文档内容
2023 年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷
数学（四）
注意事项：
1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写
在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知复数 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数 ，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】解：因为 ，所以 ，
所以 在复平面内对应的点的坐标为 位于第三象限.
故选：C
2. 已知全集 ，集合 ，则 A=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】计算出集合B，由补集的定义即可得出答案.
【详解】因为 ，
A= .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司3. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一
个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中 分别是上､下底面圆的圆心，
且 ，底面圆的半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆锥与圆柱的体积公式，可得答案.
【详解】已知底面圆的半径 ，由 ，则 ，
故该陀螺的体积 .
故选：D.
4. 已知一组数据： 的平均数是4，方差是2，则由 和11这
四个数据组成的新数据组的方差是（ ）
A. 27 B. C. 12 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根据方差和平均数的计算及可求解.
【详解】因为一组数据 ， ， 的平均数是4，方差是2，
所以 ，
所以 ，
所以 ，11的平均数为
，
所以 ，11的方差为
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学科网（北京）股份有限公司故选：B
5. 若非零向量 满足 ，则向量 与 夹角的余弦值为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出 ，根据 可得 ,代入化简求解夹角余弦
值即可.
【详解】设 与 的夹角为 ，
因为 ，所以 ，
.
.
故选：D.
6. 已知圆 ，圆 ，则同时与圆 和
圆 相切的直线有（ ）
A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 0条
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的方程，明确圆心与半径，进而确定两圆的位置关系，可得答案.
【详解】由圆 ，则圆心 ，半径 ；
由圆 ，整理可得 ，则圆心 ，
半径 ；
由 ，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知函数 的部分图象如图所示，则函数
在区间 上的零点个数为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】求出周期，方法1：画图分析零点个数；方法2：求 的根解不等式即可.
【详解】由题意知， ，解得： ， ，
方法1：∴作出函数图象如图所示，
∴ 在区间 上的零点个数为5.
方法2：∴ ，解得： ，
∴ ， ，解得： ， ，
∴ ，∴ 在区间 上的零点个数共有5个.
故选：B.
8. 已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，若离
心率 ，则椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知 ，结合椭圆的定义解得 ，再由
求解.
【详解】因为 ，所以 ，
由椭圆的定义得： ，解得 ，
因为 ，所以 ，
两边同除以a得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以该离心率 的取值范围是
故选：D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 若 ，则 的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意可得： ，然后利用正切函数的性
质即可求解.
【详解】因为 ，则 ，
所以 ，解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ；当 时， ；当 时， ；
故选： .
10. 某校10月份举行校运动会，甲､乙､丙三位同学计划从长跑，跳绳，跳远中任选一项参
加，每人选择各项目的概率均为 ，且每人选择相互独立，则（ ）
A. 三人都选择长跑的概率为
B. 三人都不选择长跑的概率为
C. 至少有两人选择跳绳的概率为
D. 在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据相互独立事件概率计算公式计算即可.
【详解】由已知
三人选择长跑 概率为 ，故A正确.
的
三人都不选择长跑的概率为 ，故B错误.
至少有两人选择跳绳的概率为 ，故C错误.
记至少有两人选择跳远为事件A，所以 .
记丙同学选择跳远为事件B，所以 .
所以在至少有两人选择跳远的前提下，丙同学选择跳远的概率为 ，
故D正确.
故选：AD
11. 设函数 ，若 恒成立，则满足条件
的正整数 可以是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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学科网（北京）股份有限公司【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意可得 ，利用导数结合分类讨论
解决恒成立问题.
【详解】若 恒成立，则
恒成立，
构建 ，则 ，
∵ ，故 ，则有：
当 ，即 时，则 当 时恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，
即 符合题意，故满足条件的正整数 为1或2；
当 ，即 时，令 ，则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，则
，
构建 ，则 当 时恒成立，
故 在 上单调递减，则 ，
∵ ，
故满足 的整数 ；
综上所述：符合条件的整数 为1或2或3，A、B、C正确，D错误.
.
故选：ABC
12. 已知三棱锥 中， 平面
是边 上一动点，则（ ）
A. 点 到平面 的距离为2
B. 直线 与 所成角的余弦值为
C. 若 是 中点，则平面 平面
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学科网（北京）股份有限公司D. 直线 与平面 所成的最大角的正切值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，利用线面垂直判定定理，明确点到平面的距离，利用三角形的性质，可
得答案；
对于B，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量，利用向量夹角公式，可得答案；
对于C，利用等腰三角形的性质，结合面面垂直判定定理，可得答案；
对于D，利用线面垂直性质定理，结合直角三角形的性质以及锐角正切的定义，可得答案.
【详解】对于A，在平面 内，过 作 ，如下图所示：
平面 ，且 平面 ， ，
， ， 平面 ， 平面 ，
则 到平面 的距离为 ， ， ， ，
在 中，
，故A错
误；
对于B，在平面 内，过 作 ，且 ，易知 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系：
则 ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ， ，
， ， ，
则 ，故B正确；
对于C，作图如下：
在 中， ， 为 的中点，则 ，
平面 ， 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 平面 ，故C正确，
对于D，作图如下：
平面 ， 平面 ， ，
则在 中， ，当 取得最小值时， 取得最大值，
当 为 的中点时，由C可知， ， 取得最小值为 ，
则 取得最大值为 ，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
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学科网（北京）股份有限公司13. 函数 为奇函数，则实数 的取值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】由奇函数的定义求解即可.
【详解】函数 为奇函数，必有 ，
则 ，
于是得 恒成立，即 ，
解得： .
故答案为：1.
14. 已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上一点 ，若 ，则 的面积为
______________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线定义得P点坐标，再根据三角形面积公式求解.
【详解】因为 ，所以 ，
因此 的面积为
【点睛】本题考查抛物线定义应用，考查基本分析转化与求解能力，属基础题.
15. 由数字 组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有
__________个.
【答案】
【解析】
【分析】能被 整除的三位数末位数字是 或 ，分成末位数字是5和末位数字是0两种情
况讨论.
【详解】能被 整除的三位数说明末尾数字是 或
当末尾数字是 时，百位数字除了 有 种不同的选法，十位有 种不同的选法，根据分步
乘法原理一共有 种方法；
当末尾数字是 时，百位数字有 种不同的选法，十位有 种不同的选法，根据分步乘法原
理一共有 种方法；
则一共有 种
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
16. 已知 ，函数 在 上的最小值为2，则实数
__________.
【答案】1
【解析】
【分析】利用导数分类为 与 讨论，得出 在 上的最小值，
由最小值为2求解a的值即可得出答案.
【详解】 ，
，
当 时，即 时，
则 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
在 上的最小值为 ，解得 ，
当 时，即 时，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
在 上的最小值为 ，舍去，
综上所述： ，
故答案为：1.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 第24届冬奥会于2022年2月4日在北京市和张家口市联合举行，此项赛事大大激发了
国人冰雪运动的热情.某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第 天的滑雪
人数 （单位：百人）的数据.
天数代码 1 2 3 4 5
滑雪人数 （百人） 9 11 14 26 20
经过测算，若一天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，请建立 关于 的
回归方程，并预测该滑雪场开业的第几天开始盈利.
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学科网（北京）股份有限公司参考公式：线性回归方程 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
.
【答案】 ； .
【解析】
【分析】根据表中数据及平均数公式求出 ，从而求出回归方程，然后再根据一天中滑
雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利即可求解.
【详解】由题意可知， ， ，
所以
，
所以 ，
，
所以 关于 的回归方程为 .
因为天中滑雪人数超过3500人时，当天滑雪场可实现盈利，即 ，解得
,
所以根据回归方程预测，该该滑雪场开业的第 天开始盈利.
18. 如图，四边形 中， 的
面积为 .
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 ；
（2）求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在 中，利用面积公式、余弦定理运算求解；
（2）在 中，利用正弦定理运算求解，注意大边对大角的运用.
【小问1详解】
在 中，由 的面积 ，可得
，
由余弦定理
，即
.
【小问2详解】
在 中，由正弦定理 ，可得
，
∵ ，则 ，故 .
19. 设数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的前 项和 ，求 的值.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当 时，构造 ，与条件中的式子，两式相减，得
，转化为构造等比数列求通项公式；
（2）由（1）可知 ，利用裂项相消求和法求解.
【小问1详解】
因为 ，所以当 时， ，解得 ．
当 时， ，则 ，
整理得 ，即 ．
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ．所以 .
【小问2详解】
令 ，
数列 的前 项和 ，
，
则 ，则 ，
则 .
的值为 .
20. 如图，正方体 的棱长为4，点 、 分别是 、 的中点.
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学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明 ， ，
即可得证；
（2）利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
证明：如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，又 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
解：由（1）可知 可以为平面 的法向量，
又 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则
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学科网（北京）股份有限公司，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
21. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，一个焦点到该
渐近线的距离为1.
（1）求双曲线 的方程；
（2）若双曲线 右的顶点为 ，直线 与双曲线 相交于 两点
不是左右顶点），且 .求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】（1）
（2）证明过程见解析，定点坐标为
【解析】
【分析】（1）由渐近线方程求出 ，根据焦点到渐近线距离列出方程，求出 ，
从而求出 ，得到双曲线方程；
（2） 与 联立，求出两根之和，两根之积，由 列出
方程，求出 或 ，舍去不合要求的情况，求出直线过定点，定点坐标为
.
【小问1详解】
因为渐近线方程为 ，所以 ，
焦点坐标 到渐近线 的距离为 ，解得： ，
因为 ，解得： ，
所以双曲线 的方程为 ；
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司由题意得： ，
与 联立得： ，
设 ，则 ，
，
化简得： ，
解得： 或 ，
当 时， 恒过点 ，
当 时， 恒过点 ，此时 中有一点与 重合，不
合题意，舍去，
综上：直线 过定点，定点为 ，
【点睛】处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ），
（2）利用条件找到 与过定点 曲的线 的联系，得到有关 与 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立，
此时要将关于 与 的等式进行变形，直至找到 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的式子归为一组，变形为“ ”的形式，让括
号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，
可消去 变为常数.
22. 已知函数 .
（1）求函数 的图象在 处的切线方程；
（2）判断函数 的零点个数，并说明理由.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）有两个零点，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合导数的运算进行求解即可；
（2）令 ，转化为 与 图象交点的
个数，利用导数得到 单调性，结合两个函数的图象判断可得答案.
【小问1详解】
，
所以切线斜率为 ，
，所以切点坐标为 ，
函数 的图象在 处的切线方程为 ；
【小问2详解】
有两个零点，理由如下，
令 ，可得 ，
判断函数 的零点个数即判断 与 图象
交点的个数，
因为 为单调递增函数， ，当 无限接近于 时， 无限接近于 ，
且 ，
由 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ， ，
， ，
且当 无限接近于2时 无限接近于 ，
所以 与 的图象在 时有一个交点，在 时有
一个交点，
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学科网（北京）股份有限公司综上函数 有2个零点.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画
出函数的图象，利用数形结合的方法求解
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学科网（北京）股份有限公司
