四川省广元市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题_2024-2025高一（7-7月题库）_2025年7月_250720四川省广元市2025年春季普通高中一年级期末教学质量监测

⼴元市 年春季普通⾼中⼀年级期末教学质量监测 2025 数学试题 注意事项： 1.本试卷分选择题和⾮选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，务必将⾃⼰的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上. 3.答选择题时，必须使⽤2B铅笔将答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动，⽤橡⽪擦⼲ 净后，再选涂其他答案标号. 4.答⾮选择题时，必须使⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 5.所有题⽬必须在答题卡上作答，在试题卷上答题⽆效. 6.考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） ⼀、单选题：本题共8⼩题、每⼩题5分，共40分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个 选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则 在复平⾯内对应的点位于（ ） A 第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 收集到⼀组数据：10，20，30，70，80，90，100，110，则该组数据的第75百分位数是（ ） A.85 B.90 C.95 D.100 4. 有⼀组样本数据 ， ，…， ，其平均数和⽅差分别为 ， .由这组数据得到⼀组新样本数据 ， ，…， .其中 ，其平均数和⽅差分别为 ， ，则（ ） A. B. C D. 5. 已知 ， ，则 在 上的投影向量的模为（ ） A.2 B. C. D. 第1⻚/共5⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司6. 已知直⻆梯形的上底⻓为1，下底⻓为2，⾼为 ，则直⻆梯形绕下底所在的直线旋转⼀周形成的⼏何 体的表⾯积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 设 和 是以原点 为圆⼼的单位圆上的两个点， ，且 ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. ⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分，在每⼩题给出的选项中，有多项符合题 ⽬要求.全部选对得6分.选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线 ， 和平⾯ ， ，则下列命题中真命题是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则 10. 下列式⼦正确的是（ ） A. B. C. 时， D. 11. 正⽅体 的棱⻓为2， ， ， 第2⻚/共5⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司.下列结论正确的是（ ） A. 的最⼩值为 B. 若 ，则 平⾯ C. 若 ， ，则四⾯体 的体积为 D. 点 到直线 的距离的最⼩值为 第Ⅱ卷（⾮选择题，共92分） 三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分. 12. 已知某地区有⼩学⽣12000⼈，初中⽣11000⼈，⾼中⽣9000⼈，现在要了解该地区学⽣的近视情况， 准备抽取320⼈进⾏调查，则按⽐例分配的分层抽样应该抽取⾼中⽣______⼈. 13. 在 中，⻆ ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 ______. 14. 在四棱锥 中，底⾯ 为等腰梯形， 底⾯ ，若 ， ，则这个四棱锥的外接球表⾯积为______. 四、解答题：本题共5⼩题，共77分、解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正⽅体 中， （1）求证： 平⾯ ； （2）求直线 和平⾯ 所成的⻆. 16. 某校⾼⼀年级共 名学⽣参加某次数学考试后，学校随机抽取了若⼲份试卷对其得分（满分 分） 进⾏统计，按照 ， ， ， ， 分成 组，制成如图所示的频率分布 直⽅图． 第3⻚/共5⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司（1）求 的值； （2）试估计本次数学考试分数 中位数（保留⼀位⼩数）； （3）试估计本次数学考试分数不低于 的⼈数． 17. 如图，在 中， ， ， ，点 为边 上靠近点 的三 等分点. （1）求证： ； （2）求 的余弦值. 18. 如图，在四棱锥 中， 平⾯ ， ，且 ， 是 的中点. （1）证明： ； （2）若 ，直线 与直线 所成⻆的余弦值为 . （ⅰ）求四⾯体 的体积； （ⅱ）求⼆⾯⻆ 正弦值. 第4⻚/共5⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司19. 已知函数 ． 请在下⾯的三个条件中任选两个解答 问题．①函数 的图象过点 ；②函数 的图象关于点 对称；③函数 相邻两 个对称轴之间距离为 ． （1）求函数 的解析式； （2）若 是函数 的零点，求 的值组成的集合； （3）当 时，是否存在 满不等式 ？若存在，求出 的范围，若不存在，请说明理由. 第5⻚/共5⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司⼴元市 年春季普通⾼中⼀年级期末教学质量监测 2025 数学试题 注意事项： 1.本试卷分选择题和⾮选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，务必将⾃⼰的姓名、座位号、班级和考籍号填写在答题卡规定的位置上. 3.答选择题时，必须使⽤2B铅笔将答题卡上对应题⽬的答案标号涂⿊.如需改动，⽤橡⽪擦⼲ 净后，再选涂其他答案标号. 4.答⾮选择题时，必须使⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 5.所有题⽬必须在答题卡上作答，在试题卷上答题⽆效. 6.考试结束后，只将答题卡交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） ⼀、单选题：本题共8⼩题、每⼩题5分，共40分，在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个 选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据⼆倍⻆正弦公式计算即可. 【详解】 , 故选：A. 2. 已知复数 ，则 在复平⾯内对应的点位于（ ） A. 第⼀象限 B. 第⼆象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由共轭复数的概念、复数的⼏何意义即可得解. 【详解】已知复数 ，则 在复平⾯内对应的点 位于第四象限. 故选：D 第1⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司3. 收集到⼀组数据：10，20，30，70，80，90，100，110，则该组数据的第75百分位数是（ ） A.85 B.90 C.95 D.100 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】将这8个数据从⼩到⼤排列为：10，20，30，70，80，90，100，110， ⽽ ，从⽽所求为从⼩到⼤排列后的第六个数和第七个数的平均数，即为 . 故选：C. 4. 有⼀组样本数据 ， ，…， ，其平均数和⽅差分别为 ， .由这组数据得到⼀组新样本数据 ， ，…， .其中 ，其平均数和⽅差分别为 ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合平均数和⽅差的公式，即可求解. 【详解】因 ，可得 ， ， 故B正确,A,C,D均错误. 故选：B. 5. 已知 ， ，则 在 上的投影向量的模为（ ） A.2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据 在 ⽅向上的投影向量公式求出投影向量，从⽽求出向量的模即可求解． 【详解】 ， ，，所以 ， ， 则 在 上的投影向量为 ， 第2⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司其模为 ， 故选：B． 6. 已知直⻆梯形的上底⻓为1，下底⻓为2，⾼为 ，则直⻆梯形绕下底所在的直线旋转⼀周形成的⼏何 体的表⾯积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，将所求转换为圆锥、圆柱的表⾯积计算即可. 【详解】如图所示， 则直⻆梯形绕下底所在的直线旋转⼀周形成的⼏何体的表⾯积为圆锥的侧⾯积，加上圆柱的侧⾯积，再加 上圆柱的⼀个底⾯的⾯积， ⽽圆锥的⺟线⻓为 ， 故所求为 . 故选：C. 7. 已知 ， ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 第3⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司【分析】由⻆的变换可知 ，利⽤同⻆三⻆基本关系及两⻆差的余弦公式求解即 可. 【详解】因为 ，所以 ， 因为 ，则 ，所以 ， 因为 ，则 ， ⼜ ，所以 . 所以 . 故选：D. 8. 设 和 是以原点 为圆⼼的单位圆上的两个点， ，且 ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意表示出 ，根据向量数量积的运算求得 ，进⽽根据 的值，求得 的值. 【详解】 ， ， 第4⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司是钝⻆， ， ， ， ， 和 是以原点 为圆⼼的单位圆上的两个点， ， ， ， ， ， 故选：B ⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分，在每⼩题给出的选项中，有多项符合题 ⽬要求.全部选对得6分.选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线 ， 和平⾯ ， ，则下列命题中真命题是（ ） A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ， ，则 【答案】BD 【解析】 第5⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司【分析】由直线与平⾯的位置关系可得 与平⾯ ， 的位置关系还有其他情况满⾜题意，所以排除A、 C选项，B、D选项可以⽤直线的⽅向向量和平⾯的法向量的⻆度来说明直线与平⾯的位置关系. 【详解】若 ， ， 与 的位置关系可以是平⾏，相交或在⾯内，所以A选项错误； 若 ，则 的⽅向向量是 的法向量，因为 ， 的⽅向向量与 相同，故 ，所以B选项 正确； 若 ， ， 与 的位置关系可以是平⾏或在⾯内，所以C选项错误； 若 ，则 的⽅向向量与 的法向量平⾏，因为 ， 的法向量与 的法向量垂直， 所以 与 的法向量垂直，故 或 ，⼜因为 ，则 ，所以D选项正确. 故选：BD. 10. 下列式⼦正确的是（ ） A. B. C. 时， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由同⻆三⻆函数关系和⼆倍⻆公式求出 ，从⽽得到A正确；B选 项，利⽤余弦和⻆公式进⾏计算；C选项， 时， ，C正确；D选项， 利⽤正切和⻆公式得到 ，化简得到D正确. 【详解】A选项， ， 由 ，所以 ，A正确； B选项， ，B错误； 第6⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司C选项， 时， ，故 ，C正确； D选项， ， 即 ， 所以 ，D正确. 故选：ACD 11. 正⽅体 的棱⻓为2， ， ， .下列结论正确的是（ ） A. 的最⼩值为 B. 若 ，则 平⾯ C. 若 ， ，则四⾯体 的体积为 D. 点 到直线 的距离的最⼩值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】如图以E为原点建⽴空间直⻆坐标系.对于A，做出 关于 平⾯对称点 ，当 三点共 线时取最⼩值；对于B，求出平⾯ 法向量 ，验证 是否为0即可判断选项正误；对于C，由 题可得 ，则四⾯体 的体积为 ；对于 D，由题可得 到直线 的距离为 ，代⼊题中数据可判断选项正误. 【详解】如图，以E为原点建⽴空间直⻆坐标系. 第7⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司对于A，因 ，则P为 中点，⼜ ， . 则 ，从⽽ 关于 平⾯对称点为 ， 则 ， 当且仅当 三点共线时取最⼩值，故A错误； 对于B，因 ，则 ， 则 . ⼜ ，则 ， 设平⾯ 法向量为 ，则 ， 取 ，则 ，则 ，因 ， 则 ，⼜易得 平⾯ ，则 平⾯ ，故B正确； 对于C，由B分析， ，则 ， 则四⾯体 的体积为 ，故C正确； 对于D，因 ，则 ，⼜ ， 则 ，⼜ ， ， 则 ， 在 ⽅向上的投影向量的模为： ，则 到直线 的距离为 ， 当且仅当 时取等号，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（⾮选择题，共92分） 三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分. 12. 已知某地区有⼩学⽣12000⼈，初中⽣11000⼈，⾼中⽣9000⼈，现在要了解该地区学⽣的近视情况， 第8⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司准备抽取320⼈进⾏调查，则按⽐例分配的分层抽样应该抽取⾼中⽣______⼈. 【答案】90 【解析】 【分析】先求出⾼中⽣所占的⽐例，根据分层抽样定义计算即得. 【详解】由题意，应该抽取⾼中⽣的⼈数为： . 故答案为：90. 13. 在 中，⻆ ， ， 对边分别为 ， ， ，若 ，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理⻆化边得 ，再由余弦定理边化⻆即可得解. 【详解】因为 ，所以 ， 即 ，所以 ， ⽽ ，从⽽ . 故答案为： . 14. 在四棱锥 中，底⾯ 为等腰梯形， 底⾯ ，若 ， ，则这个四棱锥的外接球表⾯积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求得四棱锥的外接球的半径，再去求外接球表⾯积即可解决. 【详解】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH， 等腰梯形 中， ， ， 则有 ，则四边形 为平⾏四边形， 则 ，⼜ ，则 为等边三⻆形， 则 ，则 为等边三⻆形 第9⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司则 ，故点E为等腰梯形 的外接圆圆⼼， 中， ，则 ⼜ 底⾯ ，则 底⾯ ， ⼜ ， ， 即 ， 故点H为四棱锥 的外接球球⼼， 球半径 则四棱锥 外接球表⾯积为 故答案为： . 四、解答题：本题共5⼩题，共77分、解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正⽅体 中， （1）求证： 平⾯ ； （2）求直线 和平⾯ 所成的⻆. 【答案】（1）证明过程⻅解析 （2） 第10⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司【解析】 【分析】（1）只需证明 ， ，再结合线⾯垂直的判定定理即可得证； （2）设 ，连接 ，根据 平⾯ ，可得 即为直线 和平⾯ 所成⻆的平⾯⻆，再解 即可. 【⼩问1详解】 如图所示，连接 ， 因为 ⾯ ， ⾯ ，所以 ， ⼜因为 ， ⾯ ， 所以 ⾯ ， ⽽ ⾯ ，从⽽ ， 同理可证 ⾯ ， ⽽ ⾯ ，从⽽ ， ⼜因为 ， ⾯ ， 所以 平⾯ ； ⼩问2详解】 设 ，连接 ， 由（1）得 平⾯ ， 则 即为直线 和平⾯ 所成⻆的平⾯⻆， ⼜ 平⾯ ，所以 ， 第11⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司在 中， ， 所以 ， ⼜ ，所以 ， 即直线 和平⾯ 所成的⻆为 ． 16. 某校⾼⼀年级共 名学⽣参加某次数学考试后，学校随机抽取了若⼲份试卷对其得分（满分 分） 进⾏统计，按照 ， ， ， ， 分成 组，制成如图所示的频率分布 直⽅图． （1）求 的值； （2）试估计本次数学考试分数的中位数（保留⼀位⼩数）； （3）试估计本次数学考试分数不低于 的⼈数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直⽅图频率和为 ，可得 的值； 第12⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司（2）根据中位数的定义及公式可得解； （3）根据频率分布直⽅图可得频率，进⽽可得⼈数. 【⼩问1详解】 由频率分布直⽅图可得 ， 所以 ； 【⼩问2详解】 因为 ， ， 所以本次数学考试分数的中位数在 这⼀组， 设本次数学考试分数的中位数为 ，则 ， 解得 ， 所以估计本次数学考试分数的中位数为 ； 【⼩问3详解】 由频率分布直⽅图可得数学分数不低于 的频率为 ， ⽤样本估计总体，可以估计数学分数不低于 的⼈数为 ， 所以估计本次数学考试分数不低于 的⼈数为 ． 17. 如图，在 中， ， ， ，点 为边 上靠近点 的三 等分点. （1）求证： ； （2）求 的余弦值. 【答案】（1）证明⻅解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算得 ， ，即可利⽤数量积的运算律 第13⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司求解， （2）根据向量的夹⻆公式即可求解. 【⼩问1详解】 因为 ，所以 ， 所以 ,所以 ， 因为点 为边 上靠近点 的三等分点. 所以 ，所以 ， 因为 所以 ， 所以 ， 所以 ，即 . 【⼩问2详解】 由题意可得 , , , 所以 . 18. 如图，在四棱锥 中， 平⾯ ， ，且 ， 是 的中点. 第14⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司（1）证明： ； （2）若 ，直线 与直线 所成⻆的余弦值为 . （ⅰ）求四⾯体 的体积； （ⅱ）求⼆⾯⻆ 的正弦值. 【答案】（1）证明过程⻅解析 （2）（i） ；（ii） 【解析】 【分析】（1）取 的中点 ，利⽤线⾯垂直的性质、异⾯直线垂直推理即得. （2）（i）说明三⻆形 是边⻓为2的等边三⻆形， 平⾯ ，再结合棱锥的体积公式即可求解； （ii）过 作 于 ，过 作 交 于 ，再借助图形求出⼆⾯⻆的余弦值，利⽤平 ⽅关系求得正弦值. 【⼩问1详解】 取 的中点 ，连接 ，由 平⾯ ， ，得 平⾯ ， ⽽ 平⾯ ，则 ，由 为 的中点，得 ， 则四边形 是平⾏四边形，因此 ， 所以 . 【⼩问2详解】 （i）由 为 的中点， ，则 ，⽽ ， 平⾯ ，于是 平⾯ ， 平⾯ ， 则 ，由 ，得直线 与直线 所成的⻆即为直线 与直线 所成的⻆，为 ， 第15⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司在 中， ，⽽ ， 解得 ，则 ，由 平⾯ ，得直线 与平⾯ 所成⻆ ， 显然 ，则 ， 所以直线 与平⾯ 所成⻆为 ， ⽽ ，从⽽ ，⼜ ， 所以三⻆形 是边⻓为2的等边三⻆形， ⼜ 平⾯ ， ，所以 平⾯ ， 故所求为 ； （ii）过 作 于 ，由（ⅰ）可得 ， 为等腰三⻆形， ， ，由三⻆形⾯积法得 ， 由勾股定理得 ，过 作 交 于 ，与 延⻓线交于点 ， 在直⻆梯形 中， ，则 ， ，显然 ∽ ，则 ， 于是 ， ， 为线段 的中点， 显然 是⼆⾯⻆ 的平⾯⻆，在正 中， ， 由 平⾯ ， 平⾯ ，则 ， 平⾯ ， 于是 平⾯ ，⽽ 平⾯ ，则 ， ， 所以⼆⾯⻆ 的正弦值为 . 第16⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司19. 已知函数 ． 请在下⾯的三个条件中任选两个解答 问题．①函数 的图象过点 ；②函数 的图象关于点 对称；③函数 相邻两 个对称轴之间距离为 ． （1）求函数 的解析式； （2）若 是函数 的零点，求 的值组成的集合； （3）当 时，是否存在 满不等式 ？若存在，求出 的范围，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）选择①②、①③、②③都有 ；（2） ；（3）存在， 的 范围 ，利⽤⻅解析. 【解析】 【分析】 （1）选择①②，将点 代⼊ ，结合 可求 ，由点 是 的对称中 ⼼可得 ，结合 ，可得 ，即可得 解析式；选择①③：将 点 代⼊ ，结合 可求 ，由 ，所即 ，可得 ，即可得 解析式；选择②③由 ，所即 ，可得 ，若函数 的图象关于点 对称， 则 ，结合 ，可得 ，即可得 解析式； （2）若 是函数 的零点，则 ，解得 或 ，可得 或 ，进 ⽽可得 可能的取值，即可求解； 第17⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司（3）由 得 ，当 时 ，函数 可转化为 ， ， ， 利⽤偶函数的性质原不 等式可化为 ，即可求解. 【详解】选择①②： 因为函数 的图象过点 ， 所以 ，解得 ，因为 ，所以 ， 因为函数 的图象关于点 对称，则 ， 可得 ，因 ，所以 ， ， 所以 ， 选择①③： 若函数 的图象过点 ， 所以 ，解得 ，因为 ，所以 ， 因为函数 相邻两个对称轴之间距离为 ， 所以 ，所以 ， ，解得： ， 所以 ， 选择②③： 因为函数 相邻两个对称轴之间距离为 ， 所以 ，所以 ， ，解得： ， 第18⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司若函数 的图象关于点 对称，则 ， 可得 ，因为 ，所以 ， ， 所以 （2）若 是函数 的零点，则 ， 可得 ， 所以 或 解得： 或 ， 若 是函数 的零点，则 ， ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， 所以 的值组成的集合为 ； （3）当 时， ， 令 ，则 ，令 ， 则 ， ， 第19⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司因为 ， 所以 ，即 ， 所以 ，即 ， ， 解得： . 所以实数 的范围是： . 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由余弦函数的性质求出 的解析式，再利⽤余弦函数的零点可 求 可能的取值，求 的范围的关键是构造偶函数，利⽤单调性脱掉 ，解关于 的不等式. 第20⻚/共20⻚ 学科⽹（北京）股份有限公司