文档内容
机密"启用前!全国卷理科数学"
华大新高考联盟#$#%届高三%月教学质量测评
理科数学参考答案和评分标准
一#选择题
题号 ! # & % ’ ( ) " * !$ !! !#
答案 + , + - + - . + - - + .
!!#答案$+
#命题立意$本题考查函数的定义域%一元二次不等式的解法%集合的运算&考查数学运算%逻辑推理的核心
素养!
’ !(( ’ #(
#解析$因为"/’##!�!("#$(/ #$### &$/’#’#0#$$(/ ##$ &则"%$/
& ’
’ # !((
# &## &故选+!
’ &
#!#答案$,
#命题立意$本题考查复数的概念%充要条件的判定&考查数学运算%逻辑推理的核心素养!
#
#解析$因为%/槡!#&0!"#1!&1!"#/槡#&化简得’�#&/$&解得&/$或&/ &故)% /槡#*是
’
#
)&/ *的必要不充分条件&故选,!
’
&!#答案$+
#命题立意$本题考查互斥事件的概率%二项分布&考查数学运算%逻辑推理%数学建模的核心素养!
!!"’ !!"%!#" !!"& !#"#
#解析$依题意&’!($$"/’!(/’"1’!(/&"1’!(/!"/ 1-! 1-#
& ’ & & ’ & &
!)
/ &故选+!
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%!#答案$-
#命题立意$本题考查指对数的运算&考查数学运算%逻辑推理%数学建模的核心素养!
) )
#解析$依题意&%!’/’123)&%!*/’123)&两式相减可得&$!%/23) 023) /23 #&故 #/!$$!%/
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槡 ’ !$$&而#!’’’*"&!$$&&’/#%&&故槡 ’ !$$(!#!’&&"&故选-!
’!#答案$+
#命题立意$本题考查分层抽样的平均数与方差&考查数学运算%逻辑推理%数学建模的核心素养!
’$4’1%$4&1!$4&
#解析$所有人的平均工资为 /%千元&故该公司所有员工工资的方差为
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! ’’$4+%1!’0%"#,1%$4+"1!&0%"#,1!$4+(1!&0%"#,(/(5"& D 1 F C 1
!$$
故选+! A 1 I B 1 H G
(!#答案$-
#命题立意$本题考查空间线面的位置关系%基本事实以及面面平行的性 E
质定理&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
#解析$作出图形如图所示&不妨设"$/(&分别延长"*%"$ 交于点+& D C
! !
此时$+/&&连接,+交$- 于.&连接*.&设平面"*,与平面
! ! ! A B
理科数学参考答案和评分标准!第!!!!!页!共"页"
{#{QQABYQwUogigApBAABhCUQVQCACQkBGACAoOhAAMIAAAiQFABAA=}#}
书书书/--/ 的交线为0&则,(0&因为平面"$$" )平面/--/&平面"*,%平面"$$" /"*&
! ! ! ! ! ! ! !
平面"*,%平面/--//0&所以0)"*&设0%///1&则,1)"*&此时*,/1+*"$*&故1//
! ! ! ! !
%
&连接"1&则五边形"1,.*为所求截面图形&故选-!
&
)!#答案$.
#命题立意$本题考查三角函数的诱导公式%二倍角公式%同角三角函数的基本关系&考查数学运算%逻辑推
理%直观想象的核心素养!
<=8!$9
!1
!1678!*$9 #:;<)$9 !1678!$9 #<=8#$9 :;##&故>28!&#"28!&#"###>##&令7!#"/#>#&#("&由7:!#"/!#1!">#可
得#/0!是7!#"的极小值点&7!#"在!0?&0!"上单调递减&在!0!&1?"上单调递增&且当#&$
>##
时&7!#"&$&当#$$时&7!#"$$!由7!28&#"#7!##"!#$$"&得28!&#"###&则&# 对任意的#(
#
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# ## #
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5!#"单调递减&当#( &1? 时&5:!#"$$&5!#"单调递增&故+5!#", /5 /#>&则&##>&
# @=8 #
故&(!$&#>,&故选+!
!#!#答案$.
#命题立意$本题考查抛物线的方程%直线与抛物线综合性问题&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核
心素养!
#解析$依题意&抛物线-.;#/##&直线"2.;0#/8!#0#"&与抛物线方程联立可得&8;#0#;1%0%8
%0%8 #0#8 #1#8 ; 0; ; 0;
/$&则; /#/ &则; / &用08替换可得; /0 &则8 / 2 3/ 2 3/
2 8 2 8 3 8 23 # 0# ;# ;#
2 3 20 3
# #
# ! !#!!08"# #0#8" !#!!18"# #1#8" #0#8
/ 0 &则2 & &故 3 &0 &直 线 23.;0 /
; 1; # 8# 8 8# 8 8
2 3
! #0#8#
0
!+ #!!08"#, ! ! # 8# ’8#0%
0 #0 &即;/0 #1 0!&则点,到直线23的距离0
## ;#
&/!&则小明和小红正确&即双曲线-. 0 /!&故小强的说法错误!
!( *
!%!#答案$’槡(!
#命题立意$本题考查正弦定理%余弦定理&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
&(1!$$0!*( ! #!
#解析$在*"2-中&由余弦定理&得:;<2"2-/ /0 &则2"2-/ &即2"2$/
#4(4!$ # &
! ! ! !$ "$
&在*"$2中&"2/!$&2"$2/ &2"2$/ &由正弦定理得 / &解得"$/’槡(!
& % & ! !
<=8 <=8
% &
理科数学参考答案和评分标准!第!!!!&页!共"页"
{#{QQABYQwUogigApBAABhCUQVQCACQkBGACAoOhAAMIAAAiQFABAA=}#}!’!#答案$+)#&1?"!
#命题立意$本题考查平面向量的数量积&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
"$
#解析$依题意&!?#/&(!&故?/(&在*"$-中由正弦定理得 /!#&则"$/(槡&-取线段"-的
<=8($9
443 443 443 443 443 443 443 443 443 443 443
中点3&2"/2$12$/2-/2$/!2"12-"/#2$/23-取线段$3的中点’&则2$/23/
443 !443 443 ! &"# ##’ 443 443 ##’ "!
2’#0 $3#&2’#/2’##!2414’"#/ (1 / &故2$/23# 0 /&(&则#-)#!
% # % % %
!(!#答案$&(!!
#命题立意$本题考查空间几何体的表面积与体积&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
#解析$设*&,分别为$-&"/的中点&连接"*&/*&$,&-,&由已知&"$//$&"-//-&$-/$-&故
*"$-5*/$-&因为*是$-的中点&所以"*//*&因为",//,&故*,6"/&即*,是线段"/
的垂直平分线&同理可得&*,是线段$-的垂直平分线&故球心在*,上&设球的半径为?&则
’4$14--$-/&& ’#?-&&
即 故?-&&此时4为线段"/的中点&故所求外接球体积的最小值为&(!!
4"14/-"//(& #?-(&
三#解答题
!)!#命题立意$本题考查回归直线方程的概念与运算&考查数学运算%逻辑推理%数学建模的核心素养!
!1#1&1%1’1(1)1"1*1!$
#解析$!!"依题意/ /’!’&…………………………………… !!分"
!$
0!1!1#1&1&1%1%1%
; 8/!$1 /!#&…………………………………………………………… !#分"
!$
!$ !$
9!#D#7"!;D; 8" 9#;D!$#7
;
8
C C CC
故@ AB CB! B CB! B )!$D!$E’!’E!# B #$ &……………… !(分"
!$ !$ &"’D!$E’!’# &&
9 !#D#7"# 9##D!$#7#
C C
CB! CB!
@ &/!#0 #$ 4 !! / #( &故所求回归直线方程为@ ;/ #$ #1 #( !……………………………………… !)分"
&& # & && &
!#"由!!"可知&当#/##时&@ ;/ #$ 4##1 #( /##:@& …………………………………………… !!$分"
&& &
故所求残差为#!!&0##/0$!):@! ……………………………………………………………… !!#分"
!"!#命题立意$本题考查数列的递推关系%裂项相消法&考查数学运算%逻辑推理的核心素养!
#解析$!!"当F/!时&#G/#&/&1#&解得&/#&……………………………………………… !!分"
! ! ! !
当F-&时&#G/F!&1#"&#G /!F0!"!& 1#"&
F F F0! F0!
两式相减可得&!F0#"&0!F0!"& /0#&
F F0!
& & !! ! "& & !! ! " & & ! !"
则 F 0 F0!/0# 0 &F0!0 F0#/0# 0 &0&&0 #/0#!0 &
F0! F0# F0# F0! F0# F0& F0& F0# # ! #
& & %0#F
累加可得& F 0 #/ &则&/F1!& ………………………………………………………… !’分"
F0! ! F0! F
而F/!&#时也符合题意&故&/F1!!……………………………………………………………… !(分"
F
! ! ! !
!#"依题意& / / 0 &………………………………………………… !)分"
&& !F1!"!F1#" F1! F1#
FF1!
! ! ! ! ! ! ! ! ! F
故 1 101 / 0 1 0 101 0 / -…………………… !"分"
&& && && # & & % F1! F1# #!F1#"
! # # & FF1!
! ! ! F F
解法一.故 1 101 -#& : -#!F1#":## -
&& && && F1! #!F1#" #!F1#"#
! # # & FF1!
+ F ,
则## & ……………………………………………………………………………… !!$分"
#!F1#"#
@7A
理科数学参考答案和评分标准!第!!!!%页!共"页"
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而 / # !当且仅当F/#时取等号"&
#!F1#"# ! % " !(
#F1 1%
F
! !,
故实数#的取值范围为 0?& !………………………………………………………………… !!#分"
!(
! ! ! ! ! ! ! !! !"#
解法二.故 1 101 / 0 -#!F1#":## 0 /0 0 1
&& && && # F1# #!F1#" !F1#"# F1# %
! # # & FF1!
!
&……………………………………………………………………………………………………… !!$分"
!(
+ ! ! , !
当F1#/%即F/#时& 0 / &
#!F1#" !F1#"# !(
@7A
! ! !,
则## &故实数#的取值范围为 0?& !……………………………………………………… !!#分"
!( !(
!*!#命题立意$本题考查空间线面的位置关系%向量法求空间角&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心
素养!
#解析$不妨设"//!!
!!"证明.因为"/6平面"$-/&"/;平面"$-/&故"/6"/-……………………………… !!分"
! !
在*"/$中&"$/#&"//!&2/"$/($9&
由余弦定理&$/#/"$#1"/#0#"$/"//:;<2/"$/##1!#0#4#4!4:;<($9/&&得$//槡&-
……………………………………………………………………………………………………… !#分"
故"/#1$/#/"$#&则"/6/$!…………………………………………………………………… !&分"
因为"/%/$//&所以"/6平面"$/&
! !
而"/;平面"//"&所以平面"$/6平面"//"!………………………………………… !%分"
! ! ! ! !
443 443 443
!#"由!!"知&/"&/$&/" 两两垂直&以/为坐标原点&分别以向量/"&/$&/"的方向为#&;&%轴正
! !
方向&建立如图所示的空间直角坐标系/H#;%!
443 443 443
则/!$&$&$"&"!!&$&$"&$!$&槡&&$"&"!$&$&槡&"&-!0!&槡&&$"&"-/!0#&槡&&$"&"-/"-&
! ! !
B-!0#&槡&&槡&"& …………………………………………………………………………………… !’分"
!
443 443
所以"$/!$&槡&&0槡&"&/-/!0#&槡&&槡&"&……………………………………………………… !(分"
! !
443 443 443 443
设/*/#/-!$&#&!"&则/*/#/-/!0##&槡&#&槡&#"&即*!0##&槡&#&槡&#"!
! !
443
所以"*/!0##&槡&#&槡�槡&"-…………………………………………………………………… !)分"
!
443
/!/"$/$&
设!/!#&;&%"为平面"*$的一个法向量&则. !
! ! ! ! 443
0!/"*/$&
!
/槡&;0槡&%/$& [
! !
即. D
1 C
00###1槡&#;1!槡�槡&"%/$& 1
! ! !
A
令%/##&则;/##&#/#槡�槡&&取!/!#槡�槡&&##&##"& 1 B
! ! ! 1
………………………………………………………… !*分"
E
易知/$6平面$--$&故"/!$&!&$"为平面$--$ 的一个
! ! ! !
法向量&…………………………………………………… !!$分"
设平面" ! *$与平面$-- ! $ ! 的夹角为$& D C
1!/"1 ## 槡’ A
则:;<$/ 1!1/1"1 / 槡#$##0!##1& / ’ & ………… !!!分" B y
x
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解得#/ &故 / !……………………………………………………………………………… !!#分"
% *- &
!
#$!#命题立意$本题考查导数的几何意义%利用导数研究函数的性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的
核心素养!
! !
#解析$!!"依题意&7:!#"/ 1 &……………………………………………………… !!分"
!1# #!!1#"&
#
&
故7:!$"/ & ………………………………………………………………………………………… !#分"
#
& &
而7!$"/0!&故所求切线方程为;1!/ #&即;/ #0!! …………………………………… !%分"
# #
! !
!#"令28!!1#"0 /0#:;<#&故28!!1#"1#:;<#0 /$&
槡!1# 槡!1#
!
令5!#"/28!!1#"1#:;<#0 &
槡!1#
5:!#"/ ! 0#<=8#1 ! !!1#"0& #&令I!#"/5:!#"/ ! 0#<=8#1 ! !!1#"0& #&
!1# # !1# #
I:!#"/0 ! 0#:;<#0 & !!1#"0’ #! ………………………………………………………… !’分"
!!1#"# %
"当#( ! 0!& !, 时&:;<#-$&!!1#"#$$&!!1#"0’ #$$&
#
! !, ! !,
BI:!#"&$&BI!#"在 0!& 上为减函数&即5:!#"在 0!& 上为减函数&
# #
又5:!$"/!1 ! $$&5:!!"/ ! 0#<=8!1 ! /#0& #& ! 0#/ ! 1 ! /$&………………………… !(分"
# # # # # #
B5:!#"在!$&!"上有唯一的零点&设为#&即5:!#"/$!$&#&!"!
$ $ $
! !"
B5!#"在!0!&#"上为增函数&在 #& 上为减函数!
$ $ #
! !" ! !" ! !" ! ! !" !
又5!$"/#0!$$&5 0 /28!0 1#:;< 0 0 /28!0 1槡#0 &$&
% % % %
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槡!0 槡!0
% %
!!" ! !" !
5 /28!1 0 $$&…………………………………………………………………… !)分"
# #
!
槡!1
#
! !,
B5!#"在!0!&#"上有且只有一个零点&在 #& 上无零点-…………………………………… !"分"
$ $ #
#当#( !! & ’!, 时&5:!#"& ! 0!1 ! !!1#"0& #&$&5!#"单调递减&
# ( !1# #
!!" !’!" ! ’!" !
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#
又5 $$&5 /28!1 0槡&0 !1 &28%0槡&&$&
# ( ( (
!! ’!,
B5!#"在 & 内恰有一零点-…………………………………………………………………… !*分"
# (
$当#( !’! &! " 时&I:!#"/0 ! 0#:;<#0 & !!1#"0’ #为增函数&
( !!1#"# %
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(
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B5:!#"单调递增&又5:!!"$$&5: &$&
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{#{QQABYQwUogigApBAABhCUQVQCACQkBGACAoOhAAMIAAAiQFABAA=}#}!’! " !’! "
所以存在唯一#( &! &5:!#"/$&当#( &# 时&5:!#"&$&5!#"递减-
$ ( $ ( $
’!’!" (
当#(!#&!"时&5:!#"$$&5!#"递增&5!#"#@7A5 &5!!"&$&
$ (
!’! "
B5!#"在 &! 内无零点!………………………………………………………………………… !!$分"
(
综上所述&曲线;/7!#"与曲线;/0#:;<#的交点个数为#!…………………………………… !!#分"
#!!#命题立意$本题考查椭圆的方程%直线与椭圆的综合性问题&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心
素养!
##
#解析$依题意&A/!&故椭圆-. 1;#/!& ………………………………………………………… !!分"
&#
!! !" 443 443 ! !" ! !"
!!"易知点+ & 为*2,, 的重心&则42/&4+/ !& &故2!& &
! & ( ! # ! # #
! ! % &##
代入椭圆方程得 1 /!:&#/ &B椭圆-的方程为 1;#/!!…………………………… !%分"
&# % & %
!#"解法一.易知点+&+ 分别为*2,,&*3,, 的重心&设G /G&G /G&设点2!#&
! # ! # ! # *,,2 ! *,,3 # !
!# !#
! !
;"&3!#&;"&则根据重心性质及面积公式得G / G / !G1G"& ……………… !’分"
! # # *23+ # & *23, ! & ! #
! ! ! #
G /G1G0 G0 !G1G"/ G1 G&……………………………………………… !(分"
*3, ! + ! ! # & ! & ! # & ! & #
% !! # " ’
而%G #&G #’G &B !G1G"#& G1 G # !G1G"&……………… !)分"
*23+ # *3, ! + ! *23+ # & ! # & ! & # & ! #
B. /G ! ##G # & : ! # G !##&B ! # ; ! ##&B ; !( + 0#&0 !, & ………………………………… !"分"
0G # ##G ! & # G # # 0; # ; # #
#
解法二.易知点+ 为*3,, 的重心&3+/ 34&
# ! # # &
# # !
BG / G / /!G 1G "&G /G 1G 1G &G / G &
*23+ # & *234 & *24, # *34, # *3, ! + ! *34, ! *34+ ! *+ ! 4, ! *34+ ! & *234
……………………………………………………………………………………………………… !’分"
!! ! "
此时&设点2!#&;"&3!#&;"&,!0>&$"&,!>&$"&则根据重心的性质可得+ #&; &
! ! # # ! # ! & ! & !
! ! ! !
CG / / 4, / ;0; / >!;0;"&G / / 4, / ; /0 >;&G /
*234 # # ! # # ! # *34, ! # ! # # # *+ ! 4, !
! ! !
/ 4, / ; / >;&
# ! & ! ( !
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BG / G / >!;0;"&G /0 >;1 >!;0;"1 >;/ !0 #&G /
*34+ ! & *234 ( ! # *3, ! + ! # # ( ! # ( ! & & *23+ #
# !
G / >!;0;"-……………………………………………………………………………… !(分"
& *234 & ! #
G
% *3,+ ’
而%G #&G #’G &B # !!# &……………………………………………… !)分"
*23+ # *3, ! + ! *23+ # & G *23+ &
#
;
!0#
;0#; +% ’,;0#; ; ! ; + !,
B ! #( & &! #/ # /!0 : !( 0#&0 -………………………… !"分"
;0; & & ;0; ; ; ; #
! # ! # !0! !0! #
; ;
# #
/#/=;1>&
设直线0.#/=;1>&则联立椭圆方程得.##
1;#/!&
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{#{QQABYQwUogigApBAABhCUQVQCACQkBGACAoOhAAMIAAAiQFABAA=}#}消元化简得&!=#1&#";#1#=>;0!/$&
0#=> 0!
B;1;/ &;;/ & …………………………………………………………………… !*分"
! # =#1&# ! # =#1&#
; ; ;#1;# !;1;"#0#;; %=#># + ’ ,
B !1 #/ ! #/ ! # ! #/0 0#( 0 &0# &
; ; ;; ;; =#1&# #
# ! ! # ! #
%=#># !
B$# # :!"�*"=##&#对任意的=恒成立&…………………………………………… !!!分"
=#1&# #
即得"�*#$:!&&# &槡# &故实数&的取值范围为 ! !& &槡# , !………………………………… !!#分"
% %
##!#命题立意$本题考查极坐标方程%参数方程之间的转化%直线与圆的位置关系&考查数学运算%逻辑推理%
直观想象的核心素养!
’#0!/:;<#$&
#解析$!!"依题意&曲线-. 则!#0!"#1;#/!&…………………………………… !!分"
;/<=8#$&
即##1;#0##/$&则
%
#0#%:;<&/$&故曲线-的极坐标方程为 %/#:;<&&……………………… !&分"
而直线0. %:;<&0%<=8&1槡#&/$&则直线0的一般方程为#0;1槡#&/$!………………………… !’分"
! !
!#"设圆心-!!&$"&因为点4在圆上&且2"4$/ &所以2"-$/ &
% #
槡# !1槡#& 槡#
则点-!!&$"到直线0的距离为 &所以
