黑龙江省大庆市2025届高三年级第二次教学质量检测数学答案_2025年1月_250111黑龙江省大庆市2025届高三年级第二次教学质量检测（大庆二模）

大庆市 2025 届高三年级第二次教学质量检测
数学答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D B C A C B
1.【解析】 由已知z a2(a2)i为纯虚数，2a 0，a2，故选A.
1 1 1
2.【解析】 设 f(x) x，则24a 即 f(x) x2， f(3)32  3，故选B.
2
9
3.【解析】 由等比数列性质，得a a a a a  ，故选D.
4 6 3 7， 7 2
4.【解析】 对于A选项，若//,m,n，则m,n可能平行或异面，A错误；
对于B选项，若m，则m垂直于内得任意直线，n//，mn，B正确；
对于C选项，若m//,n//，则m,n可能平行或相交或异面，C错误；
对于D选项，若,m，则m//或m，D错误；故选B.
3 y y 3
5.【解析】 设M(x,y)，则由已知得k k  ，   (x 2)
AM BM 4 x1 x2 4
x2 y2
化简得  1(x2)，故选C.
4 3
5 1
6.【解析】sincos 0 sincos0 且平方得12sincos
5 5
4 3
sin22sincos . 又cos2cos2sin20cos2
5 5
4
tan2 ，故选A.
3
7.【解析】 设g(x) x f(x)，由 f(x)为奇函数可知g(x)为偶函数
    
因为任意的x ,x  0, ，x  x ，都有 x x x f(x )x f(x ) 0
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
所以x(0,)时，g(x)单调递减，由对称性可知g(x)在(,0)上单调递增.
   
因为 f 1 2，所以g 1 2
2
若x 0，则 f(x) 化为x f(x)2，即g(x) g(1)，由单调性可知0 x1.
x
2
若x0，则 f(x) 化为x f(x)2，即g(x) g(1)，由单调性可得x1.
x
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}   
综上，x ,1  0,1 . 故选C.
8.【解析】设数列 a 公差为d ，则直线a xa ya  0可化为
n n n2 n5
a x(a 2d)ya 5d 0. 即(x y1)a (2y5)d 0 .
n n n n
3 5
直线过定点D( , )，当CD  AB时，弦长 AB 最小，此时ACB最小.
2 2
2
C(1,2) CD  . 又半径r 1
2
2  
cosACD ACD ACB . 故选B.
2 4 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
ACD AC BCD
         
9.【解析】对于选项A，由ab a b cosa,b可知，当a b时ab0.故A正确
     
对于选项B，由a//b可知，a与b共线，不一定a b.故B错误.
               
2 2 2 2
对于选项C，由 ab  ab 得a 2abb a 2abb ，即ab0a b.故
C正确.
 
对于选项D，由投影向量定义可知a在b方向上的投影向量为
 
      
   b  ab b ab b ab
a cosa,b   a          . 其模长为  .故D正确. 故选ACD.
b a b b b b b
      T   
10【. 解析】由 f     f   0且x   , 都有 f(x)同号可知   
 6  3  6 3 2 3 6 2
 2 
T  w2 又 f   0 sin   0
 3  3 
   
由0 得  f(x)sin2x

2 3  3
  
由 f   0知 f(x)关于 ,0对称，故A正确.
 3  3 
    2
当x 0, 时， 2x  ，此时 f(x)先增后减，故B错误.
 6 3 3 3
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}  
 f(x)2cos2x . 令 f(x)1得xk或k ,kz ，
 3 3
3 3
其中，x 0时 f(0) .  f(x)在x 0处得切线为y x ，故C正确.
2 2
  
由x(0,m)得 2x 2m .
3 3 3
17  25 5 23
由已知令 2m  得 m .故D错误. 故选AC.
6 3 6 4 12
11.【解析】对于A选项.[g(x)]2 [f(x)]2 [g(x) f(x)][g(x) f(x)]
1  1 
 2ex 2ex 1.故A错误.
2  2
g(x) ex ex e2x 1 2
对于B选项.y    1
f(x) ex ex e2x 1 e2x 1
2
当x0时，e2x 1，0 1
e2x 1
2
01 1， y有最小值0.故B正确.
e2x 1
1
对于C选项.设h(x) g(x)x  (exex)x ，
2
1 1
h(x) (ex ex)1 210 h(x)在(0,)上单调递增
2 2
h(x)h(0)0.即g(x) x
1 1
又 f(x) (ex ex)，当x 0时， f(x) (ex ex)0 ，
2 2
 f(x)在(0,)上单调递增， f[g(x)] f(x).故C正确.
对于D选项.当x(1,0)时，x2(1,2)，g(x2)在(1,0)上单调递增
1
f '(x) (ex ex) 在x(1,0)时 f '(x)0，即 f(x)在(1,0)上单调递减.
2
设F(x) g(x2) f(x)，可知F(x)在(1,0)上单调递增
ee1 ee1
F(1) g(1) f(1)  e10
2 2
e2 e2
F(0) g(2) f(0) 10 ，F(1)F(0)0
2
x (1,0)使F(x )0，即x (1,0)使g(x 2) f(x ).故D正确. 故选BCD.
0 0 0 0 0
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
5 6 5 2
12. 13. 14. 2 ；
2 2 3
12.【解析】
1  1   1 
y 2x,x1,0,1  y ,1,2. 即B  ,1,2 AB1,0, ,1,2
2  2   2 
1 5
AB的所有元素之和为10 12 .
2 2
13.【解析】
由双曲线的对称性，可知四边形MFNF 为平行四边形，又 MN  FF ，四边形
1 2 1 2
MFNF 为矩形，设 MF m, MF n，则mn4b，|mn|2a 两个方程平方后
1 2 1 2 ，
相加得m2 n2 8b2 2a2，在直角三角形MFF 中m2 n2 4c2，所以8b2 2a2 4c2，
1 2
c 6
化简得a2 4b2 2c2，由b2 c2 a2得  .
a 2
14.【解析】
取正方形 ABC D 的中心为O ，正方形 ABCD的中心为O，连接 AO ,AO,OO ，则
1 1 1 1 1 1 1 1
OO 平面 ABCD .过点 A 作 AH  AO 于点 H ，则 AH //OO ，所以 AH 平面
1 1 1 1 1 1
ABCD，且四边形AOOH 为矩形，
1 1
AB 2AB 4 2 AB 2 2，AO  2,AO 4
1 1 1 1 1 1
AH 2.在RtAAH 中，AA 6 ，AH  64  2
1 1 1
即该正四棱台的高为 2
.
连接PH ，在RtAHP中，PH  AP2  AH2  102 2 2
1 1 1
点P的轨迹为以H为圆心，2 2 为半径的圆在正方形ABCD内的部分，即M  N .过点H
作HE  AB于点E，过H 作HF  AD于点F ，则HE  HF  2.在RtNFH 中，
FH 2 1  
cosNHF    NHF  .同理EHM 
NH 2 2 2 3 3
   5
NHM 2   
3 3 2 6
5 5 2
M  N 的长度为 2 2 
6 3
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}5 2
故点P的轨迹长度为
3
.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
BC AC
解：（1）在ABC中，由正弦定理得 
sinA sinB
3 6 2
  sinB
 sinB 2
sin
6
 3
B(0,) B 或 .
4 4
又cosC 0 C为钝角

B . .............................................5分
4
7
（2）由（1）可知C AB .
12
7
 f(x) 2sin(xC)sin(xC) 3sin(xC)3sin(x )
12
7 7 5
0 x   x 
12 12 12
7 5 5  
当x  ，即x时 f(x)  3sin 3sin(  )
12 12 max 12 4 6
    2 3 2 1 3 63 2
3(sin cos cos sin )3(    ) ............13分
4 6 4 6 2 2 2 2 4
16.(本小题满分15分)
解：（1） f(x)(ax1)ex  f(x)(axa1)ex
由已知 f(0)0， f(0)a10 a 1 ..........................3分
又当a 1时 f(x)xex，令 f(x)0得x 0
且当x0时 f(x)0， f(x)在区间(,0)上单调递增，
x 0时， f(x)0， f(x)在区间(0，)上单调递减.
 f(x)在x 0处取得极大值.
综上，a 1
.
.............................................7分
（2）问题等价于存在x使得m f(x)x
.
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}设g(x) f(x)x (1x)exx ，则g(x)xex 1
当x 0时，g(x)0，g(x)在(0,)上单调递减
g(x) g(0)1，故m的范围是（，1）. .............................................15分
17.(本小题满分15分)
S S 1 n1
解：（1）由题意得， 1 1, n 1(n1) 
a a 2 2
1 n
2S (n1)a ..............①，当n2时，2S na ..............②
n n n1 n1
a n
由①-②得 2a
n
(n1)a
n
na
n1
，即 n  (n 2)
a n1
n1
a a a a 2 3 4 n
 2  3  4  n    
a a a a 1 2 3 n 1
1 2 3 n1
a
 n n，a n（n2）.
a n
1
又n1时，a 1满足a n，a n............................................7分
1 n n
n2，n为奇数， n2 n
（2）由a n得b  S  .
n n 3n，n为偶数， n 2
nn  nn 
 1  1
n 22  n 22  2n2 n
当n为偶数时，T  (1) 2 6 6
n 2 2 2 2 2
①
2n2 n n2 n n2
此时，T S     0，故T S
n n 2 2 2 n n
2(n1)2 n1 2n2 n3
当n为奇数时，T T b  n 2
n n1 n 2 2
②
2n2 n3n2 n (n3)(n1)
T S    0
n n 2 2
综上，当n3时，T S . .............................................15分
n n
18.(本小题满分17分)
（1）证明：
四边形ABCD为正方形
AB//CD
又AB平面PCD，CD平面PCD
AB// 平面PCD
又AB平面PAB，平面PAB平面PCD l
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}l//AB .............................................5分
（2）取BC中点N ，连接ON ，则ON OA
PO 平面ABCD，AD平面ABCD，ON 平面ABCD
PO OA，PO ON
以O为原点，OA,ON,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，
则P(0,0, 3)，B(1,2,0)，C(1,2,0)，M(0,1, 3)，A(1,0,0)
  
PB(1,2, 3)，BC (2,0,0).设平面PBC 的一个法向量为n(x ,y ,z )
1 1 1
 
 PBn 0 x 2y  3z 0
则  ，得 1 1 1 ，取n 1  (0, 3,2)
BCn 0  2x 0
1

MP(0,1,0)
|MPn| | 3| 21
点M 到平面PBC 的距离为   .
|n| 7 7
.............................................11分
42
（3）存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为
14
QAQB QC QD，且平面ABCD为正方形，
点Q在平面上的射影是ABCD的中心，可设Q(0,1,h)
3
则PQ  AQ，1(h 3)2 11h2，解得h .
3
3  2 3
即Q(0,1, )，PQ (0,1, )
3 3
  
设PE PB，[0,1]，E(,2, 3 3)，AE (1,2, 3 3)
 
   AEn 0
AC (2,2,0)，设平面AEC的一个法向量为n (x ,y ,z )，则  2 
2 2 2 2
ACn 0
2
(1)x 2y ( 3 3)z 0  31
得 2 2 2 ，取n (1,1, )
 2x 2y 0 2 3 3
2 2
设直线PQ与平面AEC所成的角为
2 3 31
  1 
  PQn 3 3 3 42
2
sin|cos PQn |    
2 PQ  n 2 3 31 14
2 1( )2  11( )2
3 3 3
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}1 19
化简得272 66190，即(31)(919)0， 或 (舍).
3 9
存在点E为PB上靠近点P的三等分点，使得直线PQ与平面 AEC所成角的正弦值为
42
. .............................................17分
14
19.(本小题满分17分)
1 1
解：（1）y  x2 y x
4 ， 2
1
y|  m
xm
2
m
点Q处的切线方程为 yn (xm)
2
即mx2y2n0. .............................................4分
（2） 设B(x ,y ),C(x ,y ),A(x ,y ),M(x ,y ),E(x ,y )
1 1 2 2 0 0 M M E E
则由（①1）可知直线AB为x x2y2y 0
1 1
直线AC 为x x2y2y 0，由A在AB上，同时A在AC 上可知
2 2
x x 2y 2y 0
 1 0 0 1 直线BC的方程为x x2y 2y 0
x x 2y 2y 0 0 0
2 0 0 2
1
即 y x x y
2 0 0
1
k k  x
B 1 C 1 BC 2 0
x
又直线BC 的斜率为 M
1 1 2
1 1
 x  x ，即x  x
2 0 2 M 0 M
1
又E在BC上，y  x2 y
E 2 0 0
1 1
y  x2，y  y  x2 2y
M 4 0 0 E 2 0 M
即A、M 、E三点的纵坐标成等差数列. .............................................12分
1
由 可知S  S
AB 1 C 1 4
② ①
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}1 1 1 1 1 1
S S  S  S  (S S )  S  S
B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3 4 B 1 BM 4 C 1 CM 4 B 1 BM C 1 CM 4 4 16
1
即第二次所做的“外切三角形”的面积之和是第一次所做“外切三角形”的面积的 ，
4
1
同理可知每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的 ，
4
1 1
[1( )n]
1 1 1 1 1 1 1
可得：T  S  S  S  S  4 4 S  [1 ( )n]S  S
4 16 64 4n 1 3 4 3
1
4
.
.............................................17分
{#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}