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益阳市 2020 年普通初中学业水平考试
数学能力测试
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.四个实数 ， ， ， 中，最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：四个实数 ， ， ， 中，最大的是 ；
故选C．
【点睛】本题考查了对实数 的大小比较法则的应用，能熟记法则内容是解题的关键，注意：正数都大于
0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.将不等式组 的解集在数轴上表示，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来，选出符合条件的选项即可．【详解】解：
由 得， ，
所以，不等式组的解集为： ，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，在解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的
区别，这是解答此类题目的易错点．
3.图所示的几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据几何体的俯视图是从上面看到的图形判断即可．
【详解】从上面看该几何体如图：
故选：D．
【点睛】本题考查几何体的三视图，能熟练判断几何体的三视图是解答的关键．4.一组数据由 个数组成，其中 个数分别为 ， ， ，且这组数据的平均数为 ，则这组数据的中位数
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设加一个数为x，根据平均数的求法求出x，再根据中位数定义：将一组数据从小到大（或从大到小）重新
排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，首先把数据从小到大排列
起来，再找出中间的数即可．
【详解】解：设另一个数为x，
∵ ， ， ，x，已知这组数据的平均数是4，
∴（2+3+4+x）÷4=4
解得：x=7，
将数据从小到大重新排列：2，3，4， 7，已最中间的两个数是：3，4，
∴中位数是： ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中位数定义以及平均数的求法，关键是首先求出x的值．
5.同时满足二元一次方程 和 的 ， 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
联立 和 解二元一次方程组即可．
【详解】解：有题意得：由①得x=9+y③
将③代入②得：36+4y+3y=1，解得y=-5
则x=9+（-5）=4
所以x=4，y=-5．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及解法，掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
6.下列因式分解正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用提公因式法分解因式和平方差公式以及完全平方公式进行分解即可得到答案．
【详解】A、 ，故此选项错误；
B、 ，故此选项错误；
C、 ，故此选项正确；
D、 ，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全
家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
7.一次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. B.
C. 随 的增大而减小 D. 当 时，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数的图象与性质判断即可．
【详解】由图象知，k﹥0，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误；
图象与y轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B选项正确；
当x﹥2时，图象位于x轴的上方，则有y﹥0即 ﹥0，D选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的
关键．
8.如图， 的对角线 ， 交于点 ，若 ， ，则 的长可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的对角线互相平分得到 OA、OB的长度，再根据三角形三边关系得到 AB的取值范围，
即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA= AC=3，BO= BD=4，
在△AOB中，
4-3<AB<4+3
∴1<AB<7，
结合选项可得，AB的长度可能是6，
故答案为：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题
的关键．
9.如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ， 平分 ，若 ，则 的度数
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数．
【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，∠ACD=∠A=50°，
∵ 平分 ，
∴∠ACB=2∠ACD=100°，
∴∠B=180°-100°-50°=30°，
故选：B．
【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质
和角平分线的定义是解题的关键．10.如图，在矩形 中， 是 上的一点， 是等边三角形， 交 于点 ，则下列结论
不成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等边三角形和矩形角度的特点即可得出A说法正确；假设∠BAC=45°，可得到AB=BC，又AB=BE，
所以 BE=BC，不成立，所以 B 说法错误；设 EC 的长为 x，BE=2EC=2x，BC= ，证得
△ECF∽△BAF，根据相似三角形的性质可得，C说法正确；AD=BC= ，AB=BE=2x，可得D说法正
确．
【详解】解：在矩形ABCD中， 是等边三角形，
∴∠DAB=90°，∠EAB=60°，
∴∠DAE=90°-60°=30°，
故A说法正确；
若∠BAC=45°，则AB=BC，
又∵AB=BE，
∴BE=BC，
在△BEC中，BE为斜边，BE＞BC，
故B说法错误；
设EC的长为x，
易得∠ECB=30°，∴BE=2EC=2x，BC= ，
AB=BE=2x，
∵DC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB，
又∵∠EFC=∠BFA，
∴△ECF∽△BAF，
∴ ，
故C说法正确；
AD=BC= ，
∴ ，
故D说法正确．
故选：B
【点睛】本题考查了矩形和等边三角形的性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握矩形和等边三角形的
性质是解题的关键．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
11.我国北斗全球导航系统最后一颗组网卫星于 年 月 日成功定位于距离地球 千米的地球同
步轨道，将 用科学计数法表示为__________．
【答案】【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．据此可得到答案．
【详解】解：36000=3.6×104，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是要正确的确定a的值以及n的值．
12.如图， ， ， ，则 的度数为__________．
【答案】132°
【解析】
【分析】
由 求得∠BAC，再根据平行线的性质即可解得∠ACD的度数．
【详解】∵ ， ，
∴∠BAC=90°-∠CAE=90°-42°=48°，
∵ ，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-∠BAC=180°-48°=132°，
故答案为：132°．
【点睛】本题考查了垂直定义、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
13.小明家有一个如图所示的闹钟，他观察圆心角 ，测得 的长为 ，则 的长
为__________ ．【答案】12
【解析】
【分析】
根据弧长公式求得圆O的半径，再根据弧长公式求出 的长．
【详解】解：设半径OA的长为r，
∵∠AOB=90°，
∴∠ACB=270°，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了弧长的计算，牢记弧长公式并正确运用是解题的关键．
14.若反比例函数y= 的图象经过点（﹣2，3），则k=_____．
【答案】-5
【解析】
【分析】
把点（﹣2，3）代入反比例函数y= 可得3= ，解方程即可求得k值.
【详解】∵反比例函数y= 的图象经过点（﹣2，3），∴3= ，解得k=﹣5．
故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，熟知反比例函数图象上点的坐标的特征是解决
问题的关键.
15.时光飞逝，十五六岁的我们，童年里都少不了“弹珠”。小朋友甲的口袋中有 粒弹珠，其中 粒红色，
粒绿色，他随机拿出 颗送给小朋友乙，则送出的弹珠颜色为红色的概率是__________．
【答案】 ．
【解析】
【分析】
直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵口袋中有6个小球，分别为2个红球和4个绿球，
∴随机取出一个小球，取出的小球的颜色是红色的概率为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了概率公式，牢记概率公式是求解本题的关键，难度较小．
16.若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是_____．
【答案】5【解析】
【分析】
n边形的内角和公式为 ，由此列方程求n．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
则 ，
解得 ，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式，构建方程即可求解．
17.若计算 的结果为正整数，则无理数 的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】
根据 为12，即可得到一个无理数 的值．
【详解】解：∵ ，
∴ 时 的结果为正整数，
故答案为： （答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式，注意 是解题的关键．
18.某公司新产品上市 天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单
件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是__________元．【答案】1800
【解析】
【分析】
从图1和图2中可知，当t=30时，日销售量达到最大，每件产品的销售利润也达到最大，所以由日销售利
润=销售量×每件产品销售利润即可求解．
【详解】由图1知，当天数t=30时，市场日销售量达到最大60件；
从图2知，当天数t=30时，每件产品销售利润达到最大30元，
所以当天数t=30时，市场的日销售利润最大，最大利润为60×30=1800元，
故答案为：1800
【点睛】本题考查一次函数的实际应用，也考查了学生的观察能力、理解能力和解决实际问题的能力，仔
细审题，利用数形结合法理解题目已知信息是解答的关键．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
19.计算：
【答案】7
【解析】
【分析】
先算乘方、二次根式的混合运用和绝对值，最后算加减即可．
【详解】解：
=
=7．
【点睛】本题考查了乘方、二次根式的混合运用和绝对值等知识，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
20.先化简，再求值： ，其中
【答案】 ； 时，原式= ．
【解析】
【分析】
先利用分式的运算法则化简，然后代入 计算即可．【详解】解：
时，原式=
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
21.如图， 是 的半径，过点 作 的切线 ，且 ， ， 分别交 于点 ，
，求证：
【答案】见解析
【解析】
【分析】
首先得出 ，推出OA=OB，再利用OA-OC=OB-OD得出结果即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的切线，
∴ ，
∵MA=MB，OM=OM，
∴ ，
∴OA=OB，
∵OC，OD都是⊙O的半径，
∴OC=OD，∴OA-OC=OB-OD，
即AC=BD．
【点睛】本题考查了切线的性质及全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定．
22.为了了解现行简化汉字的笔画画数情况，某同学随机选取语文课本的一篇文章，对其部分文字的笔画
数进行统计，结果如下表：
笔画
数
字数
请解答下列问题：
（1）被统计汉字笔画数的众数是多少？
（2）该同学将数据进行整理，按如下方案分组统计，并制作扇形统计图：
分组 笔画数 （画） 字数（个）
组
组
组
组
组
请确定上表中 、 的值及扇形统计图中组对应扇形圆心角的度数．
（3）若这篇文章共有 个汉字，估计笔画数在 画（ 组）的字数有多少个？
【答案】（1）8；（2）50，34，A的度数为：39.6°，B的度数为：90°，C的度数为：136.8°，D的度
数为：61.2°，E的度数为：32.4°；（3）1330.【解析】
【分析】
（1）根据众数的定义即可求出答案；
的
（2）通过原题给出 表格可以得出m、n的值；可以根据A所占的比例为11%可求出总统计的为200个，
然后可以分别求出B组、C组、E组的百分百，从而进一步求出各个部分对应的角度；
（3）根据统计表格可以得出C组所占的百分数为38%，所以可以进一步求出答案.
【详解】（1）由题所给的表格得8画的字数最多，所以众数为：8；
（2）由题意可得B组是表示笔画为4，5，6的字数，m所以答案为50；D组是表示笔画为10，11，12的
字数，n所以答案为34；因为A组字数为22个且占11%，，所以总统计的字数为200，所以B组，C组，
E组各占的比例为：25%，38%，9%；
故A组的度数：360° 11% 39.6°；
B组的度数：360° 25×% 9=0°；
C组的度数：360°×38%=136.8°；
D组的度数：360°×17%=61.2°；
E组的度数：360°×9% =32.4°；
× =
（3）3500 1330（个），
× =
故若这篇文章共有3500个汉字，估计笔画数在7~9画（ 组）的字数有1330个.
【点睛】本题主要考查的是众数以及扇形图的相关知识，熟练掌握相关定理即可.
23.沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形 ，高 米，斜坡 的坡度
，此处大堤的正上方有高压电线穿过， 表示高压线上的点与堤面 的最近距离（ 、 、
在同一直线上），在点 处测得 ．
（1）求斜坡 的坡角
（2）电力部门要求此处高压线离堤面 的安全距离不低于 米，请问此次改造是否符合电力部门的安
全要求？（参考数据： ， ， ， ）【答案】（1）45°；（2）此次改造符合电力部门的安全要求．
【解析】
【分析】
（1）根据坡度 可求出 的值；
α
（2）延长AD交PC于点E，过点E作EF⊥BC于F，解直角三角形EFC求出CF的长得到HF的长，故可
得DE的长，解直角三角形PDE得PD的长，再与18进行比较即可得到结论．
【详解】解（1）∵ ，
∴ ；
（2）延长AD交PC于点E，过点E作EF⊥BC于F，如图，
则四边形DEFH是矩形，
∴EF=DH=12m，DE=HF，∠HDE=∠EFH=∠DHF=90°，
∵ =45°，
∴α∠HDC=45°，
∴HC=DH=12m，
又∠PCD=26°，
∴∠ECF=45°+26°=71°，∴ ，即 m，
∴HF=HC-CF=12-4.14=7.86m，
∴DE=7.86m，
∵AE//BC，
∴∠PED=∠PCH=71°，
在Rt△PDE中， ，即 ，
∴ m，
∴此次改造符合电力部门的安全要求．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解
答此题的关键．
24.“你怎么样，中国便是怎么样：你若光明，中国便不黑暗”。 年，一场新冠肺炎疫情牵扯着人们的
心灵，各界人士齐心协力，众志成城。针对资源急需问题，某医疗设备公司紧急复工，但受疫情影响，医
用防护服生产车间仍有 人不能到厂生产，为了应对疫情，已复产的工人加班生产，由原来每天工作 小
时增加到 小时，每小时完成的工作量不变原来每天能生产防护服 套，现在每天能生产防护服
套．
（1）求原来生产防护服的工人有多少人？
（2）复工 天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为 小时公司决定将复工后生产的
防护服 套捐献给某地，则至少还需要生产多少天才能完成任务？【答案】（1）20；（2）8
【解析】
【分析】
（1）设原来生产防护服的工人有 人，每小时完成的工作量为 套，根据题意列出方程组，求解即可．
（2）求出10天后，还剩余多少防护服没生产，根据（1）求出复工后每天的生产数量，相除即可得出结果．
【详解】（1）设原来生产防护服的工人有 人，每小时完成的工作量为 套，
根据原来每天工作 小时，每天能生产防护服 套，
得 ．
根据现在每天工作 小时，每天能生产防护服 套，
得 ．
联立方程，得
∴
得
解得 =20， =5．
经检验x=20，y=5是原方程的解
即原来生产防护服的工人有20人．（2）复工10天，生产 套，剩余 套．
由（1）可知：原来生产防护服的工人有20人，每小时完成的工作量为5套．
由题意知：10天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍然为10小时．
则每天生产 套．
需要 天．
【点睛】本题主要考查函数的性质及整式的乘除，熟练掌握函数的性质及整式的乘除是解题的关键．
25.如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是 ，点 为一个动点，过点 作 轴的垂线 ，垂足
为 ，点 在运动过程中始终满足 【提示：平面直角坐标系内点 、 的坐标分别为 、
，则 】
（1）判断点 在运动过程中是否经过点C（0，5）
（2）设动点 的坐标为 ，求 关于 的函数表达式：填写下表，并在给定坐标系中画出 函数的图
象：
... ...
... ...
（3）点 关于 轴的对称点为 ，点 在直线 的下方时，求线段 长度的取值范围
【答案】（1）点 在运动过程中经过点C（0，5）；（2）y与x的函数表达式为 ，表格和图象见解析；（3）1﹤PF﹤
【解析】
【分析】
（1）若点P经过点C，则有PH=5，利用公式求得PF，即可判断；
（2）由PH=PF得 ，化简可得到 关于 的函数表达式，分别将表中x值代入表
达式，求出对应的y值，则可完善表格，再利用描点法画出对应的图象即可．
（3）由题意，求线段 长度的取值范围即是求线段PH长度的取值范围，先求出直线 的函数表达式，
代入P的函数表达式解之得交点坐标，结合图象即可得到线段PH（即就是PF）长度的取值范围．
【详解】（1）若点P经过点C，则PH=5，
∵ ,
∴PF=PH，
故点P经过点C；
（2）由PH=PF得 ，
化简得： ，
故y与x的函数表达式为 ；
分别将x=0、2、4、6、8代入表达式中，则对应的y=5、2、1、2、5，
为
填写表格 ：
... ...
... 5 2 1 2 5 ...
函数图象如下：；
（2）设直线 的函数表达式为y=kx+b，
将点F（4，2）、点 （0，﹣5）代入，得： ，
解得： ，
∴直线 的函数表达式为 ，
将 代入 得：
，即 ，
解得：
分别代入 中，得:
,
当x=4时，y=1，∵点 在直线 的下方，且 ﹥1，
∴结合图象知，1﹤y﹤ ,
即1﹤PH﹤ ,
又PF=PH，
∴1﹤PF﹤ ,
【点睛】本题考查二次函数与动点问题，涉及求函数表达式、列表描点画图象、解一元二次方程等，解答
的关键是认真审题，寻找相关信息的联系点，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进
而推理、探究、发现和计算．
26.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角
等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形 中， 是 上的点，将 绕 点旋转，使 与 重合，此时点
的对应点 在 的延长线上，则四边形 为“直等补”四边形，为什么？
（2）如图2，已知四边形 是“直等补”四边形， ， ， ，点 到直线
的距离为 ．
①求 的长．
②若 、 分别是 、 边上的动点，求 周长的最小值．【答案】（1）见解析；（2）①BE=4；② 周长的最小值为
【解析】
【分析】
（ 1 ） 由 旋 转 性 质 证 得 ∠ F+∠BED=∠BEC+∠BED=180° ，
∠FBE=∠ABF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°,BF=BE,进而可证得四边形 为“直等补”四边形；
（2）如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，可证得四边形EBFD是正方形，则有BE=FD,
设BE=x，则FC=x-1，由勾股定理列方程解之即可；
（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5，则NP=NC，MT=MC,
由△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT知，当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小
值PT，过P作PH⊥BC交BC延长线于H，易证△BFC∽△PHC，求得CH、PH，进而求得TH，在
Rt△PHT中，由勾股定理求得PT，即可求得周长的最小值．
【详解】（1）如图1由旋转的性质得：∠F=∠BEC，∠ABF=∠CBE，BF=BE
∵∠BEC+∠BED=180°，∠CBE+∠ABE=90°，
∴∠F+∠BED=180°，
∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°，
故满足“直等补”四边形的定义，
∴四边形 为“直等补”四边形；
（2）∵四边形 是“直等补”四边形，AB=BC，
∴∠A+∠BCD=180°，∠ABC=∠D=90°，
如图2，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
则∠F=∠AEB=90°，∠BCF+∠BCD=180°，BF=BE
∴D、C、F共线，
∴四边形EBFD是正方形，
∴BE=FD，
设BE=x，则CF=x-1，
在Rt△BFC中，BC=5，
由勾股定理得： ，即 ，
解得：x=4或x=﹣3(舍去)，
∴BE=4（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5,
则NP=NC，MT=MC,
∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT
当T、M、N、P共线时，△MNC的周长取得最小值PT，
过P作PH⊥BC，交BC延长线于H，
∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH,
∴△BCF∽△PCH,
∴ ,
即 ，
解得： ,
在Rt△PHT中，TH= ,
,
∴ 周长的最小值为 ．【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方
程、相似三角形的判定与性质、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析
图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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