点石联考2025年10月高二数学巩固卷-答案(1)_1多考区联考_251025点石联考2025年10月高二巩固卷（全）

答案解析 ✍ 变试题原题答案 【原卷 1 题】 【正确答案】A 【试题解析】 【原卷 2 题】 【正确答案】D 【试题解析】 【原卷 3 题】 【正确答案】A 【试题解析】 【原卷 4 题】 【正确答案】B 【试题解析】 【原卷 5 题】 【正确答案】C 【试题解析】 【原卷 6 题】 【正确答案】D 【试题解析】 【原卷 7 题】 【正确答案】C 【试题解析】 【原卷 8 题】 【正确答案】B 【试题解析】 【原卷 9 题】 【正确答案】BD 【试题解析】 16/48【原卷 10 题】 【正确答案】ACD 【试题解析】 【原卷 11 题】 【正确答案】ABD 【试题解析】 【原卷 12 题】 【正确答案】 【试题解析】 【原卷 13 题】 【正确答案】 17/48【试题解析】 【原卷 14 题】 【正确答案】 【试题解析】 【原卷 15 题】 【正确答案】 【原卷 16 题】 【正确答案】 18/48【原卷 17 题】 【正确答案】 19/48【原卷 18 题】 【正确答案】 【原卷 19 题】 【正确答案】 20/4821/48精准训练答案 求l的值. ✍ 变试题答案 uuur uuur 1uuur 1uuur uuur 【详解】由EA-lEA= EB+ EC+lAD得 3 4 1-1【基础】 【正确答案】A uuur 1uuur 1uuur uuur uuur EA= EB+ EC+l EA+AD ， 【试题解析】【分析】根据直线倾斜角的定义即可求解 3 4 并判断． uuur 1uuur 1uuur uuur 即EA= EB+ EC+lED， 3 4 π 【详解】∵l:y=tan = 3， 3 1 1 由空间向量共面定理的推论可知， + +l=1，解 3 4 ∴直线l平行于x轴，其倾斜角为0， 5 故选：A． 得l= . 12 1-2【巩固】 【正确答案】C 故选：B. 【试题解析】将直线方程转化为点斜式，再根据倾斜 2-3【提升】 【正确答案】D 角的范围求解. 【试题解析】【分析】由四点B，D，C ，F 共面可得 【详解】 xtan60°+y-3=0， 1 Q \y=-tan60°x+3=tan120°x+3， 存在实数x,y，使 u B u F ur =x u B u C uur +y u B u D ur ，用同一组基底 1 故直线的倾斜角是120°， uuur uuuur uuur 向量表示出BF,BC,BD，根据系数对应相等列方程 故选：C. 1 1-3【提升】 【正确答案】C 组求解. 【试题解析】【分析】分类讨论斜率的存在性，求出斜 【详解】由平行六面体的特征可得 率的取值范围即可得倾斜角. uuur uuur uuur uuur uuur uuur 1uuur AH = AB+BC+CH = AB+AD+ AA ， 2 1 【详解】由题意知，当cosq=0时，直线l的斜率不 π 存在，其倾斜角a= ； 2 当cosq¹0时，直线l的斜率 1 k = Î  -¥,-1È1,+¥  ， cosq éπ πö æπ 3πù 所以倾斜角aÎ ê , ÷Uç , ú ， ë4 2ø è2 4 û éπ 3πù 综上，aÎ , . uuur uuur uuur uuur luuur ê ë4 4 ú û 则AF =lAH =lAB+lAD+ 2 AA 1 ， 故选：C 所以 2-1【基础】 【正确答案】C uuur uuur uuur uuur uuur uuur luuur uuur uuur luuur BF=BA+AF=BA+lAB+lAD+ AA =l-1AB+lAD+ AA 【试题解析】【分析】根据空间向量共面定理得 2 1 2 1 1 ， +2x+y=1，进而求解. 2 uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur 又BD= AD-AB，BC =BC+CC = AD+AA ， 1 1 1 1 【详解】由M,A,B,C四点共面，所以 +2x+y=1， 2 又由B，D，C ，F 四点共面，可得存在实数x,y， 1 1 即2x+y= ， 2 使 故选：C. u B u F ur =x u B u C uur +y u B u D ur =x u A u D ur + u A u A ur +y u A u D ur - u A u B ur =-y u A u B ur +x+yu A u D ur +x u A u A ur 1 1 1 2-2【巩固】 【正确答案】B ， 【试题解析】【分析】根据空间共面向量定理的推论可 22/48ì 令z=-1，得x=2,y=-1，则此时法向量为 ïl-1=-y 所以 ï íl=x+y ，解得l= 2 . 2,-1,-1，故D错误. 3 ï l ï =x 故选：C. î2 4-2【巩固】 【正确答案】A 故选：D. 【试题解析】【分析】利用待定系数法，设出法向量， 3-1【基础】 【正确答案】C 取平面中两个不共线向量，根据向量点积建立方程， 【试题解析】【分析】根据平行线之间的距离公式求值. 可得答案. 【详解】根据平行线之间的距离公式得两直线之间的 uuur 距离为： 【详解】由已知得AB=1,-1,0， d = -2-3 =1 u A u C ur =-2,0,1．设nr=x,y,z， . 32+-42 ì ïnr× u A u B ur =0, ì x-y=0, 故选：C 则í ïînr× u A u C ur =0, 即í î-2x+z=0, 令x=1，则y=1， 3-2【巩固】 【正确答案】B 【试题解析】【分析】利用平行线间距离公式计算得解. z=2，所以nr=1,1,2． 【详解】直线3x-4y=1方程为6x-8y-2=0，直线 故选：A. 6x-8y=1方程为6x-8y-1=0， 4-3【提升】 【正确答案】D |-1-(-2)| 1 所以所求距离为 = . uuur uuur uuur uuur 62+82 10 【试题解析】【分析】设OQ=lOA+mOB，OQ为平 故选：B 面PAB的法向量，由面面垂直的性质定理得 3-3【提升】 【正确答案】A OQ^ AB，列式求出l,m得解. 【试题解析】【分析】先利用平行直线的关系求出参 【详解】设Q为空间内一点，且 数，然后利用两平行直线的距离公式计算距离即可. uuur uuur uuur OQ=lOA+mOB=l-2m,l+m,2l， 【详解】因为3x+2y-3=0和6x+my=0互相平 行， 由于平面PAB^平面OAB，所以平面PAB的法向量 所以3m=2´6，解得m=4， 垂直AB且平行平面OAB（或在平面OAB内部）， 所以直线6x+4y=0可以转化为3x+2y=0， uuur 故不妨取OQ为其法向量，则OQ^ AB， 由两条平行直线间的距离公式可得 uuur AB=-3,0,-2， 0--3 3 3 13 d = = = . 32+22 13 13 uuur uuur uuur 所以OQ×AB=0Þ6m=7l，取l=6,m=7代入OQ 故选：A uuur 得到OQ=-8,13,12，故D正确. 4-1【基础】 【正确答案】C 【试题解析】【分析】利用法向量的定义、求法进行计 故选：D. 算即可. 5-1【基础】 【正确答案】C r r 【详解】显然a与b不平行，设该平面的一个法向量 【试题解析】【分析】先利用空间向量的坐标运算求出 为nr=(x,y,z)， u A u B ur与 u A u C ur 的坐标，再利用 u A u C ur =l u A u B ur 列方程求解即 ìïar×nr=0 ì 2x+3y+z=0 可. 则有 îï í b r ×nr=0 ，即í î5x+6y+4z=0 ， 【详解】因为A1,5,-2，B2,4,2，Ca,3,b+2 令z=1，得x=-2,y=1，所以nr=(-2,1,1)，故A,B uuur uuur 所以AB=1,-1,4，AC =a-1,-2,b+4， 错误，C正确； 23/48又因为A，B，C三点共线， 2 所以 u A u C ur =l u A u B ur ， a-1 = -2 = b+4 =l， u A u B ur2 - u A u B ur ×er2 = 1- æ ç ç è 3 3ö ÷ ÷ ø = 3 6 ， 1 -1 4 故选：B. 解得a=3，b=4，所以a+b=7， 故选：C 6-2【巩固】 【正确答案】D 5-2【巩固】 【正确答案】D 【试题解析】【分析】根据条件，利用点到直线距离的 向量法，即可求解. 【试题解析】【分析】根据直线垂直于平面，则直线的 方向向量平行于平面的法向量，即可求解. 【详解】因为A2,2,1，B3,2,0，P2,0,-1，则 【详解】由直线l与平面a垂直，故直线l方向向量 uuur uuur AB=1,0,-1，AP=0,-2,-2， x,2,1与平面a的法向量nr=4,-4,-2平行， 所以点P到直线AB的距离为： ì4=lx ï ìl=-2 2 设4,-4,-2=lx,2,1，即 ï í î - -2 4= =l 2l，解得í îx=-2 . d = u A u P ur2 - æ ç ç u A u P ur u A u × B ur u A u B urö ÷ ÷ = 8- æ ç è 2 2 ö ÷ ø 2 = 6. è ø 故选：D. 故选：D 5-3【提升】 【正确答案】B 6-3【提升】 【正确答案】C ur r 【试题解析】【分析】先判断m∥n，求得a=2， 【试题解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系，利 r b=3，可得n=1,2,3，再根据投影向量公式求解即 用空间向量的方法求点到直线的距离即可. 【详解】 可. ur 【详解】因为m=2,4,6是平面a的一个法向量， r n=1,a,b是平面b的一个法向量，且平面a//平面 b， ur r 1 a b 所以得m∥n，则 = = ， 2 4 6 r 得a=2，b=3，所以n=1,2,3 r r 所以a在n上的投影向量为 如图所示，建立空间直角坐标系， r r r r a×n n 1´1+0´2-1´3 n 1r r × r = × =- n， 以D为坐标原点，以DA、DC、DD 分别为x、 n n 14 14 7 1 y、z轴的空间直角坐标系， 故选：B. 6-1【基础】 【正确答案】B D0,0,0，A 1 1,0,1，M1,2,0，设点M 到直线 【试题解析】【分析】由点B到直线AC的距离为： AD的距离为d， 1 u A u B ur2 - u A u B ur ×er2 即可求解. uuuur uuuur 所以DM =1,2,0，DA =1,0,1， 【详解】设向量 u A u C ur 的单位向量为er，则 1 根据点到直线距离公式有： er=ç æ - 3 , 3 ,- 3 ÷ ö ， u A u B ur ×er= 3 ， ç è 3 3 3 ÷ ø 3 u D uu M ur × u D uu A ur2 uuuur2 1 d = DM - ， 点B到直线AC的距离为： u D uu A ur2 1 24/48所以  2 1´1+2´0+0´12 1 3 2 d = 12+22+02 - = 5- =  2 2 2 12+02+12 . 故选：C 7-1【基础】 【正确答案】A 【试题解析】【分析】利用坐标法表示垂直关系，再代 因为正方体ABCD-ABCD 的棱长为3，所以 1 1 1 1 入距离公式，即可求解. D(0,0,0)，B(3,3,0)， 【详解】如图建立空间直角坐标系，E1,2,0， uuuur B(3,3,3)，A(3,0,3)，A(3,0,0)，而DA =(3,0,3)， 1 1 1 F2,0,1，设Pa,0,2，Q0,b,2， uuur DB=(3,3,0)， uuur uuur EP=a-1,-2,2，FQ=-2,b,1， uuuur uuur DB =(3,3,3)，AB =(0,3,3)，由题意得A,E,B 共 1 1 1 因为EP^FQ，所以 uuur uuur 线，A,H,D共线， EP×FQ=-2a-1-2b+2=0，即b=2-a， 1 uuur uuur uuuur uuuur 设AE=lAB(0£l£1)，AH =mAD(0£m£1)， 所以 PQ = a2+b2 = a2+2-a2 = 2a-12 +2， 1 1 1 E(a,b,c)，H(a,b,c )， 当a=1时，线段PQ的最小值为 2. 1 1 1 uuur uuuur 则AE=(a-3,b,c)，AH =(a -3,b,c -3)， 1 1 1 1 uuur lAB =(0,3l,3l)， 1 得到a-3=0，b=3l，c=3l，解得a=3，则 E(3,3l,3l)， uuuur uuuur 而AD=(-3,0,-3)，故mAD=(-3m,0,-3m)， 1 1 得到a -3=-3m，b =0，c -3=-3m， 1 1 1 故选：A 7-2【巩固】 【正确答案】C 解得a =3-3m，b =0，c =3-3m，则 1 1 1 【试题解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出关键 H(3-3m,0,3-3m)， 点的坐标，利用面面平行的性质消去变量，再利用向 uuur 故EH =(-3m,-3l,3-3m-3l)， 量模长公式将线段长度用一元函数表示，再结合二次 函数性质求解最值即可. r 设面BDDB 的法向量为n=(x,y,z)，结合 1 1 【详解】如图，以D为原点，建立空间直角坐标 uuur uuuur DB=(3,3,0)，DB =(3,3,3)， 系，连接DB,DB,AB,AD,EH ， 1 1 1 1 1 uuur r uuuur r 则DB×n=3x+3y=0，DB ×n=3x+3y+3z=0， 1 r 令x=1，解得y=-1，z=0，故n=(1,-1,0)， r 因为平面a//平面BDDB ，所以n=(1,-1,0)也是面 1 1 25/48a的法向量， æ 1 ö Eç1, ,0÷， uuur r è 2 ø 则EH×n=0，即-3m+3l=0，解得l=m，此时 uuur uuur uuur uuur 所以CB=1,1,0，CA =1,0,1，AA =0,0,1． EH =(-3l,-3l,3-6l)， 1 1 由向量模长公式得 设A关于平面ABC的对称点为A¢x,y,z，z > 0， 1 uuur EH = EH = (-3l)2+(-3l)2+(3-6l)2 ， 则 u A u ¢ u A ur =1-x,-y,1-z， u A u A ur ¢=x-1,y,z． 1 = 9l2+9l2+36l2-36l+9 = 54l2-36l+9， 设平面ABC的法向量nr=x,y ,z ，则 1 1 1 1 若 54l2-36l+9最小，则54l2-36l+9最小即 ì ïC uu B ur ×nr=x +y =0 可， îï í C uu A ur 1 ×nr=x 1 1 +z 1 1 =0 ， 令 f(l)=54l2-36l+9，由二次函数性质得对称轴 令x =1，则y =-1，z =-1，所以nr=1,-1,-1， 1 1 1 1 为l= ， 所以A与A¢到平面ABC的距离 3 1 而0≤l≤1，则当l= 1 时， f(l)取得最小值，最小 u A u A ur ×nr 3 u A u ¢ u A ur ×nr -x+y+z 3 d = 1 = = 1 = ， nr 3 nr 3 1 值为 f( )=3， 3 即 -x+y+z =1 ①． 则 54l2-36l+9的最小值为 3，即EH 的最小值 又 u A u A ur ¢∥nr，所以 x-1 = y = z ，即 为 3，故C正确. 1 -1 -1 x-1=-y=-z ②． 故选：C 1 2 7-3【提升】 【正确答案】C 由①②得3z-1 =1，由z > 0可得x= ，y= ， 3 3 【试题解析】【分析】建立适当的空间直角坐标系 2 z= ， Cxyz，因为A,E位于 V A 1 BC的同侧，设A关于平面 3 æ1 2 2ö 所以A¢ ç , , ÷， ABC的对称点为A¢x,y,z，根据 è3 3 3ø 1 uuur uuur uuur uuur uuuur 所以 PA + PE = PA¢ + PE ³ A¢E uuur uuur uuur uuur uuuur PA + PE = PA¢ + PE ³ A¢E 求解. 【详解】以C为原点，CA所在直线为x轴，过点C = æ ç 1 -1 ö ÷ 2 + æ ç 2 - 1ö ÷ 2 + æ ç 2 -0 ö ÷ 2 = 4 + 1 + 4 = 33 è3 ø è3 2ø è3 ø 9 36 9 6 且平行于AB的直线为y轴，CC 所在直线为z轴， 1 ， 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 当且仅当A¢，P，E三点共线时取等号， uuur uuur 33 所以 PA + PE 的最小值为 ． 6 故选：C. 8-1【基础】 【正确答案】C 【试题解析】【分析】求出直线x- 3y+1=0斜率及倾 斜角，再根据夹角为45°求出l的倾斜角即可. 3 【详解】直线x- 3y+1=0的斜率k = =tan30°， 3 则A 1,0,1，B1,1,0，C0,0,0，A1,0,0， 1 则其倾斜角为30°， 26/48大值. 由直线l与直线x- 3y+1=0夹角为45°，得l的倾斜 【详解】动直线x+my=0过定点A(0,0)，直线 角为45°+30° =75°或135°+30° =165°. mx- y-m+3=0化简为 故选：C ìx-1=0 8-2【巩固】 【正确答案】C m(x-1)= y-3，则í ，则直线过定点 îy-3=0 【试题解析】【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关 B(1,3)， 系，由两角差的正切公式以及同角三角函数之间的基 当m=0时，两条直线分别为x=0,y=3，交点 本关系计算可得结果. P(0,3)， 【详解】设直线l ，l 的倾斜角分别为a,b，则 1 2 tana=1,tanb=2,q=b-a; tanb-tana 2-1 1 因此tanq=tanb-a= = = ； 1 3 S = ´1´3= ； 1+tanbtana 1+2´1 3 VPAB 2 2 所以 1 2´ 2sinqcosq 2tanq 3 3 sin2q=2sinqcosq= = = = 1 sin2q+cos2q tan2q+1 æ1ö 2 5 当m¹0时，两条直线的斜率分别为：- ,m，所以 ç ÷ +1 m è3ø 两条直线互相垂直， . 故选：C 8-3【提升】 【正确答案】B 【试题解析】【分析】由题意知直线的斜率为 3，设 其倾斜角为a，将直线绕着原点逆时针旋转90°，得 到新直线的斜率为tan(a+90o)，化简求值即可得到 答案. 【详解】由3x- 3y=0知斜率为 3，设其倾斜角为 S = 1 PA PB £ 1 æ ç PA|2 + PB|2ö ÷= 1 |AB|2= 112+32= 5 VPAB 2 2ç 2 ÷ 4 4 2 è ø a，则tana= 3， ， 将直线3x- 3y=0绕着原点逆时针旋转90°， 5 当且仅当 PA = PB 时，面积达到最大值 ， 2 则 5 则 V PAB的面积的值可以是 或 5，不可以是 2 sin(a+90o) cosa 1 3 tan(a+90o)= = =- =- cos(a+90o) -sina tana 3 3,2 5, 故选：AB 3 故新直线的斜率是- . 9-2【巩固】 【正确答案】AD 3 故选：B. 【试题解析】【分析】对A，求出直线l 的斜率判断； 1 9-1【基础】 【正确答案】AB 对B，根据两直线平行的充要条件求解判断；对C， 【试题解析】【分析】求出两条直线的动点，对m进行 根据两直线垂直的充要条件求解判断；对D，求出直 分类讨论，当m=0，直接可求出三角形面积， 线l 过定点-1,-3，当点-4,1与点-1,-3连线垂 2 当m¹0时，两条直线互相垂直，即可求得面积的最 27/48直直线l 时，此时点-4,1到直线l 的距离最大，得 选 正 2 2 原因 解. 项 误 【详解】对于A，当a=-1时，直线 因为l :x-my+m-2=0可化为 1 1 l :x-2y-1=0，其斜率为k = ， 1 2 m1-y+x-2=0，所以直线l 恒过定 æ 1ö 1 所以l 的一个方向向量为ç1, ÷，故A正确； 1 è 2ø 点A2,1．又因为l :mx+y-4+2m=0 对于B，若l//l ，则-a-2a3a-1=0，解得a=0 2 1 2 A √ 可化为y-4=-mx+2 ，所以直线l 恒 1 2 或 ，经检验均合题意， 6 过定点B-2,4．故 1 所以a=0或 ，故B错误； 6 AB = (2+2)2+(1-4)2 =5． 对于C，若l ^l ，则3a-1-a´2a=0，即 1 2 2a2-3a+1=0， 对于直线l,l ，因为 1 2 1 解得a=1或 ，故C错误； 2 1´m+-m´1=0，所以l ^l ，可得 B √ 1 2 对于D，由l :3a-1x-ay-1=0，即 2 PA^PB，因此|PA|2 +|PB|2=|AB|2=25， a3x-y-x-1=0， 为定值． 令 ì í 3x-y=0 ，解得 ì í x=-1 ， S = 1 PA´ PB £ 1 ´ PA2+ PB2 = îx+1=0 îy=-3 VPAB 2 2 2 所以直线l 2 过定点-1,-3， 1 ´ 25 = 25 ，当且仅当 PA = PB = 5 2 2 2 4 2 C × 当点-4,1与点-1,-3连线垂直直线l 时，此时点 时等号成立（点拨 注意等号成立的条 2 件是否满足），所以S 的最大值为 -4,1到直线l 的距离最大， VPAB 2 25 ． 距离的最大值为 -4+12 +1+32 =5，故D正确. 4 故选：AD. 设ÐPAB=q，因为PA^PB，所以q为 9-3【提升】 【正确答案】ABD 锐角， PA =5cosq, PB =5sinq，所以 【试题解析】【分析】A选项，将两直线的一般式化为 点斜式，求出定点A,B，得到AB的绝对值；B选 2 PA + PB =52cosq+sinq= 项，利用两直线斜率关系，证得l ^l ，从而利用直 D √ 1 2 5 5sinq+j，其中tanj=2，所以当 角三角形三边关系求出|PA|2 +|PB|2为定值；C选 sinq+j=1时，2 PA + PB 取得最大 |a|2 +|b|2 项，用基本不等式|a||b|£ ，计算三角形 g 2 值5 5． 面积最大值；D选项，引进角q为变量，实质是通过 故选：ABD. 三角换元，解决两个变量的最值问题. 【详解】列表解析 直观解疑惑 10-1【基础】 【正确答案】ACD 28/48【试题解析】【分析】利用空间向量的基本定理可判断 uuur uuur uuur uuur PC+PB-2PA ×PC uuur uuur ，据此可判断选项 AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断 AF×CP=- 2 CD选项. 正误. 【详解】由题知， uuur uuur 1 【详解】对于A，由题：PA×PB=1´1´cos60°= ， r r r r r r π 2 a×b =a×c=b×c=2´2´cos =2． 3 故A正确； 对于B， uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur  uuur uuur uuur PA× BC+AC =PA× PC-PB+PC-PA =PA× 2PC-PB-PA uuur uuur uuur uuur uuur2 1 1 1 =2PA×PC-PA×PB-PA =2´1´1´cos60°- -1=1- -1=- 2 2 2 ，故B正确； uuur uuur 1uuur uuur 对于C，由PA=2PE，得 PA=PE，由 2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur BC =2BF ，得PC-PB=2PF-2PB uuuur uuur uuur uuur r r r uuur uuur 对于A选项，AC = AB+AD+AA =a+b+c，故A uuur PC+PB 1 1 ÞPF = ，所以 2 正确； uuur uuur uuur uuur uuur uuur PC+PB-PA EF =PF-PE= ， 对于B选项， 2 uuur uuur uuur C uu M uur =C uu C uur 1 +C uu 1 u M ur = u A u A ur 1 + 1 2 C uu 1 u A ur 1 = u A u A ur 1 - 1 2 u A u B ur + u A u D ur =- 1 2 ar- 1 2 b r +cr 则 u E u F ur = PC+PB-PA = 1 u P u C ur + u P u B ur - u P u A ur2 2 2 ，故B错误； 1 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 对于C选项， = PC +PB +PA +2PC×PB-2PC×PA-2PA×PB 2 u A u B ur × u A u C uur =ar×  ar+b r +cr =ar2+ar×b r +ar×cr=4+2+2=8 1 2 1 = 1+1+1+1-1-1= ．故C正确； 2 2 ，故C正确； uuur uuur uuur uuur uuur uuur PC+PB-2PA 对于D，AF =PF-PA= ，所以 对于D，C uu M uur × u A u C uur = æ ç- 1 ar- 1 b r +crö ÷×  ar+b r +cr 2 1 è 2 2 ø uuur uuur uuur uuur PC+PB-2PA ×PC uuur uuur 1r2 1r r 1r r 1 r r 1r2 1 r r r r r r r2 AF×CP=- =- a - a×b- a×c- b×a- b - b×c+c×a+c×b+c =0 2 2 2 2 2 2 2 ， 1 1 uuur2 uuur uuur uuur uuur 1+ -2´ PC +PB×PC-2PA×PC 2 2 1， uuuur uuur π =- =- =- 所以CM 与AC 的夹角为 ，故D正确． 2 2 4 1 2 故选：ACD． 故cos u A u F ur ,C uu P ur <0．故D错误. 10-2【巩固】 【正确答案】ABC 故选：ABC 【试题解析】【分析】对于A，由数量积定义可判断选 10-3【提升】 【正确答案】BC 项正误；对于B，由题可得 【试题解析】【分析】对于选项A，用向量的线性定理 uuur uuur uuur uuur  uuur uuur uuur PA× BC+AC =PA× 2PC-PB-PA ，然后由数量 uuur 将向量AC 表示出来，然后求向量的模即可；对于选 1 积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得 uuuruuur uuur uuur uuur 项B，可计算BC·BA 是否为0来验证四边形ABCD uuur PC+PB-PA 1 1 1 EF = ，然后由向量模长公式可判断选 2 是否为矩形，然后结合线段长度验证其是否为正方 项正误；对于D，由题可得 形；对于选项C，求出平面ABCD的法向量后可求 AA 与平面ABCD所成角的正弦值，故可求其余弦 1 29/48值，对于D，设 u A u P ur = u A u D ur +m u D uu D ur +n u D uu C r ，根据线线 ì ïnr× u A u B ur =a u A u B ur2 +b u A u D ur × u A u B ur +c u A u A ur × u A u B ur =0 1 则í 1 ，故 角可得m,n的方程，结合判别式可判断其正误. ï înr× u A u D ur =a u A u D ur × u A u B ur +b u A u D ur2 ×+c u A u A ur 1 × u A u D ur =0 【详解】对于选项A： ì36a+18b+18c=0 í ， 因为 î18a+36b+18c=0 uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur AC = AA +AC = AA +AD +AB = AA +AD+AB r uuur uuur uuur 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 取a=b=-1,c=3，故n=-AB-AD+3AA ， 1 ， 结合A中计算可得： uuuur2 uuur uuur uuur2 所以 AC 1 = AA 1 +AD+AB nr =  - u A u B ur - u A u D ur +3 u A u A ur2 = 11´36-12´6´6´ 1 +2´6´6´ 1 =6 6 1 2 2 = u A u A ur2 + u A u D ur2 + u A u B ur2 +2 u A u A ur × u A u D ur +2 u A u D ur × u A u B ur +2 u A u A ur × u A u B ur ， 1 1 1 , 设AA 与平面ABCD所成角的为a， 1 因为 u A u A ur2 = u A uu D ur2 = u A uu B ur2 =36， 故 1 1 1 1 1 而 u A u A ur · u A u D ur = u A u A ur u A u D ur cosÐAAD=6´6´ 1 =18， sina= cosnr, u A u A ur = nr× u A u A ur 1 =  - u A u B ur - u A u D ur +3 u A u A ur 1  × u A u A ur 1 = 72 = 6 1 1 1 2 1 nr× u A u A ur u A u A ur ×- u A u B ur - u A u D ur +3 u A u A ur 6´6 6 3 1 1 1 uuuuruuur uuuruuur 同理AD·AB=18，AA·AB=18， ， 1 1 1 3 所以 故cosa= ，故C正确； 3 uuuur2 AC =36+36+36+2´18+2´18+2´18=216， 1 对于选项D：因为P在四边形DDCC 内的动点，故 1 1 所以AC = 216 =6 6，A错误； uuur uuur uuuur uuur 1 可设AP= AD+mDD +nDC， 1 uuur uuur uuur uuur 其中00)，所以m=1，即PQ= AB 别为x，y轴， 设平面APQ的法向量为mr =x,y ,z ，则 1 1 1 过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， ì ï u A u P ur ×mr =0 ìï- 2x +y +z =0 îï íu P u Q ur ×mr =0 ，即í îïy 1 =0 1 1 1 ， ur 取x =1，则y =0，z = 2，所以m=(1,0, 2) 1 1 1 uuur ur |AC×m| 1 3 则点C到平面APQ的距离为 ur = = . |m| 1+2 3 uuur 则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0) （ii）由（i）知，Q(1- 2,2,1)，BC =(-1,0,0)， uuur 设P(a,b,c)，c>0，则AB=(0,1,0)， uuur BQ=(- 2,1,1) uuur uuur uuur AP=(a-1,b,c)，AD=(-1,0,0)，AC =(-1,1,0). 设平面BCQ的法向量为nr=x ,y ,z ，则 2 2 2 由（1）可知，ÐPAB=60°，又ÐPAD=45°， ì ï u B u C ur ×nr=0 ïì-x =0 2 ï ìu A u B ur × u A u P ur =b=1´2´ 1 2 =1 îï íu B u Q ur ×nr=0 ，即í îï- 2x 2 +y 2 +z 2 =0 ï ïuuur uuur 2 r 则íAD×AP=1-a=1´2´ = 2，解得 取y =1，则x =0，z =-1，所以n=(0,1,-1)， 2 2 2 2 ï ïu A u P ur = a-12 +b2+c2 =2 ur r ï ur r m×n 2 3 î 因为cosám,nñ= ur r =- =- ， |m||n| 3´ 2 3 ìa=1- 2 ï 3 íb=1 ，即P(1- 2,1,1) 所以平面APQ与平面BCQ夹角的余弦值为 . ï 3 c=1 î 19-1【基础】 【正确答案】(1)证明见解析 uuur uuur 因为BP=(- 2,0,1)，BC =(-1,0,0)， (2)4 【试题解析】【分析】（1）利用梯形去证明底面上的垂 所以 直关系，从而可得线面垂直，再证明线线垂直即可； uuur uuur uuur uuur BP×BC 2 6 cosÐCBP=cosáBP,BCñ= = = ， （2）利用恰当建系，设两个未知点的坐标，通过模 uuur uuur |BP||BC| 3´1 3 长和垂直建立相等关系，再通过二面角夹角的大小再 3 所以sinÐCBP= ， 建立一个相等关系，从而通过方程组思想来求解即 3 44/48可. uur 而平面BCD法向量为n =0,0,1， 2 π 【详解】（1）由ÐCBA=ÐBAD= ，BA= AD=1知 2 ur uur 0,0,1×0,k,-n -n 7 由 cos n,n = = = , BD= 2，ÐABD=45°，ÐDBC =45°， 1 2 0,0,1×0,k,-n k2+n2 7 由ÐDBC =45°，结合余弦定理得 整理得：k2 =6n2， 2 DC2 =2+4-2´ 2´2´ =2， 代入m2-m+n2-n+k2 =0可得 2 则BD2+CD2 =4=BC2，所以BD^CD， m2-m+7n2-n=0Þm2+7n2=1， 又因为DE^CD，即DP^CD，又由 ì 1 n= ï ï 4 ìn=0 DP I BD=D,DP,BDÌ平面PBD， 再与m+n=1联立解得：í ïm= 3 或í îm=1 ， 所以CD^平面PBD，又因为PBÌ平面PBD，所以 ïî 4 CD^PB， ì 1 n= ï ï 4 （2） 当í 时，代入 3 ïm= ïî 4 æ3 ö æ1 ö m-1a-1-n-1=0Þç -1÷ a-1-ç -1÷=0Þa=4 è4 ø è4 ø ìn=0 当í 时，代入 îm=1 以B为原点，以平面BCD为平面Oxy，建立如图所 m-1a-1-n-1=0Þ1-1a-1-0-1=0Þ1=0 示得空间直角坐标系， ，所以此时不成立，则舍去， 有D1,1,0，设Ca,0,0，Pm,n,k， 综上可得BC =4. 可得 19-2【巩固】 【正确答案】(1)证明见解析 uuur uuur uuur uuur BP=m,n,k，DP=m-1,n-1,k，DC=a-1,-1,0，BC=a,0,0， 3 19 (2) ， 19 由 (3) é êë 6,3 6ù úû u B u P ur =m,n,k= m2+n2+k2=1， u D uu P r =m-1,n-1,k= m-12+n-12+k2=1 【试题解析】【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转 ，两式消元可得m+n=1， 化，结合线面垂直的判定即可求证； 再由 （2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可 uuur uuur BP×DP=0Þm,n,k×m-1,n-1,k=0Þm2-m+n2-n+k2=0 求解平面的夹角； ， （3）根据向量共线求出Q3l,6,3l，利用空间向量 再由 表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即 uuur uuur DP×DC=0Þm-1,n-1,k×a-1,-1,0=0Þm-1a-1-n-1=0 可. ， 【详解】（1） ur 设面PBC法向量为n =x,y,z， 1 ur uuur ì ïn ×BP=0 ìmx+ny+kz=0 则íur 1 uuur Þí ， îïn ×BC=0 îax=0 1 ur 令y=k，则x=0，z=-n，则n =0,k,-n， 1 45/48因为折叠前D为PA中点，PA=12，所以 uuur 设平面ABCD的法向量为DP=0,0,6，所以 PD= AD=6，折叠后，PA=6 2， 所以PD2+AD2 =PA2，所以PD^ AD，在折叠前 cos nr, u D uu P r = nr× u D uu P r = 6 = 3 19 D,C分别为PA,PB中点， nr × u D uu P r 6 12+ æ ç 1ö ÷ 2 +1 19 ， è3ø 所以DC//AB，又因为折叠前PA^ AB，所以 所以平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值为 DC ^PA，所以在折叠后PD^ AD， 3 19 DC^PD，AD^DC；以D为坐标原点， DA、 . 19 DC、DP分别为x、y、z轴建立 uuur （3）设Qx,y ,z ，CQ=x,y -6,z ， 1 1 1 1 1 1 空间直角坐标系，则D0,0,0，A6,0,0， uuur CN =3,0,3，动点Q在线段CN 上， B6,12,0，C0,6,0，P0,0,6， 所以C uu Q ur =lC uu N ur ，lÎ0,1，即 uuur N 为PB中点，所以N3,6,3，CN =3,0,3，设平 ìx =3l 面PAB的法向量为 ï 1 x,y -6,z =3l,0,3l，即íy =6 ， 1 1 1 1 mr =x,y,z，又 u A u P ur =-6,0,6， u A u B ur =0,12,0，所 ï îz =3l 1 ì ï u A u P ur ×mr =0 所以Q3l,6,3l， u A u P ur =-6,0,6， 以 îï íu A u B ur ×mr =0 ， uuur QA=6-3l,-6,-3l， ì-6x+6z=0 í ，令x=1，则y=0，z=1，所以 设点Q到线段AP的距离为d， î12y=0 æuuur uuurö2 mr =1,0,1，所以C uu N ur =3m ur ， d = Q uu A ur2 - ç ç QA uu × ur AP÷ ÷ ， ç AP ÷ uuur ur è ø 所以CN//m，所以CN ^平面PAB. uuur （2）设Qx ,y ,z ，由（1）知，CN =3,0,3，因 é-6×6-3l-3´6lù2 0 0 0 d = 6-3l2 +-62 +-3l2 -ê ú ê ë 6 2 ú û 为动点Q在线段CN 上， uuur 2uuur ，lÎ0,1， 且QC =2QN ，所以CQ= CN ，所以 3 x ,y -6,z = 2 3,0,3， d = 18l2-36l+54，lÎ0,1，令 0 0 0 3 所以x = 2，y =6，z =2，所以Q2,6,2， t =18l2-36l+54，lÎ0,1， 0 0 0 Q uu P ur =-2,-6,4， 则t =18l-12 +36，lÎ0,1，根据二次函数的性 Q uu A ur =4,-6,-2，设平面PAQ的法向量为 质可知tÎ36,54， ï ìQ uu P ur ×nr=0 所以dÎ é êë 6,3 6ù úû ，由此可知动点Q到线段AP的距 nr=x 1 ,y 1 ,z 1 ，í îïQ uu A ur ×nr=0 ， 离的取值范围为 é êë 6,3 6ù úû . ì-2x -6y +4z =0 1 í 1 1 1 ，令x =1，则y = ，z =1， 19-3【提升】 【正确答案】(1)证明见解析 î4x -6y -2z =0 1 1 3 1 1 1 1 1 4 (2)（i） ；（ii） 所以nr= æ ç1, 1 ,1 ö ÷， 2 3 è 3 ø 46/48AB垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐 【试题解析】【分析】（1）先证MN ^ AB ，再证明 1 标系， CM^平面ABBA ，进而得出CM ^AB ，最后利用 1 1 1 （i）在 V ABC中，AB=3 3,AC =BC =3， 线面垂直的判定定理即可； 则在等腰 ABC中可得 V （2）（i）以A为原点建系，计算平面ACC 1 A 1 与平面 1 1 AB ´3 3 2 2 3， cosÐCAB= = = BCCB 的法向量即可； AC 3 2 1 1 则ÐBAC =ÐABC =30o， （ii）先利用线面平行的性质定理和判定定理求证 æ3 3 3 ö   DE//AA，再利用公式 则Cç , ,0÷,B 3 3,0,0 ， 1 ç 2 2 ÷ è ø u A u O uur ×nr u B u O uur ×mr r= 1 = 1 计算r，最后计算 uuur æ3 3 3 ö uuur æ 3 3 3 ö nr mr 则AC =ç , ,0÷,BC =ç- , ,0÷， ç 2 2 ÷ ç 2 2 ÷ è ø è ø 2r+DE×sinÐBAA 1 即可. 所以AC的一个方向向量为ar=  3,1,0  ,BC的一个方 【详解】（1）如图，连接AB， r   1 向向量为b = - 3,1,0 ， 因为四边形ABBA 为菱形，所以AB^ AB ， 2 2 1 1 1 1 1 由cosÐBAA = ，得tanÐBAA = ，则直线 1 3 1 2 2 因为M,N分别为棱AB,AA的中点，所以MN//AB，   1 1 AA 上存在点 2 2,0,1 ， 1 所以MN ^ AB 1 ， 所以AA,BB 的一个方向向量为cr=  2 2,0,1  ， 1 1 因为BC = AC，所以CM^ AB， 设平面ACC A 的法向量为nr=x,y ,z ， 1 1 1 1 1 因为平面ABB 1 A 1 ^平面ABC，平面ABB 1 A 1I 平面 ì ïnr×ar= 3x +y =0 ABC = AB,CM Ì平面ABC， 则í 1 1 ，取x =-1，所以 îïnr×cr=2 2x +z =0 1 1 1 所以CM ^平面ABBA ， 1 1 nr=  -1, 3,2 2  ， 又AB Ì平面ABBA ，所以CM ^AB ， 1 1 1 1 设平面BCCB 的法向量为mr =x ,y ,z ， 1 1 2 2 2 又MNÇCM =M,MN,CM Ì平面CMN ，所以AB ^ 1 ì ïmr×b r =- 3x +y =0 平面CMN . 则í 2 2 ，取x =1，所以 îïmr×cr=2 2x +z =0 2 2 2 mr =  1, 3,-2 2  ， . 设平面ACC A 与平面BCCB 的夹角为q， 1 1 1 1 则 mr×nr -1+3-8 1 cosq= cos mr,nr = = = ， （2）由（1）可知CM ^平面ABBA ， mr nr 1+3+8´ 1+3+8 2 1 1 以A为原点，AB所在直线为x轴，以过点A且与 1 所以平面ACC A 与平面BCCB 夹角的余弦值为 . 1 1 1 1 2 CM 平行的直线为y轴，平面ABBA 内过点A且与 1 1 47/48所以斜三棱柱ABC-ABC 的高为 1 1 1 1 4 2r+DE×sinÐBAA =1+ = ， 1 3 3 4 所以点A到平面ABC的距离为 . 1 3 （ii）设与平面ABC相切的球的球心为O，与平面 1 ABC 相切的球的球心为O ， 1 1 1 2 由题意知球O,O 均与平面ABBA 相切，设切点分别 1 2 1 1 为D,E， 连接OO ,DE，则OO //DE，OO =DE， 1 2 1 2 1 2 因为球O,O 均与平面ACC A 相切，所以OO //平面 1 2 1 1 1 2 ACC A ， 1 1 因为DEË平面ACC A ，所以DE//平面ACC A ， 1 1 1 1 又DEÌ平面ABB 1 A 1 ，平面ABB 1 A 1I 平面 ACC A = AA ，所以DE//AA， 1 1 1 1 设球O的半径为r，球心O x,r,r，则 1 1 u A u O uur =x,r,r, u B u O uur =  x-3 3,r,r  ， 1 1 因为CM^平面ABBA ，所以点C到平面ABBA 的 1 1 1 1 3 3 距离为CM = ，则0