sinÐABP=1，则ÐABP为直角，所以AB^BP Q-BCP 3 △BPC 3 2 6
因为四边形ABCD为正方形，所以AB^BC 因为四棱锥P-ABCD的体积
又因为BPÇBC =B，BPÌ平面BCP，BCÌ平面 1 1
V = S ´1= ，且V =2V ，所
P-ABCD 3 正方形ABCD 3 P-ABCD Q-BCP
BCP，所以AB^平面BCP.
以PQ=1.
又因为ABÌ平面ABP，则平面ABP^平面BCP.
uuur uuur uuur uuur
（2）（i）以点D为坐标原点，DA，DC所在直线分 因为PQ=mAB(m>0)，所以m=1，即PQ= AB
别为x，y轴，
设平面APQ的法向量为mr =x,y ,z ，则
1 1 1
过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如
图所示的空间直角坐标系， ì ï u A u P ur ×mr =0 ìï- 2x +y +z =0
îï íu P u Q ur ×mr =0 ，即í îïy
1
=0 1 1 1 ，
ur
取x =1，则y =0，z = 2，所以m=(1,0, 2)
1 1 1
uuur ur
|AC×m| 1 3
则点C到平面APQ的距离为 ur = = .
|m| 1+2 3
uuur
则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0) （ii）由（i）知，Q(1- 2,2,1)，BC =(-1,0,0)，
uuur
设P(a,b,c)，c>0，则AB=(0,1,0)， uuur
BQ=(- 2,1,1)
uuur uuur uuur
AP=(a-1,b,c)，AD=(-1,0,0)，AC =(-1,1,0). 设平面BCQ的法向量为nr=x ,y ,z ，则
2 2 2
由（1）可知，ÐPAB=60°，又ÐPAD=45°，
ì ï u B u C ur ×nr=0 ïì-x =0
2
ï ìu A u B ur × u A u P ur =b=1´2´ 1 2 =1 îï íu B u Q ur ×nr=0 ，即í îï- 2x 2 +y 2 +z 2 =0
ï
ïuuur uuur 2 r
则íAD×AP=1-a=1´2´ = 2，解得 取y =1，则x =0，z =-1，所以n=(0,1,-1)，
2 2 2 2
ï
ïu A u P ur = a-12 +b2+c2 =2 ur r
ï ur r m×n 2 3
î 因为cosám,nñ= ur r =- =- ，
|m||n| 3´ 2 3
ìa=1- 2
ï 3
íb=1 ，即P(1- 2,1,1) 所以平面APQ与平面BCQ夹角的余弦值为 .
ï 3
c=1
î
19-1【基础】 【正确答案】(1)证明见解析
uuur uuur
因为BP=(- 2,0,1)，BC =(-1,0,0)， (2)4
【试题解析】【分析】（1）利用梯形去证明底面上的垂
所以
直关系，从而可得线面垂直，再证明线线垂直即可；
uuur uuur
uuur uuur BP×BC 2 6
cosÐCBP=cosáBP,BCñ= = = ， （2）利用恰当建系，设两个未知点的坐标，通过模
uuur uuur
|BP||BC| 3´1 3
长和垂直建立相等关系，再通过二面角夹角的大小再
3
所以sinÐCBP= ， 建立一个相等关系，从而通过方程组思想来求解即
3
44/48可. uur
而平面BCD法向量为n =0,0,1，
2
π
【详解】（1）由ÐCBA=ÐBAD= ，BA= AD=1知
2 ur uur 0,0,1×0,k,-n -n 7
由 cos n,n = = = ,
BD= 2，ÐABD=45°，ÐDBC =45°， 1 2 0,0,1×0,k,-n k2+n2 7
由ÐDBC =45°，结合余弦定理得
整理得：k2 =6n2，
2
DC2 =2+4-2´ 2´2´ =2， 代入m2-m+n2-n+k2 =0可得
2
则BD2+CD2 =4=BC2，所以BD^CD，
m2-m+7n2-n=0Þm2+7n2=1，
又因为DE^CD，即DP^CD，又由 ì 1
n=
ï ï 4 ìn=0
DP
I
BD=D,DP,BDÌ平面PBD， 再与m+n=1联立解得：í
ïm=
3
或í
îm=1
，
所以CD^平面PBD，又因为PBÌ平面PBD，所以 ïî 4
CD^PB， ì 1
n=
ï
ï 4
（2） 当í 时，代入
3
ïm=
ïî 4
æ3 ö æ1 ö
m-1a-1-n-1=0Þç -1÷ a-1-ç -1÷=0Þa=4
è4 ø è4 ø
ìn=0
当í 时，代入
îm=1
以B为原点，以平面BCD为平面Oxy，建立如图所
m-1a-1-n-1=0Þ1-1a-1-0-1=0Þ1=0
示得空间直角坐标系，
，所以此时不成立，则舍去，
有D1,1,0，设Ca,0,0，Pm,n,k，
综上可得BC =4.
可得
19-2【巩固】 【正确答案】(1)证明见解析
uuur uuur uuur uuur
BP=m,n,k，DP=m-1,n-1,k，DC=a-1,-1,0，BC=a,0,0，
3 19
(2)
，
19
由 (3) é êë 6,3 6ù úû
u B u P ur =m,n,k= m2+n2+k2=1， u D uu P r =m-1,n-1,k= m-12+n-12+k2=1
【试题解析】【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转
，两式消元可得m+n=1， 化，结合线面垂直的判定即可求证；
再由 （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可
uuur uuur
BP×DP=0Þm,n,k×m-1,n-1,k=0Þm2-m+n2-n+k2=0 求解平面的夹角；
，
（3）根据向量共线求出Q3l,6,3l，利用空间向量
再由
表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即
uuur uuur
DP×DC=0Þm-1,n-1,k×a-1,-1,0=0Þm-1a-1-n-1=0
可.
，
【详解】（1）
ur
设面PBC法向量为n =x,y,z，
1
ur uuur
ì ïn ×BP=0 ìmx+ny+kz=0
则íur 1
uuur
Þí ，
îïn ×BC=0 îax=0
1
ur
令y=k，则x=0，z=-n，则n =0,k,-n，
1
45/48因为折叠前D为PA中点，PA=12，所以 uuur
设平面ABCD的法向量为DP=0,0,6，所以
PD= AD=6，折叠后，PA=6 2，
所以PD2+AD2 =PA2，所以PD^ AD，在折叠前 cos nr, u D uu P r = nr× u D uu P r = 6 = 3 19
D,C分别为PA,PB中点， nr × u D uu P r 6 12+ æ ç 1ö ÷ 2 +1 19 ，
è3ø
所以DC//AB，又因为折叠前PA^ AB，所以
所以平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值为
DC ^PA，所以在折叠后PD^ AD，
3 19
DC^PD，AD^DC；以D为坐标原点， DA、 .
19
DC、DP分别为x、y、z轴建立
uuur
（3）设Qx,y ,z ，CQ=x,y -6,z ，
1 1 1 1 1 1
空间直角坐标系，则D0,0,0，A6,0,0，
uuur
CN =3,0,3，动点Q在线段CN 上，
B6,12,0，C0,6,0，P0,0,6，
所以C uu Q ur =lC uu N ur ，lÎ0,1，即
uuur
N 为PB中点，所以N3,6,3，CN =3,0,3，设平
ìx =3l
面PAB的法向量为
ï
1
x,y -6,z =3l,0,3l，即íy =6 ，
1 1 1 1
mr =x,y,z，又 u A u P ur =-6,0,6， u A u B ur =0,12,0，所 ï îz =3l
1
ì ï u A u P ur ×mr =0 所以Q3l,6,3l， u A u P ur =-6,0,6，
以 îï íu A u B ur ×mr =0 ，
uuur
QA=6-3l,-6,-3l，
ì-6x+6z=0
í ，令x=1，则y=0，z=1，所以 设点Q到线段AP的距离为d，
î12y=0
æuuur uuurö2
mr =1,0,1，所以C uu N ur =3m ur ， d = Q uu A ur2 - ç ç QA uu × ur AP÷ ÷ ，
ç AP ÷
uuur ur è ø
所以CN//m，所以CN ^平面PAB.
uuur
（2）设Qx ,y ,z ，由（1）知，CN =3,0,3，因 é-6×6-3l-3´6lù2
0 0 0 d = 6-3l2 +-62 +-3l2 -ê ú
ê ë 6 2 ú û
为动点Q在线段CN 上，
uuur 2uuur ，lÎ0,1，
且QC =2QN ，所以CQ= CN ，所以
3
x ,y -6,z =
2
3,0,3， d =
18l2-36l+54，lÎ0,1，令
0 0 0 3
所以x = 2，y =6，z =2，所以Q2,6,2， t
=18l2-36l+54，lÎ0,1，
0 0 0
Q uu P ur =-2,-6,4， 则t =18l-12 +36，lÎ0,1，根据二次函数的性
Q
uu
A
ur
=4,-6,-2，设平面PAQ的法向量为
质可知tÎ36,54，
ï ìQ uu P ur ×nr=0 所以dÎ é êë 6,3 6ù úû ，由此可知动点Q到线段AP的距
nr=x
1
,y
1
,z
1
，í
îïQ uu A ur ×nr=0
，
离的取值范围为 é êë 6,3 6ù úû .
ì-2x -6y +4z =0 1
í 1 1 1 ，令x =1，则y = ，z =1， 19-3【提升】 【正确答案】(1)证明见解析
î4x -6y -2z =0 1 1 3 1
1 1 1 1 4
(2)（i） ；（ii）
所以nr= æ ç1, 1 ,1 ö ÷， 2 3
è 3 ø
46/48AB垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐
【试题解析】【分析】（1）先证MN ^ AB ，再证明
1
标系，
CM^平面ABBA ，进而得出CM ^AB ，最后利用
1 1 1 （i）在 V ABC中，AB=3 3,AC =BC =3，
线面垂直的判定定理即可；
则在等腰 ABC中可得
V
（2）（i）以A为原点建系，计算平面ACC
1
A
1
与平面
1 1
AB ´3 3
2 2 3，
cosÐCAB= = =
BCCB 的法向量即可； AC 3 2
1 1
则ÐBAC =ÐABC =30o，
（ii）先利用线面平行的性质定理和判定定理求证
æ3 3 3 ö  
DE//AA，再利用公式 则Cç , ,0÷,B 3 3,0,0 ，
1 ç 2 2 ÷
è ø
u A u O uur ×nr u B u O uur ×mr
r= 1 = 1 计算r，最后计算 uuur æ3 3 3 ö uuur æ 3 3 3 ö
nr mr 则AC =ç , ,0÷,BC =ç- , ,0÷，
ç 2 2 ÷ ç 2 2 ÷
è ø è ø
2r+DE×sinÐBAA 1 即可. 所以AC的一个方向向量为ar=  3,1,0  ,BC的一个方
【详解】（1）如图，连接AB， r  
1 向向量为b = - 3,1,0 ，
因为四边形ABBA 为菱形，所以AB^ AB ， 2 2 1
1 1 1 1 由cosÐBAA = ，得tanÐBAA = ，则直线
1 3 1 2 2
因为M,N分别为棱AB,AA的中点，所以MN//AB，
 
1 1 AA 上存在点 2 2,0,1 ，
1
所以MN ^ AB 1 ， 所以AA,BB 的一个方向向量为cr=  2 2,0,1  ，
1 1
因为BC = AC，所以CM^ AB，
设平面ACC A 的法向量为nr=x,y ,z ，
1 1 1 1 1
因为平面ABB
1
A
1
^平面ABC，平面ABB
1
A
1I
平面
ì ïnr×ar= 3x +y =0
ABC = AB,CM Ì平面ABC， 则í 1 1 ，取x =-1，所以
îïnr×cr=2 2x +z =0 1
1 1
所以CM ^平面ABBA ，
1 1
nr=  -1, 3,2 2  ，
又AB Ì平面ABBA ，所以CM ^AB ，
1 1 1 1
设平面BCCB 的法向量为mr =x ,y ,z ，
1 1 2 2 2
又MNÇCM =M,MN,CM Ì平面CMN ，所以AB ^
1
ì ïmr×b r =- 3x +y =0
平面CMN . 则í 2 2 ，取x =1，所以
îïmr×cr=2 2x +z =0 2
2 2
mr =  1, 3,-2 2  ，
. 设平面ACC A 与平面BCCB 的夹角为q，
1 1 1 1
则
mr×nr -1+3-8 1
cosq= cos mr,nr = = = ，
（2）由（1）可知CM ^平面ABBA ， mr nr 1+3+8´ 1+3+8 2
1 1
以A为原点，AB所在直线为x轴，以过点A且与 1
所以平面ACC A 与平面BCCB 夹角的余弦值为 .
1 1 1 1 2
CM 平行的直线为y轴，平面ABBA 内过点A且与
1 1
47/48所以斜三棱柱ABC-ABC 的高为
1 1 1
1 4
2r+DE×sinÐBAA =1+ = ，
1 3 3
4
所以点A到平面ABC的距离为 .
1 3
（ii）设与平面ABC相切的球的球心为O，与平面
1
ABC 相切的球的球心为O ，
1 1 1 2
由题意知球O,O 均与平面ABBA 相切，设切点分别
1 2 1 1
为D,E，
连接OO ,DE，则OO //DE，OO =DE，
1 2 1 2 1 2
因为球O,O 均与平面ACC A 相切，所以OO //平面
1 2 1 1 1 2
ACC A ，
1 1
因为DEË平面ACC A ，所以DE//平面ACC A ，
1 1 1 1
又DEÌ平面ABB
1
A
1
，平面ABB
1
A
1I
平面
ACC A = AA ，所以DE//AA，
1 1 1 1
设球O的半径为r，球心O x,r,r，则
1 1
u A u O uur =x,r,r, u B u O uur =  x-3 3,r,r  ，
1 1
因为CM^平面ABBA ，所以点C到平面ABBA 的
1 1 1 1
3 3
距离为CM = ，则0<r< ，
2 2
u A u O uur ×nr u B u O uur ×mr
由r= 1 = 1 ，得
nr mr
   
-x+ 3+2 2 r =2 3r= x-3 3+ 3-2 2 r ，
   
由 -x+ 3+2 2 r = x-3 3+ 3-2 2 r ，得
3 3
x= +2 2r，
2
  1
代入 -x+ 3+2 2 r =2 3r，解得r= ，
2
所以DE=OO =2r=1，
1 2
则线段DE在z轴上的投影长度为
8 1
DE×sinÐBAA =1´ 1- = ，
1 9 3
48/48