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2024 高考数学
点睛密卷
天津卷
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2024 年高考数学点睛密卷(天津卷)
数 学
第 I 卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2．本卷共9小题，每小题5分，共45分.
一、选择题(本题共9小题，每小题5分，共45分)
1．已知集合U ={−3，
2
− 2 ， − 1 ，0，1， 2 } ，A={−1，0， 1 } ，B={1， 2 } ，则
U
( A B ) = ( )
A． { − 3 ， − 2 } B． { − 3 ， − 2 ，1，2}
C． { − 3 ， − 2 ， − 1 ，0， 1 } D． { − 3 ， − 2 ，−1，0， 2 }
2．函数 f ( x ) =
|
1
3 x
− 2
−
−
x
4
, x
|,
x
2
2
，则不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( )
A． ( − ,1 )
5
3
, +
B． ( − ,1 ]
5
3
, 3
5
C． 1, D．
3
5
3
, 3
3．已知a=2−1.1， b = lo g
14
1
3
， c = lo g
2
3 ，则 ( )
A． a b c B． c b a C． b a c D． b c a
4．已知函数y= f(x)的图象如图所示，则 f(x)的解析式可能是( )3
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A．
3
f ( x ) =
− x
x e
−
+
s in
− e x
x
B． f ( x ) =
x
e
−
x
c
+
o
e
s
−
x
x
C． f ( x ) =
x
e
+
x
s
+
in
− e
x
x
D． f ( x ) =
x
e
+
x
c
+
o
e
s
−
x
x
5．已知数列 { a
n
} 为等比数列， S
n
为数列 { a
n
} 的前 n 项和， a
n
=
1
2
S
n
+
3
2
，则 S
4
的值
为( )
A．9 B．21 C．45 D．93
6．某中学有学生近600人，要求学生在每天上午 7 : 3 0 之前进校，现有一个调查小组调查某
天7:00~7:30进校人数的情况，得到如下表格(其中纵坐标 y 表示第x−1分钟至第 x 分钟到
校人数， 1 x 3 0 ， x N * ，如当 x = 9 时，纵坐标y=4表示在 7 : 0 8 ~ 7 : 0 9 这一分钟内进校
的人数为 4 人)．根据调查所得数据，甲同学得到的回归方程是 ˆy = 3 .6 x − 2 7 (图中的实线表
示)，乙同学得到的回归方程是 ˆy = 0 .8 2 e 0 .1 6 x (图中的虚线表示)，则下列结论中错误的
是( )
x 1 5 9 15 19 21 24 27 28 29 30
y 1 3 4 4 11 21 36 66 94 101 106
A． 7 : 0 0 ~ 7 : 3 0 内，每分钟的进校人数 y 与相应时间x呈正相关
B．乙同学的回归方程拟合效果更好
C．该校超过半数的学生都选择在规定到校时间的前5分钟内进校
D．根据甲同学得到的回归方程可知该校当天7:09~7:10这一分钟内的进校人数一定是
9人
7．已知函数 f ( x ) 2 s in ( x ) 0 , | |
π
2
= +
的部分图象如图所示，其中 A
π
3
, 0
，
π
B− ,−2 ，现有如下说法：
24 4
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①函数 f(x)在
4
3 π
4
, π
上单调递减；
②将函数 f ( x ) 的图象向右平移
π
2 4
个单位长度后关于原点对称；
③当 x
π ,
5 π
4
时， f(x)(− 3, 3)，
则正确命题的个数为 ( )
A．0 B．1 C．2 D．3
8．半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．将正方体
沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四
个面的半正多面体．它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，这样的
半正多面体被称为二十四等边体．如图所示，已知该半正多面体过 A ， B ， C 三点的截面面
积为 6 3 ，则其外接球的表面积为 ( )
A． 8 π B． 1 0 π C． 1 2 π D． 1 6 π
x2 y2
9．已知双曲线C: − =1(a0,b0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与双曲线
a2 b2 1 2 1
C 分别在第一、二象限交于 A ， B 两点， △ A B F
2
2 3
内切圆的半径为r，若|BF |=2a，r= a，
1 3
则双曲线C的离心率为 ( )
21 3 3 53
A． 7 B． C． D．
2 2 35
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第 II 卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2．本卷共11小题，共105分.
二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的
给3分，全部答对的给5分)
10．
5
1
3
+
−
2
4
i
i
= ．
11．
4 x −
1
2 x
8
的展开式中 x − 2 的系数为 ．
12．已知抛物线 E : x 2 = 4 y 与圆 C : x 2 + ( y − 1 ) 2 = 1 6 的公共点为 A ， B ，则 | A B |= ；
若P为圆 C 的劣弧 A B 上不同于 A ， B 的一个动点，过点P作垂直于 x 轴的直线 l 交抛物线
E 于点 N ， l 不经过原点，则 △ C P N 周长的取值范围是 ．
13．某志愿者召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从
4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则至少有一名是女志愿
者的概率为 ；在“抽取的 3 人中至少有1 名男志愿者”的前提下“抽取的3 人中全是
男志愿者”的概率是 ．
14．在平面四边形 A B C D 中，AB=2 3，AD=6，向量 A B 在向量 A D
1
上的投影向量为 AD，
2
则 B A D =
1
；若BC = AD，点
3
E 为线段BD 上的动点，则 C E A E 的最小值
为 ．
−x2 −2x,x 0
15．已知函数 f(x)= ，若 f(x)=m存在四个不相等的实根
|1−lnx|,x0
x
1
，x ，x ，x ，
2 3 4
且x x x x ，则
1 2 3 4
x
4
− ( x
1
+ x
2
) x
3
的最小值是 ．6
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三、解答题(本大题共5小题，共75分)
16．已知
6
a ， b ，c分别是 △ A B C 的内角 A ， B ， C
a cosA
的对边，且 = ．
b 2−cosB
(1)求
a
c
．
(2)若 b = 4
1
，cosC = ，求△ABC的面积．
4
(3)在(2)的条件下，求 c o s
2 C +
3
的值．
17．如图，正方形 A B C D 与直角梯形 A D E F 所在平面互相垂直，ADE=90， A F ∥ D E ，
D E = D A = 2 A F = 2 ，
(1)求证： A C ∥ 平面 B E F ；
(2)求平面 A F D 与平面 B F D 夹角的余弦值；
(3)求点D到平面 B E F 的距离．
x2 y2 2
18．已知椭圆C: + =1(ab0)的离心率为 ，短轴长为
a2 b2 2
2 2 ．
(1)求C的方程；
(2)经过椭圆左顶点A且斜率为 k ( k 0 ) 的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P
为线段 A B 的中点，若点E关于x轴的对称点为H ，过点E作与 O P ( O 为坐标原点)垂直的直
4
线交直线AH 于点M ，且△APM的面积为 ，求k的值．
97
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19．设{a }为等比数列，{b }为公差不为零的等差数列，且a =b =3，a =b ，
n n 1 3 2 9
7
a
3
= b
2 7
．
(1)求 { a
n
} 和 { b
n
} 的通项公式；
(2)记 { a
n
} 的前 n 项和为S ，
n
{ b
n
} 的前 n 项和为 T
n
，证明：
T
S
n
n
1
3
；
a
n+1
2 ,n为奇数
b +2
(3)记c = n ，求
n a
n
− 2 ,n为偶数
(b −1)(b +1)
n n
2 n
i=
1
c
i
．
20．已知函数 f ( x ) = a ( 2 x ln x − x + 1 ) + x ， g ( x ) = s in x ．
(1)当 a = 1 时，求曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线方程；
(2)当 a = 0 ， x 0 时，若在g(x)的图象上有一点列 A
i
1
2 i
, g
1
2 i
( i = 1 ，2，3，…， n ， i N ，
n N * ) ，若直线 A
i
A
i+ 1
的斜率为 k
i
( i = 1 ，2，3，… ， n ) ，
( i )
1
求证：g(x) f(x)− x3；
6
(ii)求证：
n
i=
1
k
i
n −
1
9
．
