文档内容
2025-2026 学年高二数学上学期第一次月考卷 02
全解全析
（考试时间：120 分钟，分值：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何+直线与圆。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．2
【答案】A
【解析】若 ，所以 ，
故 .
故选：A.
2．圆心为 ，且半径为 的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由已知圆心为 ，且半径为 ，
则圆的方程是 .
故选：D.
/3．已知两个向量 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】向量 ，且 ，则存在实数 ，使得 ，
即 ，所以 ,解得 ,
故 ，
故选：B
4．已知直线方程 ，则可知直线恒过定点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】直线 ，即 ，令 ，解得 ，
所以直线 恒过点 .
故选：B
5．在四面体 中，点 是 靠近 的三等分点，记 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
/【解析】解：点 是 靠近 的三等分点，
.
故选：D.
6．已知圆 和圆 ，则它们的位置关系是（ ）
A．外离 B．相切
C．内含 D．相交
【答案】B
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 化简为标准方程为 ，故其圆心为 ，半径为 ，
故 ，
故圆 与圆 的位置关系为相切.
故选：B.
7．“ ”是“直线 与 平行”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若直线 ，则 ，解得： .
所以“ ”是“直线 的充分必要条件.
故选：C
8．已知直线 ： 和直线 ： ，则 与 间的距离最短值为（ ）
/A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】因为直线 ： 即为 ，
可知直线 与直线 平行，
则 与 间的距离 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 与 间的距离最短值为 .
故选：C.
9．已知直线 ，圆 ，若直线 上存在两点 ，圆 上存在点 ，使得
，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得点 在以线段 为直径， 中点 为圆心的动圆上，
令圆 的圆心为 ，则 ，当且仅当 时取等号，
而点 在圆 上，则圆 与圆 必有公共点，显然点 在圆 外，于是 ，
又 有最小值 2，无最大值，因此 无最大值， ，
所以 的取值范围是 .
故选：C
10．在平面直角坐标系中，已知点 满足 ，记 为点 到直线 的距离.当 变
化时， 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】直线 过定点 ，
对于任意确定的点 ，
/当 时，此时 ，
当 不垂直 时，过点 作 ，此时 ，如图所示：
因为 ，所以 ，所以 ，
由上可知：当 确定时， 即为 ，且此时 ；
又因为 在如图所示的正方形上运动，所以 ，
当 取最大值时， 点与 重合，此时 ，
所以 ，
故选：C.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．直线 的倾斜角为 .
【答案】0/
【分析】根据直线与坐标轴平行可得倾斜角.
【解析】因为直线 与 轴平行，所以直线 的倾斜角为 .
故答案为：
12．已知空间向量 ，则 .
【答案】
【分析】利用空间向量的坐标运算，来求向量的模.
【解析】由 ，
故答案为： .
/13．已知长方体 的底面 是正方形， ， ， 为棱 的中点，则
.
【解析】解：以 、 、 所在直线分别为 轴, 轴， 轴建立空间坐标系，如图所示：
则 , , ,
所以 ，
所以 .
故答案为： .
14．已知点 P 是圆 上的动点，直线 ： ， ： ，记 P 到直线 ，
的距离分别为 ， （若 P 在直线上，则记距离为 0），
（1） 的最大值为 ；
（2）若当点 P 在圆上运动时， 为定值，则 m 的取值范围是 ．
【答案】 3
【解析】（1）圆 ，圆心 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，
所以 P 到直线 的距离 的最大值为 ；
（2）
/当 时，两直线重合，不符题意；当 时，直线 ， 平行，
若当点 P 在圆上运动时， 为定值，所以圆在两平行线之间，此时直线 与圆相离，
所以 ，解得 或 ，
又因为当 时，直线 ， 在圆同侧，不符合题意，所以 ，
故答案为：3， .
15．如图，正方体 的棱长为 1，线段 上有两个动点 ，且 .则下列结论中正
确的有
①．当 向 运动时，二面角 的大小不变
②．二面角 的最小值为
③．当 向 运动时， 总成立
④． 在 方向上的投影向量为
【答案】①②④
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
/则 ， ， ，
因为 在 上，且 ，故可设 ， ， ，
所以 ， .
对于①，连接 ，平面 即为平面 ，而平面 即为平面 ，
故当 向 运动时，二面角 的大小不变，①对；
对于②，设平面 的法向量为 ，又 ，所以
取 ，则 ，所以 是平面 的一个法向量，
又平面 的一个法向量为 ，所以 ，
设二面角 的平面角为 ，则 为锐角，故 ，
因为 ，故 ，所以 ，
当且仅当 时 取最大值 ，此时 取最小值 ，②对；
对于③，因为 ，
故 不恒为零，③错；
对于④，因为 ， ，所以 ，故 在 方向上的投影向量为
，④对.
故选：①②④.
/三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（14 分）已知向量 ， ，
(1)求 的值；
(2)求 ；
(3)求 的最小值.
16．（14 分）
【解析】（1）因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
（2）因为 ， ，
所以 .
（3）因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
当 时， 取得最小值 ，则 最小值为 .
17．（13 分）已知 的三个顶点 ， ， .
(1)求过点 且与直线 平行的直线 的方程；
(2)求 边的高线所在直线 的方程.
17．（13 分）
【解析】（1）由 ， 可知 ，
故所求直线 的方程为 ，
即 .
/（2）易知 ，
则所求直线的斜率为 ，
故所求直线 的方程为 ，
即 .
18．（14 分）已知向量 ， ， .
（Ⅰ）当 时，若向量 与 垂直，求实数 和 的值；
（Ⅱ）若向量 与向量 ， 共面，求实数 的值.
18．（14 分）
【解析】解：(Ⅰ)因为 ,所以 .
且 .
因为向量 与 垂直,
所以 .
即 .
所以实数 和 的值分别为 和 .
(Ⅱ)因为向量 与向量 ， 共面,所以设 （ ）.
因为 ,
所以
所以实数 的值为 .
19．（15 分）已知圆上三点坐标分别为 ．
(1)求该圆的一般方程；
(2)求弦 BC 垂直平分线的方程；
(3)求 的面积．
19．（15 分）
/【解析】（1）设圆的一般方程为 .
将 ， ， 分别代入方程可得：
解得 ， ， .
所以圆的一般方程为 .
（2）先求 中点坐标， ， ，中点坐标为 . ，则弦 垂直平
分线的斜率为 .
根据点斜式可得弦 垂直平分线的方程为 ，即 .
（3） .
直线 的方程为 ，即 .
点 到直线 的距离 .
所以 的面积 .
20．（15 分）已知点 和圆 C： .
(1)求圆 C 的圆心坐标及半径的大小；
(2)求过点 P 且与圆 C 相切的直线方程；
(3)若直线 ： 与圆 C 交于 O，A 两点，直线 ： 与圆 C 交于 O， 两点,且 ，求证：
直线 AB 恒过定点.
20．（15 分）
【解析】（1）由题可知，
所以圆 的圆心为 ，半径为 .
（2）当过点 直线斜率不存在时，为 ，显然此时与圆 相切；
当过点 直线斜率存在时，设为 ，若与圆 相切，
则有
/所以过点 P 且与圆 C 相切的直线方程为 ， .
（3）由题可知，
显然 可以竖直，但是不能水平，故设 的直线方程为 ，
联立 得
所以有
所以
由题可知，
所以有
所以此时
此时 的直线方程为
故 过定点 .
21．（15 分）如图，在长方体 中， 和 交于点 E，F 为 AB 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（i）平面 与平面 的夹角的余弦值；
（ii）点 A 到平面 的距离.
条件①： ；
/条件②： 与平面 所成角为 .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
21．（15 分）
【解析】（1）连接 相交于点 G，连接 EG，则 G 是 的中点，
由长方体的性质知，点 E 是 的中点，
所以 ， ，
而 F 是 AB 的中点，且 ， ，
所以 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）选择条件①： ，
以 D 为原点建立空间直角坐标系，
设 ，则 ，
所以 ，
若 ，则 ，解得 ，
（ⅰ） ，
所以 ，
设平面 CEF 的法向量为 ，则 ，
令 x=1，则 ，所以 ，
设平面 BCE 的法向量为 ，则 ，
令 b=1，则 ，所以 ，
/所以 ，
故平面 CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值为 .
（ⅱ） ，
由（ⅰ）平面 CEF 的法向量为 ，
所以点 A 到平面 CEF 的距离为 .
选择条件②：BD 与平面 ADD A 所成角为 ，
1 1 1
以 D 为原点建立空间直角坐标系，
设 ，则 D（0，0，0），B（2，t，2），
1
所以 ，
平面 的一个法向量为 ，
因为 与平面 所成角为 ，
所以 ，解得 ，
（ⅰ） ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 ，
/故平面 CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值为 .
（ⅱ） ，
由（ⅰ）平面 的法向量为 ，
所以点 A 到平面 的距离为 .
/
