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第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
一、选择题
1．（2019·全国课时练习）一根长 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平
衡位置的位移 与时间 的函数关系式是 ，其中 是重力加速度，当
小球摆动的周期是 时，线长 等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，∴ .
2．（2019·全国课时练习）如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方
向旋转一周，点P所转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则 的图象大致是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得： .结合图象知应该选C.
3．（2019·全国课时练习）某人的血压满足函数关系式 ，其中， 为血压， 为时间（单位：分钟），则此人每分钟心跳的次数是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴ .
4．（2019·全国课时练习）夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从 时到 时的温度
变化曲线，若该曲线近似地满足函数 ，则该市这一天中午 时天气的温度
大约是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意以及函数的图象可知， ， ，所以 ， .
∵ ，∴ . ∵ ，∴ ,∴ .
∵图象经过点 ，∴ ，∴ ，
∴ 可以取 ，∴ .
当 时， ，故选C.
5．（2019·全国课时练习）一半径为 的水轮，水轮的圆心到水面的距离为 ，已知水轮每分钟旋转 圈，水轮上的点 到水面距离 与时间 (秒)满足函数关系式 ，则( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】A
【解析】 ， ， .
6．（2019·长沙市南雅中学高一月考）车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为
辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F（t）=50+4sin （其中 0≤t≤20）给出，F
（t）的单位是辆／分，t的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ）
A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20]
【答案】C
【解析】函数 可看成由 和 合而成，那么
由 （ ）得 ，所以函数
在 （ ）上单调递增，当 时，
，此时 ；故选C．
二、填空题
7．（2019·全国课时练习）电流 随时间 变化的关系式是 ，则当时，电流 为
【答案】
【解析】将 代入 得 ．
8．（2019·全国高一课时练习）振动量y＝ sin(ωx＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和 ，则它
的相位是________．
【答案】3πx－π
【解析】∵f＝ ，∴T＝ ，∴ω＝ ＝3π，
又φ＝－π，∴y＝ sin(3πx－π)，∴振动量y的相位是3πx－π.
9．（2019·全国高一课时练习）如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴
表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.
【答案】y＝2sin(5 π)
πx+
2 4
2π 5π
【解析】A＝2，T＝2(0.5－0.1)＝0.8，∴ω＝ ＝ ，
0.8 2
∴y＝2sin(5π )，将(0.1,2)代入得：5π×0.1＋φ＝π，∴φ＝π，∴y＝2sin(5π π).
x+φ x+
2 2 2 4 2 4
10．（2019·全国课时练习）某时钟的秒针端点 到中心的距离为 ，秒针匀速绕 点旋转到
点，当时间 时，点 与钟面上标 的点重合，将 、 两点间的距离 表示成的函数，则 ________ ，其中 ．
【答案】
【解析】由题意设 ，其中 ， . ∴ .
三、解答题
11．（2019·全国课时练习）如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为 ，圆上最低点
与地面距离为 ， 秒转动一圈，图中 与地面垂直，以 为始边，逆时针转动 角到
，设 点与地面距离为 .
(1)求 与 间关系的函数解析式；
(2)设从 开始转动，经过 秒到达 ，求 与 间关系的函数解析式．
【答案】(1) (2)
【解析】(1)过点 作地面的平行线 ，过点 作 的垂线 交 于 点．
当 时， ， ；
当 ， 时，上述解析式也适合．综上所述， .(2)点 在 上逆时针运动的角速度是 ，∴ 秒转过的弧度数为 ，
∴ ．
12．（2019·全国高一课时练习）某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空
地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB的圆心角∠AOB= ,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH,其
中M,H分别在OA,OB上,N在 上.设∠MON=θ,▱OMNH的面积为S.
(1)将S表示为关于θ的函数;
(2)求S的最大值及相应的θ值.
【答案】（1）S=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈ ；（2）θ= 时,S取得最大值 R2.
【解析】分析（1）分别过N，H作ND⊥OA于D，HE⊥OA于E，则HEDN为矩形，求出边长，
即可求S关于θ的函数关系式；（2）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数的表达式为一
个角的一个三角函数的形式，通过θ的范围求出S的最大值及相应的θ角.
【详解】(1)如图,过N作NP⊥OA于点P,过H作HE⊥OA于点E,∵∠AOB= ,
∴OE=EH=NP=Rsin θ,OP=Rcos θ,∴HN=EP=OP-OE=R(cos θ-sin θ),
∴S=HN·NP=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈ .
(2)S=R2(cos θsin θ-sin2θ)=R2 = R2(sin 2θ+cos 2θ-1)
= R2 ,∵θ∈ ,∴2θ+ ,
∴当2θ+ ,即θ= 时,S取得最大值,且最大值为 R2.
