黑龙江省大庆市2025届高三年级第二次教学质量检测数学答案_2025年1月_250111黑龙江省大庆市2025届高三年级第二次教学质量检测（大庆二模）

大庆市 2025 届高三年级第二次教学质量检测 数学答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D B C A C B 1.【解析】 由已知z a2(a2)i为纯虚数，2a 0，a2，故选A. 1 1 1 2.【解析】 设 f(x) x，则24a 即 f(x) x2， f(3)32  3，故选B. 2 9 3.【解析】 由等比数列性质，得a a a a a  ，故选D. 4 6 3 7， 7 2 4.【解析】 对于A选项，若//,m,n，则m,n可能平行或异面，A错误； 对于B选项，若m，则m垂直于内得任意直线，n//，mn，B正确； 对于C选项，若m//,n//，则m,n可能平行或相交或异面，C错误； 对于D选项，若,m，则m//或m，D错误；故选B. 3 y y 3 5.【解析】 设M(x,y)，则由已知得k k  ，   (x 2) AM BM 4 x1 x2 4 x2 y2 化简得  1(x2)，故选C. 4 3 5 1 6.【解析】sincos 0 sincos0 且平方得12sincos 5 5 4 3 sin22sincos . 又cos2cos2sin20cos2 5 5 4 tan2 ，故选A. 3 7.【解析】 设g(x) x f(x)，由 f(x)为奇函数可知g(x)为偶函数      因为任意的x ,x  0, ，x  x ，都有 x x x f(x )x f(x ) 0 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 所以x(0,)时，g(x)单调递减，由对称性可知g(x)在(,0)上单调递增.     因为 f 1 2，所以g 1 2 2 若x 0，则 f(x) 化为x f(x)2，即g(x) g(1)，由单调性可知0 x1. x 2 若x0，则 f(x) 化为x f(x)2，即g(x) g(1)，由单调性可得x1. x {#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}    综上，x ,1  0,1 . 故选C. 8.【解析】设数列 a 公差为d ，则直线a xa ya  0可化为 n n n2 n5 a x(a 2d)ya 5d 0. 即(x y1)a (2y5)d 0 . n n n n 3 5 直线过定点D( , )，当CD  AB时，弦长 AB 最小，此时ACB最小. 2 2 2 C(1,2) CD  . 又半径r 1 2 2   cosACD ACD ACB . 故选B. 2 4 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9 10 11 ACD AC BCD           9.【解析】对于选项A，由ab a b cosa,b可知，当a b时ab0.故A正确       对于选项B，由a//b可知，a与b共线，不一定a b.故B错误.                 2 2 2 2 对于选项C，由 ab  ab 得a 2abb a 2abb ，即ab0a b.故 C正确.   对于选项D，由投影向量定义可知a在b方向上的投影向量为             b  ab b ab b ab a cosa,b   a          . 其模长为  .故D正确. 故选ACD. b a b b b b b       T    10【. 解析】由 f     f   0且x   , 都有 f(x)同号可知     6  3  6 3 2 3 6 2  2  T  w2 又 f   0 sin   0  3  3      由0 得  f(x)sin2x  2 3  3    由 f   0知 f(x)关于 ,0对称，故A正确.  3  3      2 当x 0, 时， 2x  ，此时 f(x)先增后减，故B错误.  6 3 3 3 {#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}    f(x)2cos2x . 令 f(x)1得xk或k ,kz ，  3 3 3 3 其中，x 0时 f(0) .  f(x)在x 0处得切线为y x ，故C正确. 2 2    由x(0,m)得 2x 2m . 3 3 3 17  25 5 23 由已知令 2m  得 m .故D错误. 故选AC. 6 3 6 4 12 11.【解析】对于A选项.[g(x)]2 [f(x)]2 [g(x) f(x)][g(x) f(x)] 1  1   2ex 2ex 1.故A错误. 2  2 g(x) ex ex e2x 1 2 对于B选项.y    1 f(x) ex ex e2x 1 e2x 1 2 当x0时，e2x 1，0 1 e2x 1 2 01 1， y有最小值0.故B正确. e2x 1 1 对于C选项.设h(x) g(x)x  (exex)x ， 2 1 1 h(x) (ex ex)1 210 h(x)在(0,)上单调递增 2 2 h(x)h(0)0.即g(x) x 1 1 又 f(x) (ex ex)，当x 0时， f(x) (ex ex)0 ， 2 2  f(x)在(0,)上单调递增， f[g(x)] f(x).故C正确. 对于D选项.当x(1,0)时，x2(1,2)，g(x2)在(1,0)上单调递增 1 f '(x) (ex ex) 在x(1,0)时 f '(x)0，即 f(x)在(1,0)上单调递减. 2 设F(x) g(x2) f(x)，可知F(x)在(1,0)上单调递增 ee1 ee1 F(1) g(1) f(1)  e10 2 2 e2 e2 F(0) g(2) f(0) 10 ，F(1)F(0)0 2 x (1,0)使F(x )0，即x (1,0)使g(x 2) f(x ).故D正确. 故选BCD. 0 0 0 0 0 {#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 5 6 5 2 12. 13. 14. 2 ； 2 2 3 12.【解析】 1  1   1  y 2x,x1,0,1  y ,1,2. 即B  ,1,2 AB1,0, ,1,2 2  2   2  1 5 AB的所有元素之和为10 12 . 2 2 13.【解析】 由双曲线的对称性，可知四边形MFNF 为平行四边形，又 MN  FF ，四边形 1 2 1 2 MFNF 为矩形，设 MF m, MF n，则mn4b，|mn|2a 两个方程平方后 1 2 1 2 ， 相加得m2 n2 8b2 2a2，在直角三角形MFF 中m2 n2 4c2，所以8b2 2a2 4c2， 1 2 c 6 化简得a2 4b2 2c2，由b2 c2 a2得  . a 2 14.【解析】 取正方形 ABC D 的中心为O ，正方形 ABCD的中心为O，连接 AO ,AO,OO ，则 1 1 1 1 1 1 1 1 OO 平面 ABCD .过点 A 作 AH  AO 于点 H ，则 AH //OO ，所以 AH 平面 1 1 1 1 1 1 ABCD，且四边形AOOH 为矩形， 1 1 AB 2AB 4 2 AB 2 2，AO  2,AO 4 1 1 1 1 1 1 AH 2.在RtAAH 中，AA 6 ，AH  64  2 1 1 1 即该正四棱台的高为 2 . 连接PH ，在RtAHP中，PH  AP2  AH2  102 2 2 1 1 1 点P的轨迹为以H为圆心，2 2 为半径的圆在正方形ABCD内的部分，即M  N .过点H 作HE  AB于点E，过H 作HF  AD于点F ，则HE  HF  2.在RtNFH 中， FH 2 1   cosNHF    NHF  .同理EHM  NH 2 2 2 3 3    5 NHM 2    3 3 2 6 5 5 2 M  N 的长度为 2 2  6 3 {#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}5 2 故点P的轨迹长度为 3 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) BC AC 解：（1）在ABC中，由正弦定理得  sinA sinB 3 6 2   sinB  sinB 2 sin 6  3 B(0,) B 或 . 4 4 又cosC 0 C为钝角  B . .............................................5分 4 7 （2）由（1）可知C AB . 12 7  f(x) 2sin(xC)sin(xC) 3sin(xC)3sin(x ) 12 7 7 5 0 x   x  12 12 12 7 5 5   当x  ，即x时 f(x)  3sin 3sin(  ) 12 12 max 12 4 6     2 3 2 1 3 63 2 3(sin cos cos sin )3(    ) ............13分 4 6 4 6 2 2 2 2 4 16.(本小题满分15分) 解：（1） f(x)(ax1)ex  f(x)(axa1)ex 由已知 f(0)0， f(0)a10 a 1 ..........................3分 又当a 1时 f(x)xex，令 f(x)0得x 0 且当x0时 f(x)0， f(x)在区间(,0)上单调递增， x 0时， f(x)0， f(x)在区间(0，)上单调递减.  f(x)在x 0处取得极大值. 综上，a 1 . .............................................7分 （2）问题等价于存在x使得m f(x)x . {#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}设g(x) f(x)x (1x)exx ，则g(x)xex 1 当x 0时，g(x)0，g(x)在(0,)上单调递减 g(x) g(0)1，故m的范围是（，1）. .............................................15分 17.(本小题满分15分) S S 1 n1 解：（1）由题意得， 1 1, n 1(n1)  a a 2 2 1 n 2S (n1)a ..............①，当n2时，2S na ..............② n n n1 n1 a n 由①-②得 2a n (n1)a n na n1 ，即 n  (n 2) a n1 n1 a a a a 2 3 4 n  2  3  4  n     a a a a 1 2 3 n 1 1 2 3 n1 a  n n，a n（n2）. a n 1 又n1时，a 1满足a n，a n............................................7分 1 n n n2，n为奇数， n2 n （2）由a n得b  S  . n n 3n，n为偶数， n 2 nn  nn   1  1 n 22  n 22  2n2 n 当n为偶数时，T  (1) 2 6 6 n 2 2 2 2 2 ① 2n2 n n2 n n2 此时，T S     0，故T S n n 2 2 2 n n 2(n1)2 n1 2n2 n3 当n为奇数时，T T b  n 2 n n1 n 2 2 ② 2n2 n3n2 n (n3)(n1) T S    0 n n 2 2 综上，当n3时，T S . .............................................15分 n n 18.(本小题满分17分) （1）证明： 四边形ABCD为正方形 AB//CD 又AB平面PCD，CD平面PCD AB// 平面PCD 又AB平面PAB，平面PAB平面PCD l {#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}l//AB .............................................5分 （2）取BC中点N ，连接ON ，则ON OA PO 平面ABCD，AD平面ABCD，ON 平面ABCD PO OA，PO ON 以O为原点，OA,ON,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则P(0,0, 3)，B(1,2,0)，C(1,2,0)，M(0,1, 3)，A(1,0,0)    PB(1,2, 3)，BC (2,0,0).设平面PBC 的一个法向量为n(x ,y ,z ) 1 1 1    PBn 0 x 2y  3z 0 则  ，得 1 1 1 ，取n 1  (0, 3,2) BCn 0  2x 0 1  MP(0,1,0) |MPn| | 3| 21 点M 到平面PBC 的距离为   . |n| 7 7 .............................................11分 42 （3）存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为 14 QAQB QC QD，且平面ABCD为正方形， 点Q在平面上的射影是ABCD的中心，可设Q(0,1,h) 3 则PQ  AQ，1(h 3)2 11h2，解得h . 3 3  2 3 即Q(0,1, )，PQ (0,1, ) 3 3    设PE PB，[0,1]，E(,2, 3 3)，AE (1,2, 3 3)      AEn 0 AC (2,2,0)，设平面AEC的一个法向量为n (x ,y ,z )，则  2  2 2 2 2 ACn 0 2 (1)x 2y ( 3 3)z 0  31 得 2 2 2 ，取n (1,1, )  2x 2y 0 2 3 3 2 2 设直线PQ与平面AEC所成的角为 2 3 31   1    PQn 3 3 3 42 2 sin|cos PQn |     2 PQ  n 2 3 31 14 2 1( )2  11( )2 3 3 3 {#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}1 19 化简得272 66190，即(31)(919)0， 或 (舍). 3 9 存在点E为PB上靠近点P的三等分点，使得直线PQ与平面 AEC所成角的正弦值为 42 . .............................................17分 14 19.(本小题满分17分) 1 1 解：（1）y  x2 y x 4 ， 2 1 y|  m xm 2 m 点Q处的切线方程为 yn (xm) 2 即mx2y2n0. .............................................4分 （2） 设B(x ,y ),C(x ,y ),A(x ,y ),M(x ,y ),E(x ,y ) 1 1 2 2 0 0 M M E E 则由（①1）可知直线AB为x x2y2y 0 1 1 直线AC 为x x2y2y 0，由A在AB上，同时A在AC 上可知 2 2 x x 2y 2y 0  1 0 0 1 直线BC的方程为x x2y 2y 0 x x 2y 2y 0 0 0 2 0 0 2 1 即 y x x y 2 0 0 1 k k  x B 1 C 1 BC 2 0 x 又直线BC 的斜率为 M 1 1 2 1 1  x  x ，即x  x 2 0 2 M 0 M 1 又E在BC上，y  x2 y E 2 0 0 1 1 y  x2，y  y  x2 2y M 4 0 0 E 2 0 M 即A、M 、E三点的纵坐标成等差数列. .............................................12分 1 由 可知S  S AB 1 C 1 4 ② ① {#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}1 1 1 1 1 1 S S  S  S  (S S )  S  S B 1 B 2 B 3 C 1 C 2 C 3 4 B 1 BM 4 C 1 CM 4 B 1 BM C 1 CM 4 4 16 1 即第二次所做的“外切三角形”的面积之和是第一次所做“外切三角形”的面积的 ， 4 1 同理可知每一次所做“外切三角形”面积之和都是上一次“外切三角形”面积之和的 ， 4 1 1 [1( )n] 1 1 1 1 1 1 1 可得：T  S  S  S  S  4 4 S  [1 ( )n]S  S 4 16 64 4n 1 3 4 3 1 4 . .............................................17分 {#{QQABKYKAoggIABAAARhCAwEiCkAQkhAAASgGRFAMoAAACANABCA=}#}