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2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题
一、单选题
1．已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】若 ，则 .
故选C.
2．已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ）
A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【解析】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，
对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选B.
3．已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由 得 ，结合 ，得 ，由此即可得解.
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
从而 .
故选B.
4．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（均在 之间，
单位：kg）并部分整理下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 24 10据表中数据，结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【答案】C
【分析】计算出前三段频数即可判断A；计算出低于1100kg的频数，再计算比例即可判断B；根据极差计算方法
即可判断C；根据平均值计算公式即可判断D.
【解析】
A, 根据频数分布表可知, ,所以亩产量的中位数不小于 , A 错误；
B，亩产量不低于 的频数为 ，因此低于 的稻田占比为 ，B错误；
C，稻田亩产量的极差最大为 ，最小为 ，C正确；
D，根据频数分布表可得，亩产量在 的频数为 ，
所以平均值为 ，D错误.
故选C.
5．已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段 ， 为垂足，则线段 的中点M
的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
【答案】A
【分析】设点 ，由题意，根据中点的坐标表示可得 ，代入圆的方程即可求解.
【解析】设点 ，则 ，
因为 为 的中点，所以 ，即 ，又 在圆 上
所以 ，即 ，即点 的轨迹方程为 .
故选A.
6．设函数 ， ，当 时，曲线 与 恰有一个交点，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令 ，分析可知曲线 与 恰有一个交点，结合偶函数
的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得 ，并代入检验即可；解法二：令 ，
可知 为偶函数，根据偶函数的对称性可知 的零点只能为0，即可得 ，并代入检验即可.
【解析】解法一：令 ，即 ，可得 ，令 ，
原题意等价于当 时，曲线 与 恰有一个交点，
注意到 均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得 ，即 ，解得 ，
若 ，令 ，可得
因为 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
则方程 有且仅有一个实根0，即曲线 与 恰有一个交点，
所以 正确；
综上所述： .
解法二：令 ，
原题意等价于 有且仅有一个零点，
因为 ，
则 为偶函数，由偶函数的对称性可知 的零点只能为0，
即 ，解得 ，
若 ，则 ，又因为 当且仅当 时，等号成立，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，即 有且仅有一个零点0，所以 正确；
故选D.
7．已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高 ，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得
，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台 补成正三棱锥 ，
与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角，根据比例关系可得 ，进而可求正三棱锥 的高，
即可得结果.
【解析】解法一：分别取 的中点 ，则 ，
可知 ，设正三棱台 的为 ，
则 ，解得 ，
如图，分别过 作底面垂线，垂足为 ，设 ，
则 ， ，
可得 ，
结合等腰梯形 可得 ,
即 ，解得 ，
A M
所以A A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A AD= 1 =1；
1 1 AM
解法二：将正三棱台 补成正三棱锥 ，
则 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角，
因为 ，则 ，可知 ，则 ，
设正三棱锥 的高为 ，则 ，得 ，
取底面ABC的中心为 ，则PO⊥底面ABC，且 ，
所以 与平面ABC所成角的正切值 .
故选B.8．设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】解法一：根据题意可知： 的定义域为 ，分类讨论 与 的大小关系，结合符号分析判
断，即可得 ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析 的符号，进而可得 的符号，
即可得 ，代入可得最值.
【详解】解法一：根据题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
若 ，当 时，可知 ，此时 ，错误；
若 ，当 时，可知 ，此时 ，错误；
若 ，当 时，可知 ，此时 ；
当 时，可知 ，此时 ；可知若 ，正确；
若 ，当 时，可知 ，此时 ，错误；
综上所述： ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ；
解法二：根据题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；
时， ，故 ，所以 ；
故 ， 则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选C.
二、多选题9．对于函数 和 ，下列说法正确的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期 D． 与 的图像有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】由正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【解析】A令 ，解得 ，即为 零点，令 ，解得
，即为 零点，显然 零点不同，A错误；
B显然 ，B正确；
C由周期公式， 的周期均为 ，C正确；
D由正弦函数的性质 的对称轴满足 ， 的对称轴满足
，显然 图像的对称轴不同，D错误.
故选BC。
10．抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作 的一条切线，Q为切点，过P作l
的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A、抛物线准线为 ，根据圆心到准线的距离来判断；B、 三点共线时，先求出 的坐标，进
而得出切线长；C、根据 先算出 的坐标，然后验证 是否成立；D、根据抛物线的定义，
，于是问题转化成 的 点的存在性问题，此时考察 的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦
可直接设 点坐标进行求解.
【解析】A抛物线 的准线为 ， 的圆心 到直线 的距离显然是 ，等于圆的半径，故准线
和 相切，A正确；
B 三点共线时，即 ，则 的纵坐标 ，由 ，得到 ，故 ，
此时切线长 ，B正确；
C当 时， ，此时 ，故 或 ，当 时， ， ，
，不满足 ；当 时， ， ， ，不满足 ；于是 不成立，C错误；
D方法一：利用抛物线定义转化
由抛物线的定义， ，这里 ，于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性
问题， ， 中点 ， 中垂线的斜率为 ，于是 的中垂线方程为： ，与
抛物线 联立可得 ，
，即 的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个 点，使得 ，D正确.
方法二：（设点直接求解）
设 ，由 可得 ，又 ，又 ，
根据两点间的距离公式， ，整理得 ，
，则关于 的方程有两个解，
即存在两个这样的 点，D正确.
故选ABD。
11．设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【分析】A、先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B、根据极值和导函数符号的关系进行分析；C、假设存在这样的 ，使得
为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D、若存在这样的 ，使得 为 的
对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【解析】A ，由于 ，故 时 ，故 在上单调递增， 时， ， 单调递减，则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，由
， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，又 ， ，则
，则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A正确；
B ， 时， ， 单调递减， 时 ， 单调递增，此时
在 处取到极小值，B错误；
C假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，即存在这样的 使得 ，
即 ，由二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为
，于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C错误；
D方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，事实
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D正确.
故选：AD
三、填空题
12．记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 .
【答案】95
【解析】因为数列 为等差数列，由题意得 ，解得 ，则 .
答案为： .
13．已知 为第一象限角， 为第三象限角， ， ，则 .
【答案】
【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得 ，再缩小 的范围，最后结合同角的平方和关
系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.
【解析】法一：由题意得 ，
因为 ， ，则 ， ，
又因为 ，则 ， ，则 ，则
，联立 ，解得 .
法二： 因为 为第一象限角， 为第三象限角，则 ,
， ，
则
答案为： .
14．在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所
有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
【答案】 24 112
【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可
求解.
【详解】根据题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，
则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，
所以共有 种选法；
每种选法可标记为 ， 分别表示第一、二、三、四列的数字，
则所有的可能结果为：
，
，
，
，
所以选中的方格中， 的4个数之和最大，为 .
答案为：24；112
四、解答题
15．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数
的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长.
【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，由于 ，故 ，
解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设 ，根据题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，又 ，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，于是 ，
，
根据正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，故 的周长为
16．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析 和 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得 ，构建函
数解不等式即可；解法二：求导，可知 有零点，可得 ，进而利用导数求 的单调性和极值，
分析可得 ，构建函数解不等式即可.【解析】（1）当 时，则 ， ，可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，所以切线方程为 ，即 .
（2）解法一：因为 的定义域为 ，且 ，若 ，则 对任意 恒成立，可知 在
上单调递增，无极值，错误；若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；可知 在
内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，可知 在 内单调递增，且 ，不等式
等价于 ，解得 ，所以a的取值范围为 ；
解法二：因为 的定义域为 ，且 ，
若 有极小值，则 有零点，令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；可知 在 内单调递减，在
内单调递增，则 有极小值 ，无极大值，正确，根据题意可得：
，即 ，构建 ，因为则 在 内
单调递增，
可知 在 内单调递增，且 ，不等式 等价于 ，解得 ，所以a的取值
范围为 .
17．如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ， ，点E，F满足
， ，将 沿EF对折至△PEF，使得 ．
(1)证明： ；
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据余弦定理求得 ，利用勾股定理的逆定理可证得 ，则 ，结合线
面垂直的判定定理与性质即可证明；
（2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明 ，建立如图空间直角坐标系 ，利用空间向
量法求解面面角即可.
【解析】（1）由 ，得 ，又 ，在 中，根据余弦
定理得 ,
所以 ，则 ，即 ，所以 ，又 平面 ，所
以 平面 ，又 平面 ，
故 ；
（2）连接 ，由 ，则 ，
在 中， ，得 ，
所以 ，由（1）知 ，又 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，则 两两垂直，建立如图空间直角坐标系 ，
则 ，由 是 的中点，得 ，
所以 ，
设平面 和平面 的一个法向量分别为 ，
则 ， ，
令 ，得 ，所以 ，所以 ，设
平面 和平面 所成角为 ，则 ，即平面 和平面 所成角的正弦值为 .
18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员
投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的
另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、
乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
【答案】(1)
(2)（i）由甲参加第一阶段比赛；（i）由甲参加第一阶段比赛；
【分析】（1）根据对立事件的求法和独立事件的乘法公式即可得到答案；
（2）（i）首先各自计算出 ， ，再作差因式分解即可判断；(ii)首先得到
和 的所有可能取值，再按步骤列出分布列，计算出各自期望，再次作差比较大小即可.
【解析】（1）甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，
比赛成绩不少于5分的概率 .
（2）（i）若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ，若乙先参
加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为 ， ，
，
，应该由甲参加第一阶段比赛.
(ii)若甲先参加第一阶段比赛，数学成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
，
，
，
，
记乙先参加第一阶段比赛，数学成绩 的所有可能取值为0，5，10，15，
同理
，
因为 ，则 ， ，
则 ，
应该由甲参加第一阶段比赛.
19．已知双曲线 ，点 在 上， 为常数， ．按照如下方式依次构造点
，过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为
.(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意的正整数 ， .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出 的坐标即可；
（2）根据等比数列的定义即可验证结论；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.思路二：使用等差数列
工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.
【解析】（1）
根据已知有 ，故 的方程为 .
当 时，过 且斜率为 的直线为 ，与 联立得到 解得 或 ，
所以该直线与 的不同于 的交点为 ，该点显然在 的左支上.
故 ，从而 ， .
（2）由于过 且斜率为 的直线为 ，与 联立，得到方程
.展开即得 ，由于 已经是直线
和 的公共点，故方程必有一根 .
从而根据韦达定理，另一根 ，相应的 .
所以该直线与 的不同于 的交点为 ，而注意到 的横坐标亦可通过韦达定
理表示为 ，故 一定在 的左支上.所以 .
这就得到 ， .
所以
.
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点 ，若 ， ，则 .（若
在同一条直线上，约定 ）
证明：
.
证毕，回到原题.
根据上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有.
而又有 ， ，
因此利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明 的取值是与 无关的定值，所以 .
方法二：由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有
.
可得 ，
以及 .
两式相减，即得 .
移项得到 .故 .
而 ， .所以 和 平行，这就得到
，即 .
