高三数学考试参考答案
题序 ! # $ % & ’ ( " ) !* !! !# !$ !%
’&/$
!( # $
答案 + + , , - , . . -.,+-.-., "*
!# 没有 %
评分细则%
&!’第!!"题"凡与答案不符的均不得分!
&#’第)!!!题"全部选对的得’分"有选错的不得分"每选对一个得#分!
&$’第!$题答对第一空得#分"答对第二空得$分"第一空写*!’&不给分!
&%’第!%题的结果还可以写为*!(&!
!!+!!解析"本题考查平面向量的垂直与坐标运算#考查数学运算的核心素养!
由!"""得&"#0)"$1"!�)$#1*"因为"#$#*"所以"#*"所以�)$1*!
#!+!!解析"本题考查元素与集合的关系#考查逻辑推理的核心素养!
依题意可得%1(2$"*"$)"所以2$$%"*$%"$$%"!%%!
$!,!!解析"本题考查二项式展开式#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
! !#!* ! !#!* ! !#!*
"2 展开式的第’项为常数项""%2 展开式的第&项为常数项"""0 展
" "’ "#
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开式的第)项为常数项""0 的展开式不存在常数项!
槡"
%!,!!解析"本题考查复数与指数的运算#考查数学运算的核心素养!
因为’"1&#槡#2%3&1槡!#槡###0!2%##1#槡’"’#1#*3"0#3’1#*2#1!""所以’"*’#1
#槡’4!"1$’槡’"则’"0#1’ #0 ! #"故"0#1 & !
#
&!-!!解析"本题考查椭圆的几何性质#考查逻辑推理与数学运算的核心素养以及应用意识!
依题意可得&的长轴长为!*!#56"短轴长为(!!56"’的长轴长为!!’56"短轴长为!!*56!
(!! !!* (!! !!* !#)## #)
因为 ’*!’)’" ’*!’#&"所以 ( "又(1槡!2 "所以 越大"离心率越
!*!# !!’ !*!# !!’ #* #*
小"所以&的离心率小于’的离心率!
’!,!!解析"本题考查正方体中的平行直线$计数原理与古典概型#考查直观想象的核心素养
与空间想象能力!
因为+,)+,"%-)%- "++ )%%),,)-- "+-)%,)+- )%,"+%),-)
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
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!"#$%&’
书书书#.#0$.# !
+%),- "所以这#条直线平行的概率为 # % 1 !
! ! ! ! .# ’
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(!.!!解析"本题考查解三角形与三角恒等变换#考查数学建模与数学运算的核心素养!
! "#
设*%+, 1!$ *" "则 +, 1%578!",- 1%, 1%839!"所 以 +- 1
#
"
槡+,#0,-#2#+,*,-578’*:1槡!’2"839#!"当839#!1!"即!1 时"+-取得最小值
%
#槡#!
"!.!!解析"本题考查直线方程与距离问题的综合#考查直观想象的核心素养以及化归与转化
的数学思想!
槡#
.!"#1 "0槡!"2%##0!$2*##"当"1*时".!*#1&"当*+",%
#
时"如图"设/!""$#",!*"$#"+!%"*#"*/,%1%&:"
则.!"#1&/,&839*/,%0&/+&1&/%&0&/+&"由图可知"&/%&0
&/+&的最小值为点+到直线%,的距离0!因为直线%,的方程为#1
( (槡# (槡#
"0$"即"2#0$1*"所以01 1 +&"故.!"#的最小值为 !
槡# # #
)!-.,!!解析"本题考查一元二次不等式的解法$基本不等式#考查逻辑推理与数学运算的核
心素养!
! !# !
#"#2"+*的解集为 *" "+错误!"#2#"+*的解集为!*"##".正确!当"(*时""0
# "
#
-#!当且仅当"1!时"等号成立#""0 -#槡#!当且仅当"1槡#时"等号成立#"
"
! #
因为!%!*"!#"槡#%!*"!#"所以"0 (#在"$!*"!#上恒成立""0 (#槡#在"$!*"!#
" "
上恒成立"-",均正确!
!*!+-.!!解析"本题考查三角函数的图象#考查直观想象与逻辑推理的核心素养!
对于选项+"由图可知".!"#的最小值为*"则"1;!"由.!*#(*"得"1!"经检验"当"1
#"
!时".!"#的部分图象可以如选项+所示!对于选项,"由11""得"#1 1#"即"1
1
! "#
;槡#"则.!"#1;槡#839#"2 0!"此时.!"##*"排除,!对于选项."由#11""得1
’
" #"
1 ""#1 1%"即"1;#"当"1#时".!"#的部分图象可以如选项.所示!对于选项-"
# 1
当"1*时".!"#1!".!"#的部分图象可以如选项-所示!
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!"#$%&’!!!-.,!!解析"本题考查抽象函数与导数的综合#考查逻辑推理与数学抽象的核心素养!
令"1#1<9#"得.!<9##0.!<9##1.!#<9##2!"即.!<9%#1#.!<9##0!"+错误!
令"1#1*"得#.!*#1.!*#2!"得.!*#12!!令"1#1#"得.!%#2#.!##1!!
! !#
若.!!#1#"则可取.!"#1$"2!满足.!"#0.!##1.!"0##2!"则#1 ."0
$
为偶函数",正确!
2!"# !
由"23!"#+$2!"#0"#"得"$23!"#+$"#2!"#0"%"构造函数4!"#1 0 !"(*#"
"$ "
"$23!"#2$"#2!"# ! !!#
则43!"#1 2 +*"则4!"#为减函数"则4 (4!!#(4!##"
!"$## "# #
!!# ! ! !!#
即"2 0#(2!!#0!( 2!##0 "则"2!!#(2!##2%""2 0!(2!!#"
# " # #
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所以"2!!#(2!##0%.!*#""2 0.!%#(2!!#0#.!##"-".均正确!
#
!( #
!#! "* !!解析"本题考查抛物线的性质#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
!#
( !( #
将点,的坐标代入##1#5""得51 "则该抛物线的焦点坐标为 "* !
’ !#
!$!’&/$没有!!解析"本题考查独立性检验与统计中的频率#考查数据处理能力与应用意识!
!$*
由表中数据可知"这#**人选择去云南旅游的频率为 1’&/!
#**
#**4!’*4$*2(*4%*## #**
因为##1 1 +$+’!’$&"所以没有))/的把握认为游客的选
!$*4(*4!**4!** )!
择与所在的小组有关!
$
!%! !!解析"本题考查点$线$面的位置关系以及圆锥的外接球#考查空间想象能力与直观想
%
象$数学运算的核心素养!
因为/+与圆锥底面所成的角为’*:"所以圆锥的轴截面为正三角形"设圆锥外接球的半径
#7+ #7+
为6"则圆锥的轴截面外接球的半径为6"由正弦定理得61 1 "所以%"6#1
#839’*: 槡$
!#7+## #&’"
%" 1 "解得7+1%!过点/作8)%,!图略#!由题意知平面!与圆锥相切于直
槡$ $
线/+"则平面/7+"!"设7在!内的射影为&"则&为+%的中点"过点&作%,的垂
线"分别交%,"8于点’"9!图略#"则%’"平面7&’"所以%’"7’"从而7’1槡!$!
&’ &% !
又7&1#槡$"所以&’1!!由 1 1 "得&91$"所以791槡7�&9#1
&9 &/ $
!高三数学"参考答案!第!!!!$页#共"页$% !!"()"
!"#$%&’槡#!"/91槡%"2#!1$槡$!设%,与圆锥底面所成的角为$"因为7/与圆锥底面垂直"所
/9 $槡$ $
以839$1578*7/91 1 1 !
7/ %槡$ %
!&!!解析"本题考查导数的几何意义#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
!!#解%因为*1)1!"所以.!"#1"<9"0"0!"
则.3!"#1#0<9""++++++++++++++++++++++++++++#分
则.3!!#1#!+++++++++++++++++++++++++++++++$分
因为.!!#1#"所以曲线#1.!"#在点!!".!!##处的切线方程为#2#1#!"2!#"即#1
#"!+++++++++++++++++++++++++++++++++++&分
!##证明%.!"#的定义域为!*"0=#" ++++++++++++++++++++’分
!
令.3!"#1<9"0*0!1*"得"1 !+++++++++++++++++++(分
>*0!
! ! ! #
令.3!"#+*"得*+"+ "则.!"#在 *" 上单调递减$++++++++++"分
>*0! >*0!
! !! #
令.3!"#(*"得"( "则.!"#在 "0= 上单调递增!++++++++++)分
>*0! >*0!
!! # ! ! * !
.!"# 1. 1 <9 0 0)1)2 !+++++++++++++!!分
639 >*0! >*0! >*0! >*0! >*0!
!
因为.!"#(*"所以)2 (*"即)>*0!(!!++++++++++++++++!$分
>*0!
评分细则%
&!’第!!#问中"所求切线方程还可以写为#"2#1*!
! !
&#’第!##问中"未写.!"#的定义域"但写了,令.3!"#+*"得*+"+ "则.!"#在 *"
>*0!
! # ! !! #
上单调递减$令.3!"#(*"得"( "则.!"#在 "0= 上单调递增-"不扣分!
>*0! >*0! >*0!
!’!!解析"本题考查全概率$分布列与期望#考查逻辑推理的核心素养与应用意识!
解%!!#设+1,甲第:局获胜-"其中:1!"#"$"依题意得/!+ #15"
: !
!
当51 时"由全概率公式得/!+#1/!++#0/!++#1/!+#/!+&+#0/!+#*
# # ! # ! # ! # ! !
/!+&+#++++++++++++++++++++++++++++++++#分
# !
!!#$ ! !## $
15*5#0!!25##1 0 !2 1 "
# # "
$
所以甲第二局获胜的概率为 !+++++++++++++++++++++++&分
"
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!"#$%&’!###甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为!!25##"+++++++++++++’分
! #
依题意得!!25##1 "解得51 !+++++++++++++++++++++(分
) $
$;的可能取值为#"$!++++++++++++++++++++++++++"分
!##$ ! # !%
/!;1##1/!++ #0/!+ + #15*5#0!!25#51 0 4 1 "++!*分
! # ! # $ $ $ #(
/!;1$#1/!+++ #0/!+++ #0/!++ + #0/!+++ #
! # $ ! # $ ! # $ ! # $
15!!25##!!25#0!!25#!!25#5#05!!25##50!!25#!!25#!!25##1!25$0
!##$ !### # !$
5#251!2 0 2 1 "++++++++++++++++++++!#分
$ $ $ #(
所以;的分布列为
; # $
!% !$
/
#( #(
++++++++++++++++++++++++++++++++++++!$分
!% !$ ’(
<!;#1#4 0$4 1 ! +++++++++++++++++++++++!&分
#( #( #(
评分细则%
!$
第!##问中"/!;1$#还可以这样求解%/!;1$#1!2/!;1##1 !
#(
!(!!解析"本题考查空间向量与立体几何#考查直观想象与数学运算的核心素养!
!!#证明%因为底面+%,的周长为!#"且+%1$"+,1&"所以%,1%"++++++!分
因为+%#0%,#1+,#"所以+%"%,!+++++++++++++++++++#分
在直三棱柱+%,=+%, 中"%%"底面+%,"则%%"+%" +++++++++$分
! ! ! ! !
又%%.%,1%"所以+%"平面%,,%! +++++++++++++++++%分
! ! !
!##解%将直三棱柱+%,=+%, 的侧面沿%% 剪开展平成矩形
! ! ! !
%%%3%3"如图所示"
! !
其中%%31!#"%3%31’"所以%%31槡’#0!##1’槡&" ++’分
! !
故%&0&’0’% 的最小值为’槡&!++++++++++(分
!
!$#解%设+,"+, 的中点分别为7"7 "连接7%"77 "则77 "+,"77 "7%!
! ! ! ! ! !
因为+%1+,1%"所以%,1%"所以7%"+,"7%1#槡$!
以7%"7,"77 所在直线分别为"轴.#轴.$轴建立空间直角坐标系"则%!#槡$"*"*#"
!
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!"#$%&’00/ 00/
&!*"#"##"’!*"2#"’%#"%&1!2#槡$"#"##"&’1!*"2%"’%2##!++++++)分
00/ 00/
设平面%&’的法向量为#1!""#"$#"则#*%&1#*&’1*"
即2#槡$"0##0#$12%#0!’%2##$1*"++++++++!*分
取$1#槡$"得#1!$%0!"$槡$%2槡$"#槡$#!++++++++!!分
易知底面+%,的一个法向量为$1!*"*"!#"++++++++!#分
&#*$& #槡$
则&578/#"$0&1 1 1
&#&&$& 槡!$%0!##0!$槡$%2槡$##0!#
槡$
"+++++++++++++++++++++!$分
槡)%#2$%0%
2$ !
当%12 1 时")%#2$%0%取得最小值"则&578/#"$0&取得最大值"且最大值为
#4) ’
#槡& #槡&
"故平面%&’与底面+%,夹角的余弦值的最大值为 !+++++++++!&分
& &
评分细则%
&!’第!!#问中"未写,%%.%,1%-"扣!分!
!
&#’第!$#问中"建立空间直角坐标系的坐标原点不唯一"不同于参考答案的建系阅卷时"请
按照步骤给分"求)%#2$%0%的最小值时"也可以用配方法"过程如下%
! !## !& !
因为)%#2$%0%1)%2 0 "所以当%1 时")%#2$%0%取得最小值"则&578/#"
’ % ’
#槡&
$0&取得最大值"且最大值为 "故平面%&’ 与底面+%,夹角的余弦值的最大值为
&
#槡&
!
&
!"!!解析"本题考查直线与双曲线的综合#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
) )
!!#解%由题意可知2 * 12$" +++++++++++++++++++++!分
* *
)# )#
则 1$"(1槡!0 1#!+++++++++++++++++++++++++#分
*# *#
!###解%直线+%的方程为#1"0&"
2#1"0&"
联立1"# ## 得#"#2!*"2!#&0$*##1*"+++++++++++++++$分
2 1!"
3*# $*#
&1$**0#%*#(*!
!高三数学"参考答案!第!!!!’页#共"页$% !!"()"
!"#$%&’#&0$*#
设+!""##"%!""##"则"0"1&"""12 "+++++++++++%分
! ! # # ! # ! # #
00/ #00/ #
由+-1 -%"得2"1 ""+++++++++++++++++++++++&分
( ! ( #
#&0$*#
代入"0"1&"""12 "得*#1!" ++++++++++++++++’分
! # ! # #
##
则,的方程为"#2 1!!+++++++++++++++++++++++++(分
$
$证明%设<!""##">!""##"8的方程为#1?"0@!
$ $ % %
2#1?"0@"
联立1 ## 得!$2?##"#2#?@"2!@#0$#1*"
"#2 1!"
3 $
&1!#!@#2?#0$#(*"且$2?##*"++++++++++++++++++++"分
#?@ @#0$
"0"1 """12 !++++++++++++++++++++++)分
$ % $2?# $ % $2?#
#2$ #2$
因为? *? 1 $ * % 1!"++++++++++++++++++++!*分
/< /> "2# "2#
$ %
所以!?"0@2$#!?"0@2$#1!"2##!"2##"
$ % $ %
即!?#2!#""01?!@2$#0#2!"0"#0@#2’@0&1*" +++++++++!!分
$ % $ %
@#0$ #?@
则2!?#2!#* 01?!@2$#0#2* 0@#2’@0&1*"
$2?# $2?#
整理得%?#2#?@2#@#0)@2)1*"++++++++++++++++++++!$分
即!#?2#@0$#!#?0@2$#1*! +++++++++++++++++++++!%分
因为点/不在直线8上"所以#?0@2$#*"则#?2#@0$1*" ++++++++!&分
$ $
则@1?0 "8%#1?!"0!#0 "+++++++++++++++++++++!’分
# #
! $#
故直线8过定点 2!" !++++++++++++++++++++++++!(分
#
评分细则%
2#1"0&"
&!’第!##问#中"未写+%%#1"0&"直接联立1"# ## 得#"#2!*"2!#&0$*##1
2 1!"
3*# $*#
*"不扣分"但未设+!""##"%!""##"直接得出韦达定理"扣!分!
! ! # #
2#1?"0@"
&#’第!##问$中"联立1 ## 得!$2?##"#2#?@"2!@#0$#1*"
"#2 1!"
3 $
之后未写&1!#!@#2?#0$#(*"且$2?##*"扣!分!
!高三数学"参考答案!第!!!!(页#共"页$% !!"()"
!"#$%&’!)!!解析"本题考查新定义与数列的交汇#考查数学抽象$逻辑推理与数学运算的核心素养!
1 ’2 1’2
解%!!#*1B#A0 1#A0B "
A A A
2’"A1!"
$"A1#"
1’2
B 11#"A1$" +++++++++++++++++++++++++++#分
A
!"%,A,’"
3*"A(’!
#2#A0!
当A-’时"C1 0’0$0#0!4$1#A0!0!#!+++++++++++++%分
A !2#
!###)1B1!!0槡##%21B1!$0#槡###21B1!(0!#槡#2"
!
因为!#槡#1槡#""+槡#")1!("且槡#""(!’"所以)1!(0!’1$$!+++++++’分
!
$令"1槡A0槡A0!"#1槡A0!2槡A"则"0#1#槡A0!""#1!"+++++++(分
则"#0##1!"0###2#"#1%!A0!#2#1%A0#"
所以"%0#%1!"#0####2#!"###1!%A0###2#1!’A#0!’A0#!+++++++"分
!
因为#1 $!*"!#"所以#%$!*"!#"++++++++++++++++)分
槡A0!0槡A
又!’A#0!’A0#为正整数"所以)1B1"%21B1"%0#%22!1!’A#0!’A0!!++!!分
A
!**
%因为4!2!#::#12!#0##2$#0%#2�’#2+2))#0!**#1$0(0!!0+0!))
:1!
!$0!))#4&*
1 1&*&*"+++++++++++++++++++++++++!%分
#
!**
所以数列(!2!#A))的前!**项和为!’4!2!#::#0!’!2!0#2$0%2+2))0!**#1
A
:1!
!’4&*&*0!’4&*4!1"!’**!++++++++++++++++++++++!(分
评分细则%
1’2
&!’第!!#问中"只要得出,当A(’时"B 1*-就可给!分!
A
&#’第!##问%中"可以直接列式求和"过程如下%
数列(!2!#A))的前!**项和为!’!2!#0##2$#0%#2�’#2+2))#0!**##0!’!2!
A
!$0!))#4&*
0#2$0%2+2))0!**#1!’4!$0(0!!0+0!))#0!’4&*4!1!’4
#
0"**1"!’**!
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% !!"()"
!"#$%&’
