文档内容
2024 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）
数学试题
注意事项：
]．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ）
A. 14 B. 16 C. 18 D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】由中位数定义即可得.
【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，
则其中位数为16.
故选：B.
2. 椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.
【详解】由题意得 ，解得 ，
故选：A.
3. 记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 120 B. 140 C. 160 D. 180
【答案】C
【解析】
【分析】利用下标和性质先求出 的值，然后根据前 项和公式结合下标和性质求解出 的值.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
4. 设 是两个平面， 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】由线面平行性质判断真命题，举反例判定假命题即可.
【详解】对于A， 可能平行，相交或异面，故A错误，对于B， 可能相交或平行，故B错误，对
于D， 可能相交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，
故选：C
5. 甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A. 20种 B. 16种 C. 12种 D. 8种
【答案】B
【解析】
【分析】分类讨论：乙丙及中间 人占据首四位、乙丙及中间 人占据尾四位，然后根据分类加法计数原
理求得结果.
【详解】因为乙和丙之间恰有 人，所以乙丙及中间 人占据首四位或尾四位，
①当乙丙及中间 人占据首四位，此时还剩末位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有 种方法，排甲有 种方法，剩余两个位置两人全排列有 种排法，
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学科网（北京）股份有限公司所以有 种方法；
②当乙丙及中间 人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在乙丙中间，
排乙丙有 种方法，排甲有 种方法，剩余两个位置两人全排列有 种排法，
所以有 种方法；
由分类加法计数原理可知，一共有 种排法，
故选：B.
6. 已知 为直线 上的动点，点 满足 ，记 的轨迹为 ，则（ ）
A. 是一个半径为 的圆 B. 是一条与 相交的直线
C. 上的点到 的距离均为 D. 是两条平行直线
【答案】C
【解析】
【分析】设 ，由 可得 点坐标，由 在直线上，故可将点代入坐标，即可得 轨迹
，结合选项即可得出正确答案.
【详解】设 ，由 ，则 ，
由 在直线 上，故 ，
的
化简得 ，即 轨迹为 为直线且与直线 平行，
上的点到 的距离 ，故A、B、D错误，C正确.
故选：C.
7. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将 齐次化即可得出答案.
【详解】由题 ，
得 ，
则 或 ，
因为 ，所以 ，
.
故选：A
8. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过坐标原点的直线与 交于 两点，
，则 的离心率为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的对称性可得 、 且四边形 为平行四边形，由题意可得
出 ，结合余弦定理表示出与 、 有关齐次式即可得离心率.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
由双曲线的对称性可知 ， ，有四边形 为平行四边形，
令 ，则 ，
由双曲线定义可知 ，故有 ，即 ，
即 ， ，
，
则 ，即 ，故 ，
则有 ，
即 ，即 ，则 ，由 ，故 .
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于 、 、 之间的等量关系，本题中
结合题意与双曲线的定义得出 、 与 的具体关系及 的大小，借助余弦定理表示出与 、
有关齐次式，即可得解.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数 ，则（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 函数 为偶函数
B. 曲线 的对称轴为
C. 在区间 单调递增
D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简 ，再根据三角函数的性质逐项判断即
可.
【详解】
，
即 ，
对于A， ，易知为偶函数，所以A正确；
对于B， 对称轴为 ，故B错误；
对于C， ， 单调递减，则
单调递增，故C正确；
对于D， ，则 ，所以 ，故D错误；
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学科网（北京）股份有限公司故选：AC
10. 已知复数 均不为0，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】设出 、 ，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.
【详解】设 、 ；
对A：设 ，则 ，
，故A错误；
对B： ，又 ，即有 ，故B正确；
对C： ，则 ，
， ，则 ，
即有 ，故C正确；
对D：
，
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学科网（北京）股份有限公司，
故 ，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则（ ）
A. B.
C. 函数 是偶函数 D. 函数 是减函数
【答案】ABD
【解析】
【分析】对抽象函数采用赋值法，令 、 ，结合题意可得 ，对A：令 、 ，
代入计算即可得；对 B、C、D：令 ，可得 ，即可得函数 及函数
函数的性质，代入 ，即可得 .
【详解】令 、 ，则有 ，
又 ，故 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 、 ，则有 ，
即 ，由 ，可得 ，
又 ，故 ，故A正确；
令 ，则有 ，
即 ，故函数 是奇函数，
有 ，即 ，
即函数 是减函数，
令 ，有 ，
故B正确、C错误、D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到 ，再重新
赋值，得到 ，再得到 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合 ，若 ，则 的最小值为__________．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由 可得 ，解出集合 后结合集合的关系计算即可得.
【详解】由 ，故 ，
由 ，得 ，
故有 ，即 ，即 ，
即 的最小值为 .
故答案为： .
13. 已知轴截面为正三角形的圆锥 的高与球 的直径相等，则圆锥 的体积与球 的体积的比值
是__________，圆锥 的表面积与球 的表面积的比值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设圆锥的底面圆半径 以及球的半径 ，用 表示出圆锥的高 和母线 以及球的半径 ，然后根
据体积公式求出体积比，根据表面积公式求得表面积之比.
【详解】设圆锥的底面半径为 ，球的半径为 ，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高 ，母线 ，
由题可知： ，所以球的半径
所以圆锥的体积为 ，
球的体积 ，
所以 ；
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学科网（北京）股份有限公司圆锥的表面积 ，
球的表面积 ，
所以 ，
故答案为： ； .
14. 以 表 示 数 集 中 最 大 的 数 ． 设 ， 已 知 或 ， 则
的最小值为__________．
【答案】 ##0.2
【解析】
【分析】利用换元法可得 ，进而根据不等式的性质，分情况讨论求解.
【详解】令 其中 ，
所以 ，
若 ，则 ，故 ，
令 ，
因此 ,故 ,则 ，
若 ，则 ，即 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司则 ,故 ,则 ，
当 时，等号成立，
综上可知 的最小值为 ，
故答案 ：为
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，在 和 前提下进行合理分类讨论，根据题意
得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词是“或”.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数 在点 处的切线与直线 垂直．
（1）求 ；
的
（2）求 单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ，极大值 ，极小值
【解析】
【分析】（1）结合导数的几何意义及直线垂直的性质计算即可得；
（2）借助导数可讨论单调性，即可得极值.
【小问1详解】
，则 ，
由题意可得 ，解得 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由 ，故 ，
则 ， ，
故当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故 的单调递增区间为 、 ， 的单调递减区间为 ，
故 有极大值 ，
有极小值 .
16. 盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．
（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；
（2）记取出的3个小球上的最小数字为 ，求 的分布列及数学期望 ．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）先确定 个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取 个，通过计算可求符合要求的
取法数，再除以总的取法数可得结果；
（2）先确定 的可取值为 ，然后计算出不同取值的概率，注意 的每种取值对应两种情况，由此
可求分布列和期望 .
【小问1详解】
记“取出的 个小球上的数字两两不同”为事件 ，
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学科网（北京）股份有限公司先确定 个不同数字的小球，有 种方法，
然后每种小球各取 个，有 种取法，
所以 .
【小问2详解】
由题意可知， 的可取值为 ，
当 时，分为两种情况：只有一个数字为 的小球、有两个数字为 的小球，
所以 ；
当 时，分为两种情况：只有一个数字为 的小球、有两个数字为 的小球，
所以 ；
当 时，分为两种情况：只有一个数字为 的小球、有两个数字为 的小球，
所以 ，
所以 的分布列为：
所以 .
17. 如图，平行六面体 中，底面 是边长为2的正方形， 为 与 的交点，
．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值.
【小问1详解】
连接 ，
因为底面 是边长为2的正方形，所以 ，
为
又因 ， ，
所以 ，所以 ，
点 为线段 中点，所以 ，
在 中， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
则 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
由题知正方形 中 ， 平面 ，所以建系如图所示，
则 ，
则 ，
，
设面 的法向量为 ，面 的法向量为 ，
则 ，
，
设二面角 大小为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以二面角 的正弦值为 .
18. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 两点，过 与 垂直的直线交 于
两点，其中 在 轴上方， 分别为 的中点．
（1）证明：直线 过定点；
（2）设 为直线 与直线 的交点，求 面积的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设出直线 与直线 的方程，联立曲线后得到与纵坐标有关韦达定理，结合题意，表
示出直线 后即可得定点坐标；
（2）设出直线 与直线 的方程，联立两直线后结合第一问中韦达定理得出点 的横坐标恒为 ，
再结合面积公式及基本不等式即可得.
【小问1详解】
由 ，故 ，由直线 与直线 垂直，
故两只直线斜率都存在且不为 ，
设直线 、 分别为 、 ，有 ，
、 、 、 ，
联立 与直线 ，即有 ，
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学科网（北京）股份有限公司消去 可得 ， ，
故 、 ，
则 ，
故 ， ，
即 ，同理可得 ，
当 时，
则 ，
即
，
由 ，即 ，
故 时，有 ，
此时 过定点，且该定点为 ，
当 时，即 时，由 ，即 时，
有 ，亦过定点 ，
故直线 过定点，且该定点为 ；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由 、 、 、 ，
则 ，由 、 ，
故 ，
同理可得 ，联立两直线，即 ，
有 ，
即 ，
有 ，由 ，同理 ，
故
，
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学科网（北京）股份有限公司故 ，
过点 作 轴，交直线 于点 ，则 ，
由 、 ，
故 ，
当且仅当 时，等号成立，
下证 ：
由抛物线的对称性，不妨设 ，则 ，
当 时，有 ，则点 在 轴上方，点 亦在 轴上方，
有 ，由直线 过定点 ，
此时 ，
同理，当 时，有点 在 轴下方，点 亦在 轴下方，
有 ，故此时 ，
当且仅当 时， ，
故 恒成立，且 时，等号成立，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点睛：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点 的横坐标恒为 ，此时可
根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.
19. 离散对数在密码学中有重要的应用．设 是素数，集合 ，若 ，记
为 除以 的余数， 为 除以 的余数；设 ， 两两不同，若
，则称 是以 为底 的离散对数，记为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）对 ，记 为 除以 的余数（当 能被 整除时，
）．证明： ，其中 ；
（3）已知 ．对 ，令 ．证明：
．
【答案】（1）1 （2）证明见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）第一问直接根据新定义来即可.
（2）第二问结合新定义、带余除法以及费马小定理即可得证.
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学科网（北京）股份有限公司（3）根据新定义进行转换即可得证.
【小问1详解】微信公众号：智慧学库
若 ，又注意到 ，
所以 .
【小问2详解】
当 时，此时 ，此时 ， ，
故 ，
此时 .
当 时，因 相异，故 ，
而 ，故 互质.
设
记 ，
则 ，使得 ，
故 ，故 ，
设 ，则 ，
因为 除以 的余数两两相异，
且 除以 的余数两两相异，
故 ，故 ，
故 ，而 其中 ，
故 即 .
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司当 时，由（2）可得 ，若 ，则 也成立.
因为 ，所以 .
另一方面，
.
由于 ，所以 .
【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即
可顺利得解.
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学科网（北京）股份有限公司
