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成都外国语学校高 2022 级高二上期 9 月月考
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知 是虚数单位，复数 是纯虚数，则实数 的值为（ ）
A. 2 B. －2 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】因为 是实数，所以复数 的实部是 ，虚部是 ，直接由实部等于0，虚部不等于0求
解 的值．
【详解】解：由 是纯虚数，得 ，解得 ．
故选：A.
2. 已知向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标运算求解.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
故选:A.
3. 在 中，若 ， ， ，则C等于（ ）
A. B. 或 C. D. 或
【答案】D【解析】
【分析】由正弦定理即可求出角 的大小.
【详解】由题意，
在 中， ， ， ，
由正弦定理得， ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ,
故选：D.
4. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取 名同学参加课外知识测试，测试共 道题，每答
对一题得 分，答错得 分.已知每名同学至少能答对 道题，得分不少于 分记为及格，不少于 分
记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
为
A. 该次课外知识测试及格率
B. 该次课外知识测试得满分的同学有 名
C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数
D. 若该校共有 名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有 名【答案】C
【解析】
【分析】由百分比图知，成绩为100分、80分、60分、40分的百分比分别为 ，结合
各项的描述即可判断其正误.
【详解】由图知，及格率为 ，故A错误.
该测试满分同学的百分比为 ，即有 名，B错误.
由图知，中位数为 分，平均数为 分，故C正确.
由题意， 名学生成绩能得优秀的同学有 ，故D错误.
故选：C
5. 已知平面 、 ，直线 ，直线 不在平面 内，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
【详解】对于A选项，若 ， ，过直线 作平面 ，使得 ， ，
因为 ， ， ，则 ，
因为 ， ， ，则 ， ，
， ， ， ，则 或 、 异面，A错；
对于B选项，若 ， ，则 ， ，故 ，B对；对于C选项，若 ， ， ，则 ，因为 ，则 或 ，C错；
对于D选项，若 ， ，则 或 、 相交（不一定垂直），D错.
故选：B.
6. 将函数 的图象向左平移 个单位后，得到的函数图象关于y轴对称，则 的可能取值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得平移后的函数为 ，再根据余弦函数的对称性列式求解即可
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位后，得到函数
，因为图象关于y轴对称，所以 ， ，则
，
故选：A.
7. 在棱长为1的正方体 中， 分别为 ， 的中点，过直线 的平面
//平面 ，则平面 截该正方体所得截面为（ ）
A. 三角形 B. 五边形 C. 平行四边形 D. 等腰梯形
【答案】D
【解析】
【分析】取 的中点E， 的中点F，连接 ，证明 在同一平面内，且四边形为等腰梯形，证明平面 平面 ，即可确定答案.
【详解】根据题意，取 的中点E， 的中点F，连接 ，
则 ，所以 ，且 ,
故 在同一平面内，
连接 ，因为 分别为 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 ，
即平面 截该正方体所得截面为梯形 ；
又由梯形 中， ，
即平面 截该正方体所得截面为等腰梯形,
故选：D
8. M为△ABC所在平面内一点，且 ，则动点M的轨迹必通过△ABC的（ ）
A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心【答案】C
【解析】
【分析】设边 的中点为 ，结合向量的线性运算法则化简向量等式可得 ，由数量积的性
质可得 ，由此可得结论.
【详解】设边 的中点为 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，又点 为边 的中点，
所以点 在边 的垂直平分线上，
所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知圆锥顶点为 ，底面圆心为 ， 为底面的直径， ， 与底面所成的角为 ，则（
）的
A. B. 该圆锥 母线长为
C. 该圆锥的体积为 D. 该圆锥的侧面积为
【答案】AB
【解析】
【分析】由线面角的定义可得出 ，可求得 的长，可判断A选项；分析可知 是等边
三角形，可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断C选项；求出该圆锥的侧面积，可判断D选项.
【详解】对于A选项，如下图所示：
由圆锥的几何性质可知， 与圆 所在的底面垂直，
所以， 与底面所成的角为 ，即 ，
因为 ，则 ，所以， ，A对；
对于B选项，因为 ，且 ，则 是边长为 的等边三角形，
所以，该圆锥的母线长为 ，B对；
对于C选项，圆 的面积为 ，故该圆锥的体积为 ，C错；
对于D选项，该圆锥的侧面积为 ，D错.
故选：AB.
10. 已知 的角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 且 ，则下列说法正确
的是（ ）A. B.
C. 为等腰非等边三角形 D. 为等边三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正弦定理可得出 ，结合角 的取值范围可得出角 的值，可判断A选项；利用余
弦定理可判断CD选项；利用平面向量数量积的定义可判断B选项.
【详解】对于A选项，因为 ，由正弦定理可得 ，即 ，
又因为 ，所以， ，A错；
对于CD选项，由余弦定理可得
，则 ，可得 ，
又因为 ，故 为等边三角形，C错D对；
对于B选项， ，B对.
故选：BD.
11. 如图，在四边形 中， ， ， ，E为 的中点，
与 相交于F，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B. 在 上的投影向量为C. D. 若 ，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据平面向量基本定理及平面向量的数量积的定义，利用转化法即可求解判断.
【详解】解：因为在四边形 中， ，所以四边形 为平行四边形，
又 ， ，所以 ，
对于 A： ，设 ，
因为 三点共线，
所以 ，解得 ，所以 ，故选项A正确；
对于B：设 的夹角为 ，因为 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 在 上的投影向量为 ，故选项B正确；
对于 ：由题意， ，故
选项C正确；
对于D： ，则 ，
若 ，则 ，又因为 ，
所以 ，不满足 ，故选项D不正确.故选：ABC.
12. 在正方体 中， 是侧面 上一动点，下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥 的体积为定值
B. 若 ∥ ，则 平面
C. 若 ，则 与平面 所成角为
D. 若 ∥平面 ，则 与 所成角的正弦最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用等体积法分析判断，对于B，由条件可得点 在平面 上 的轨迹为
再判断 与平面 的位置关系即可，对于 C，连接 交 于点 ，连接 ，
，则可证得 为直线 与平面 所成角，然后求解即可，对于D，连接
，可证得平面 ∥平面 ，得点 在平面 上的轨迹为 ，得
为 与 所成的角，从而可求得结果.
【详解】对于A，因为 是侧面 上一动点，平面 ∥平面 ，
所以点 到平面 的距离等于正方体的棱长，设棱长为 ，则
，所以三棱锥 的体积为定值，所以A正确，对于B，因为 ∥ ， 平面 ，所以当 ∥ 时，点 在平面 上的轨迹
为 ，因为 与 不垂直，所以 与平面 不垂直，
所以 与平面 不垂直，所以B错误，
对于C，连接 交 于点 ，连接 ， ，则 ，
所以 为等边三角形，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为平面 平面 ， ， 是侧面 上一动点，
所以点 的轨迹是 ，
所以平面 就是平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成角，设正方体的棱长为 ，因为 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 ，即 与平面 所成角为 ，所以C正确，
对于D，连接 ，则 ∥ ， ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ， ∥平面 ，
因为 ， 平面 ，所以平面 ∥平面 ，
因为 ∥平面 ，所以 平面 ，
因为平面 平面 ，所以点 在平面 上的轨迹为 ，
因为 ∥ ，所以 为 与 所成的角，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
设正方体的棱长为1，设 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值，此时 最小，所以此时 取得最小值为 ，
所以 与 所成角的正弦最小值为 ，所以D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：此题考查线线角，线面角的求法，考查棱锥的体积的求法，考查立体几何中的轨迹
问题，解题的关键是根据题意结合线面点的关系确定动点的轨迹，考查空间想象能力和计算能力，属于难
题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13. 用分层抽样的方法从某校高中学生中抽取一个容量为 45的样本，其中高二年级有学生600人，抽取了
15人.则该校高中学生总数是________人.
【答案】1800
【解析】
【分析】利用比例求出学生总数.
【详解】 ，故该校高中学生总数是1800人.
故答案为：1800
14. 在△ 中， 是 边上一点，且 ， 是 上的一点，若 ，
则实数 的值为__________．
【答案】
【解析】【详解】分析：根据向量的加减运算法则，通过 ，把 用 和 表示出来，可得m的
值．
详解：如图：∵ ，
∴ ，
则 ，
又∵B，P，N三点共线，
∴ ，
故得m= ．
故答案为 ．
点睛：点O是直线l外一点，点A，B是直线l上任意两点，求证：直线上任意一点P，存在实数t，使得
关于基底{OA,OB}的分析式为
反之，若 则A，P，B三点共线
（特别地令t= , 称为向量中点公式）15. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中， 平面
， ， ，已知动点 从 点出发，沿外表面经过棱 上一点到点 的最短
距离为 ，则该棱锥的外接球的体积为______.
【答案】
【解析】
【分析】将 沿 翻折到与 共面得到平面四边形 如图1所示，设 ，利用余
弦定理求出 ，将三棱锥 补成长方体如图2所示，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，求出外
接球的半径，即可求出其体积.
【详解】解：将 沿 翻折到与 共面得到平面四边形 如图1所示，
设 ，即 ，由题意得 ，在 中，由余弦定理得
即
即 ，解得 或 （舍去），
将三棱锥 补成长方体如图2所示，
该棱锥的外接球即为长方体的外接球，
则外接球的半径 ，
所以外接球的体积 .
故答案为：
16. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ，角 的平分线与 交于点 ，
且 ，则 的值为_________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简，求出角 ，再利
用等面积法即可得解.
【详解】因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，
即 ，
所以 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故 ，
由 ，
得 ，
即 ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，18-22题各12分，解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，四棱锥 的底面为正方形， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）若 平面 ，证明： .【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意，设 与 交于点 ，连接 ，由线面平行的判定定理即可证明；
（2）由线面垂直的性质定理及判定定理即可得证.
【小问1详解】
设 与 交于点 ，连接 ，
因为底面 是正方形，所以 为 的中点，
又因为 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
因为底面 是正方形，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
18. 设A，B，C，D为平面内的四点，且 .
（1）若 ，求D点的坐标；（2）设向量 ，若向量 与 平行，求实数k的值.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.
（2）求出 的坐标，再利用向量线性运算的坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.
【小问1详解】
设 ，因为 ，于是 ，整理得 ，
即有 ，解得 ，
所以 .
【小问2详解】
因为 ，
所以 ， ，
因为向量 与 平行，因此 ，解得 ，
所以实数k的值为 .
19. 为了解某市家庭用电量的情况，统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：
），将全部数据按区间 ， ，…， 分成8组，得到如下的频率分布直方
图：（1）求图中a的值；并估计这200户居民月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代
表）；
（2）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居
民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定各档月均
用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数）.
【答案】（1） ，平均值为
（2）第一档的范围是 ，第二档的范围是 ，第三档的范围是 .
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1列出方程解出 ，再根据频率分布直方图计算平均值即可；
（2）根据百分位数定义计算即可.
【小问1详解】
由直方图可得，样本落在 ,
的频率分别为 , , , , , , , ，由
，解得 ，
则样本落在 , 的频率分
别为0.05,0.1,0.2,0.3,0.15,0.1,0.05,0.05,所以月用电量的平均值为
，
【小问2详解】为了使 的居民缴费在第一档，需要确定月用电量的 分位数；
的居民缴费在第二档，还需要确定月用电量的 分位数.
因为 ，
则使 的居民缴费在第一档，月用电量的 分位数位于 区间内，
于是 .
又 ,
所以 对应的用电量为350.
所以第一档的范围是 ，第二档的范围是 ，第三档的范围是 .
20. 已知函数 的图象如图所示．
（1）求函数 的解析式及单调递增区间；
（2）若函数 ，满足 对任意的 恒成立，求实数 的取值范
围．
【答案】（1） ， ，
（2） ．
【解析】【分析】（1）根据图得到 ，进而得到 ， ，从而 ，再由
求得解析式，再利用这些函数的性质求解单调区间；
（2）易得 ．根据 对任意的 恒成立，由
求解.
【小问1详解】
由图可知： ，所以 ，
所以 ， ， 由图易得 ，
则 ，又 ，
则 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ．
令 ， ，
解得 ， ，
所以 的单调递增区间为 ， ．【小问2详解】
由题 ．
当 ， 时， ．
因为 对任意的 恒成立，
则 ，即 所以 ．
21. 在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 .
（1）求角B的大小；
（2）若 是锐角三角形，求 的面积的取值范围.
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换可得 ，再结合角的范围即可求
解；
（2）利用三角形面积公式可得 ，再结合正弦定理边化角，进而利用三角恒等变换化为
，结合角的范围可得 ，从而可解.
【
小问1详解】由正弦定理得 ，
可化为： ，
即
又由于 ，
所以
可得
即 ，
由于 ，所以 ，
化简为 ，因为 ，则 ，
所以 ，所以 .
【小问2详解】
由正弦定理知 ，所以 ，
那么
，
又由 ，解得 ，所以 ，即 ，
故 的面积的取值范围为 .
22. 如图，ABDC是平面四边形， 为正三角形， ， ．将 沿BC翻折，
过点A作平面BCD的垂线，垂足为H．
（1）若点H在线段BD上，求AD的长；
（2）若点H在BCD内部，且直线AB与平面ACD所成角的正弦值为 ，求二面角 的余
弦值．
【答案】（1）4 （2）
【解析】
【分析】（1）方法一：由 平面 得 ，结合勾股定理可得 ，从
而 ， 为 中点，由勾股定理计算可得 ；
方法二：在平面四边形 中，设 的中点为 ，连接 并延长，交 于 ，可得 为 的
中点．在三棱锥 中， ， ，得 平面 ，平面 平面
，则点 在直线 上，当点 在线段 上，此时 与 重合，结合勾股定理计算可得 ；
（2）方法一：当点 在 内部，知 平面 ，则 ，
设 是 的中点， ，得 平面 ， ，则 为二面角 的平面角．利用等体积法得： ，求得 ，从而得出答案；
方法二：当点 在 内部，知 平面 ， 为二面角 的平面角．过点
作 交 于 ，可证得 平面 ，平面 平面 ，过点 作 ，
交 于点 ，则 平面 ，由直线 与平面 所成的角，求得 ， 进而出 ，
即可得解.
【小问1详解】
方法一：
平面 ， 平面 ， ，
中， ，
中， ，
， ，
由于 为等腰直角三角形， ， 为 中点，
在 中由勾股定理得， ， ，
在 中由勾股定理得， ， .
方法二：在平面四边形 中，设 的中点为 ，
连接 并延长，交 于 .为正三角形， 为 的中点， ，
， ，
的
为 中点， 为 的中点.
在三棱锥 中， ， ，且 ，
平面 ，又 平面 ，
平面 平面 ， 点 在直线 上.
当点 在线段 上，此时 与 重合，
，
平面 ， 平面 ，
，
在 ， ，
在 ， ，
【小问2详解】方法一：
当点 在 内部，知 平面 ， 平面 ，则 ，
设 是 的中点，连接 ，
为正三角形， ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， ，
为二面角 的平面角.
设 点到平面 的距离为 ，则 ，
过 点作 ，连接 ，
由 平面 ， 在 的中垂线上，
设 ，则 ，
由等体积法得： ，
，即 ，
，解得 ，所以 ,
.
方法二：当点 在 内部，知 平面 ，此时 在线段 （不含端点）上.
， 为二面角 的平面角.
由于 平面 ， ，
过点 作 交 于 ，连接 ，
， ，
又因为 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ，
过点 作 ，交 于点 ，
又平面 平面 ， 平面 .
设 为直线 与平面 所成的角，则点 到平面 的距离为 ，
，解得 ，
在 中，可设
由于 ，解得 .
在 中， ，
所以 .
