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湖南省怀化市 2020 年中考数学真题
一、选择题（每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的
相应位置上）
1.下列数中，是无理数的是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式求解即可．
【详解】解：-3，0， 是有理数， 是无理数．
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无
限不循环小数，③含有π的数．
2.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、积的乘方与同底数幂的乘法法则计算各项，进而可得
答案．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不能合并，所以本选项计算错误，不符合题意；
B、 ，所以本选项计算正确，符合题意；
C、 ，所以本选项计算错误，不符合题意；
D、 ，所以本选项计算错误，不符合题意．
故选：B．【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的除法和乘法以及积的乘方等运算法则，属于基本题型，熟练
掌握上述基础知识是关键．
3.《三国演义》《红楼梦》《水浒传》《西游记》是我国古典长篇小说四大名著．其中2016年光明日报出
版社出版的《红楼梦》有350万字，则“350万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
科学记数法的形式是： ，其中 ＜10， 为整数．所以 ， 取决于原数小数点的移动
位数与移动方向， 是小数点的移动位数，往左移动， 为正整数，往右移动， 为负整数。本题小数点
往左移动到 的后面，所以
【详解】解： 万
故选
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定
好 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4. 若一个多边形 的内角和为1080°，则这个多边形的边数为【 】
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】C
【解析】
多边形内角和定理．
【分析】设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）
=1080，
解此方程即可求得答案：n=8．故选C．
5.如图，已知直线 ， 被直线 所截，且 ，若 ，则 的度数为（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据对顶角相等可得∠1的度数，再根据平行线的性质可得 的度数．
【详解】解：∵ ＝40°，
∴∠1＝ ＝40°，
∵a∥b，
∴ ＝∠1＝40°，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了对顶角相等和平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．
6.小明到某公司应聘，他想了解自己入职后的工资情况，他需要关注该公司所有员工工资的（ ）
A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，结合该公司所有员工工资的情况，从统计量的角度分析可得答案．
【详解】解：根据题意，小明到某公司应聘，了解这家公司的员工的工资情况，就要全面的了解中间员工
的工资水平， 故最应该关注的数据是中位数，
故选：B．
【点睛】本题考查的是平均数，众数，中位数，方差的含义，以及在实际情境中统计意义，掌握以上知识
是解题的关键．
7.在 中， ， 平分 ，交 于点 ， ，垂足为点 ，若 ，
则 的长为（ ）A. 3 B. C. 2 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．
【详解】∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED，
∴DE=BE=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
8.已知一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得方程的判别式△=0，进而可得关于k的方程，解方程即得答案．
【详解】解：由题意，得： ，解得： ．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，属于基础题型，熟知一元二次方程的根的判别式与方程
根的个数的关系是解题关键．9.在矩形 中， 、 相交于点 ，若 的面积为2，则矩形 的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出 ，即可求出矩形ABCD的
面积.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，对角线 、 相交于点 ，
∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD，
∴ ,
∴矩形 的面积为 ,
.
故选：C
【点睛】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的；面积四等分，由此
可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键.
10.在同一平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图像如图所示、则
当 时，自变量 的取值范围为（ ）.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
观察图像得到两个交点的横坐标，再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段，从而可得答案．
【详解】解：由图像可得：两个交点的横坐标分别是：
所以：当 时，
，
故选D．
【点睛】本题考查的是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式，掌握数型结合的方法是解题的关键．
二、填空题（请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11.代数式 有意义，则x的取值范围是__．
【答案】x＞1
【解析】
【分析】
根据被开方式大于零列式解答即可.
【详解】解：由题意得：x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故答案为x＞1．
【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围，代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考
虑：①当代数式是整式时，字母可取全体实数；②当代数式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当代
数式是二次根式时，被开方数为非负数．
12.若因式分解： __________．
【答案】
【解析】
【分析】
应用提取公因式法，公因式x，再运用平方差公式，即可得解.【详解】解：
【点睛】此题主要考查运用提公因式进行因式分解，平方差公式的运用，熟练掌握即可解题.
13.某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占
40%，则该教师的综合成绩为_________分．
【答案】72
【解析】
【分析】
根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即
可求解．
【详解】解：根据题意知，该名老师的综合成绩为 （分）
故答案为：72．
【点睛】本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键．
14.如图，在 和 中， ， ， ，则 ________º．
【答案】130
【解析】
【分析】
证明△ABC≌△ADC即可．
【详解】∵ ， ，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠D=∠B=130°，
故答案为：130．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．
15.如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是________（结果保留 ）．【答案】24π cm²
【解析】
【分析】
根据三视图确定该几何体是圆柱体，再计算圆柱体的侧面积．
【详解】解：先由三视图确定该几何体是圆柱体，底面半径是4÷2=2cm，高是6cm，
圆柱的侧面展开图是一个长方形，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆柱的高，
且底面周长为：2π×2=4π(cm)，
∴这个圆柱的侧面积是4π×6=24π(cm²)．
故答案为：24π cm²．
【点睛】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆柱体的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆
柱体．
16.如图， ， ， ，…， ，都是一边在 轴上的等边三角形，点 ，
， ，…， 都在反比例函数 的图象上，点 ， ， ，…， ，都在 轴上，则
的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，过点B 作B C⊥x轴于点C，过点B 作B D⊥x轴于点D，过点B 作B E⊥x轴于点E，先在△OCB
1 1 2 2 3 3 1中，表示出OC和B C的长度，表示出B 的坐标，代入反比例函数，求出OC的长度和OA 的长度，表示
1 1 1
出A 的坐标，同理可求得A、A 的坐标，即可发现一般规律．
1 2 3
【详解】如图，过点B 作B C⊥x轴于点C，过点B 作B D⊥x轴于点D，过点B 作B E⊥x轴于点E，
1 1 2 2 3 3
∵△OA B 为等边三角形，
1 1
∴∠B OC=60°，
1
∴ ，B C= OC，
1
设OC的长度为x，则B 的坐标为（ ），代入函数关系式可得： ，
1
解得，x=1或x=-1（舍去），
∴OA =2OC=2，
1
∴A（2，0）
1
设AD的长度为y，同理，B D为 y，B 的坐标表示为 ，
1 2 2
代入函数关系式可得 ，
解得：y= 或y= （舍去）
∴AD= ，AA= ，OA =
1 1 2 2
∴A（ ，0）
2
设AE的长度为z，同理，B E为 z，B 的坐标表示为 ，
2 3 3
代入函数关系式可得 ，
解得：z= 或z= （舍去）∴AE= ，AA= ，OA =
2 2 3 3
∴A（ ，0），
3
综上可得：A（ ，0），
n
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形类规律探索、反比例函数的性质、等边三角形的性质、求解一元二次方程和解直角
三角形，灵活运用各类知识求出A、A、A 的坐标是解题的关键．
1 2 3
三、解答题
17.计算：
【答案】
【解析】
【分析】
按照公式 、特殊角的三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号进行运算，最后计算加
减即可．
【详解】解：原式=
.
故答案为
【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂、负指数幂公式、熟记特殊锐角三角函数
值及二次根式与绝对值的性质等．18.先化简，再求值： ，然后从 ，0，1中选择适当的数代入求值．
【答案】 ，1．
【解析】
【分析】
根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入 求值即可．
【详解】原式
．
∵x+1≠0且x-1≠0且x+2≠0，
∴x≠-1且x≠1且x≠-2，
当 时，分母不为0，代入：
原式 ．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，注意运算顺序为：先算乘除，再算加减，有括号先算括号内
的；另外本题选择合适的数时要注意选择的数不能使分母为0．
19.为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A．书画类、
B．文艺类、C．社会实践类、D．体育类”．现随机抽取了七年级部分学生对报名意向进行调查，并根据
调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：（1）本次被抽查的学生共有_____________名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆心角的度数为
___________度；
（2）请你将条形统计图补全；
（3）若该校七年级共有600名学生，请根据上述调查结果估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共
有多少名？
（4）本次调查中抽中了七（1）班王芳和小颖两名学生，请用列表法或画树状图法求她们选择同一个项目
的概率．
【答案】（1）50，72；（2）见解析；（3）96名；（4） ．
【解析】
【分析】
（1）用条形统计图中D类的人数除以扇形统计图中D类所占百分比即可求出被抽查的总人数，用条形统
计图中A类的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中A类所占扇形的圆心角的度数；
（2）用总人数减去其它三类人数即得B类人数，进而可补全条形统计图；
（3）用C类人数除以总人数再乘以600即可求出结果；
（4）先利用列表法求出所有等可能的结果数，再找出王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果数，然
后根据概率公式计算即可．
【详解】解：（1）本次被抽查的学生共有：20÷40%=50名，扇形统计图中“A．书画类”所占扇形的圆
心角的度数为 ；
故答案为：50，72；
（2）B类人数是：50－10－8－20=12名，补全条形统计图如图所示：（3） 名，
答：估计该校学生选择“C．社会实践类”的学生共有96名；
（4）所有可能的情况如下表所示：
由表格可得：共有16种等可能的结果，其中王芳和小颖两名学生选择同一个项目的结果有4种，
∴王芳和小颖两名学生选择同一个项目的概率 ．
【点睛】本题是统计与概率类综合题，主要考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体和求两次
事件的概率等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
20.如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树的高度，在距离古树A点处测得古树顶端D的仰角为30°，然后
向古树底端C步行20米到达点B处，测得古树顶端D的仰角为45°，且点A、B、C在同一直线上求古树
CD的高度．（已知： ，结果保留整数）
【答案】27米【解析】
【分析】
设CB=CD=x，根据tan30°= 即可得出答案．
【详解】解：由题意可知，AB=20，∠DAB=30°，∠C=90°，∠DBC=45°，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴设CB=CD=x，
tan30°= = ，
解得x=10 +10≈10×1.732+10=27.32≈27，
∴CD=27，
答：CD的高度为27米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，构造直角三角形是解题关键．
21.定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）下面四边形是垂等四边形的是____________（填序号）
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形
（2）图形判定：如图1，在四边形 中， ∥ ， ，过点D作BD垂线交BC的延长
线于点E，且 ，证明：四边形 是垂等四边形．
（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为
24的垂等四边形 内接于⊙O中， ．求⊙O的半径．
【答案】（1）④；（2）证明过程见解析；③4
【解析】
【分析】
（1）根据垂等四边形的性质对每个图形判断即可；（2）根据已知条件可证明四边形ACED是平行四边形，即可得到AC=DE，再根据等腰直角三角形的性质
即可得到结果；
（3）过点O作 ，根据面积公式可求得BD的长，根据垂径定理即可得到答案．
【详解】（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是；②矩形对角线相等但不垂直；
③菱形的对角线互相垂直但不相等；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；
（2）∵ ， ，
∴AC∥DE，
又∵ ∥ ，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴AC=DE，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴△BDE ，
∴BD=DE，
BD=AC
∴四边形 是垂等四边形．
（3）如图，过点O作 ，
∵四边形 是垂等四边形，
∴AC=BD，
又∵垂等四边形的面积是24，,根据垂等四边形的面积计算方法得：
，又∵ ，
∴ ，
设半径为r，根据垂径定理可得：
在△ODE中，OD=r，DE= ，
∴ ，
∴ 的半径为4．
【点睛】本题主要考查了四边形性质与圆的垂径定理应用，准确理解新定义的垂等四边形的性质是解题的
关键．
22.某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台，已知甲型平板电脑进价1600元，售价2000
元；乙型平板电脑进价为2500元，售价3000元．
（1）设该商店购进甲型平板电脑x台，请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式．
（2）若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元，全部售出所获利润不低于8500元，请设计出
所有采购方案，并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润．
【答案】（1）y=-100x+10000；（2）共有四种采购方案：①甲型电脑12台，乙型电脑8台，②甲型电脑
13台，乙型电脑7台，③甲型电脑14台,乙型电脑6台，④甲型电脑15台，乙型电脑5台，采购甲型电脑
12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【解析】
【分析】
(1)根据利润等于每台电脑的利润乘以台数列得函数关系式即可；
(2)根据题意列不等式组，求出解集，根据解集即可得到四种采购方案，由（1）的函数关系式得到当x取
最小值时，y有最大值，将x=12代入函数解析式求出结果即可.
【详解】（1）由题意得：y=（2000-1600）x+（3000-2500）（20-x）=-100x+10000，
∴全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式为y=-100x+10000；
（2）由题意得： ，
解得 ，∵x为正整数，
∴x=12、13、14、15，
共有四种采购方案：
①甲型电脑12台，乙型电脑8台，
②甲型电脑13台，乙型电脑7台，
③甲型电脑14台,乙型电脑6台，
④甲型电脑15台，乙型电脑5台，
∵y=-100x+10000，且-100<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x取最小值时，y有最大值，
即x=12时，y最大值= ，
∴采购甲型电脑12台，乙型电脑8台时商店获得最大利润，最大利润是8800元.
【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，不等式组的应用，方案问题的解决方法，正确理解题意，根据
题意列出对应的函数关系式或是不等式组解答问题是解题的关键.
23.如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，延长AB到点D，使CD=CA，且 ．
（1）求证： 是⊙O的切线．
（2）分别过A、B两点作直线CD的垂线，垂足分别为E、F两点，过C点作AB的垂线，垂足为点G．求
证： ．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【解析】
【分析】
(1)连接 OC，∠CAD=∠D=30°，由 OC=OA，进而得到∠OCA=∠CAD=30°，由三角形外角定理得到
∠COD=∠A+∠OCA=60°，在△OCD中由内角和定理可知∠OCD=90°即可证明；
(2)证明AC是∠EAG的角平分线，CB是∠FCG的角平分线，得到CE=CG，CF=CG，再证明△AEC∽△CFB，对应线段成比例即可求解．
【详解】解：(1)连接OC，如下图所示：
∵CA=CD，且∠D=30°，
∴ ∠CAD=∠D=30°，
∵ OA=OC，
∴ ∠CAD=∠ACO=30°，
∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°，
∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°，
∴ OC⊥CD，
∴ CD是⊙O的切线．
(2)连接BC，如下图所示：
∵∠COB=60°，且OC=OB，
∴△OCB为等边三角形，∠CBG=60°，
又CG⊥AD，∴∠CGB=90°，
∴∠GCB=∠CGB-∠CBG=30°，
又∠GCD=60°，
∴CB是∠GCD的角平分线，且BF⊥CD，BG⊥CG，∴BF=BG，
又BC=BC，
∴△BCG≌△BCF，
∴CF=CG.
∵∠D=30°，AE⊥ED，∠E=90°，
∴∠EAD=60°，
又∠CAD=30°，
的
∴AC是∠EAG 角平分线，且CE⊥AE，CG⊥AB
∴CE=CG，
∵∠E=∠BFC=90°，∠EAC=30°=∠BCF，
∴△AEC∽△CFB，
∴ ，即 ，
又 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质等，属于中考常考题
型，熟练掌握切线性质、角平分线性质是解决此题的关键.
24.如图所示，抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接 求 面积的最大值及此时点N的坐
标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四
边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与
相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) (0,-3)，(1,-4)；(2) ，( )；(3) G点坐标存在，为(2，-3)或(4，5)或(-2，1)；(4) P点
坐标存在，为 或 ．
【解析】
【分析】
(1)令抛物线解析式中x=0即可求出C点坐标，由公式 即可求出顶点M坐标；
(2)如下图所示，过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N( )，求出BC解析式，进而得
到Q点坐标，最后根据 即可求解；
(3)设D点坐标为(1,t)，G点坐标为( )，然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC
是对角线时三种情况进行讨论即可求解；
(4)连接AC，由CE=CB可知∠B=∠E，求出MC的解析式，设P(x,-x-3)，然后根据△PEO相似△ABC，分成
和 讨论即可求解.
【详解】解：(1)令 中x=0，此时y=-3，故C点坐标为(0,-3)，
又二次函数的顶点坐标为 ，代入数据解得M点坐标为 ，故答案为：C点坐标为(0，-3)， M点坐标为(1，-4)；
(2) 过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如下图所示：
令 中y=0，解得B(3,0)，A(-1,0)，
设直线BC的解析式为： ，代入C(0,-3)，B(3,0)，
∴ ，解得 ，即直线BC的解析式为： ，
设N点坐标为( )，故Q点坐标为 ，其中 ，
则
，其中 分别表示Q,C,B三点的横坐标，
且 ， ，
故 ，其中 ，
当 时， 有最大值为 ，此时N的坐标为( )，
故答案为： 有最大值为 ，N的坐标为( )；
(3) 设D点坐标为(1,t)，G点坐标为( )，且B(3,0)，C(0,-3)
分类讨论：
情况①：当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：
线段DG的中点坐标为 ，即 ，
线段BC的中点坐标为 ，即 ，
此时DG的中点与BC的中点为同一个点，
故 ，解得 ，
检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为(2，-3)；
情况②：当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：
线段DB的中点坐标为 ，即 ，
线段GC的中点坐标为 ，即 ，
此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
故 ，解得 ，
检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为(4，5)；
情况③：当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：
线段DC的中点坐标为 ，即 ，
线段GB的中点坐标为 ，即 ，此时DB的中点与GC的中点为同一个点，
故 ，解得 ，
检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为(-2，1)；
综上所述，G点坐标存在，为(2，-3)或(4，5)或(-2，1)；
(4) 连接AC，OP，如下图所示，
设MC的解析式为：y=kx+m，代入C(0,-3)，M(1，-4)
即 ，解得
∴MC的解析式为： ，令 ，求得E点坐标为(-3,0)，
∴OE=OB=3，且OC=OC，
∴CE=CB，即∠B=∠E，
设P(x,-x-3)，又∵P点在线段EC上，∴-3
