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第 01 讲 三角函数的概念与诱导公式
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）在平面直角坐标系 中，如图所示，将一个半径为1的圆
盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头 （开始时与
圆盘上点 重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为 ，细绳的粗细忽略
不计，当 时，点 与点 之间的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】展开过程中：
,
,
故选：D.
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作．其中《方田》章给出
计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积 （弦×矢+矢×矢）．弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，
公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为 ，半径为
的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）（精确到 ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，弦 (m)，矢 (m)，则弧田面积= ( )，
所以弧田面积约是 .
故选：A
3．（2023·湖北省直辖县级单位·统考模拟预测）中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有
“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之
曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n使得正多边形的面积
更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n足够大时，可以得到π与n的关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设圆的半径为 ，将内接正 边形分成 个小三角形，
由内接正 边形的面积无限接近圆的面即可得： ，
解得： .
故选：A.
4．（2023·北京海淀·北大附中校考三模）如图，点 为角 的终边与单位圆 的交点，
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由单位圆可知， ，且 为第一象限角，
根据同角三角函数的基本关系可得 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
5．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
则 ， ，
因 ，则 ，
故 ，
，
故选：B
6．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
故选：C．
7．（2023·广西·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得： ，所以 .
故选：A
8．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半
轴重合，现将角 的终边绕原点O逆时针方向旋转 与单位圆交点的纵坐标为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得 ，
所以 ，
则 .
故选：A.
9．（多选题）（2023·吉林·统考二模）如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在
（1，0）处，质点B在第一象限，且 .质点A以 的角速度按顺时针方向运动，质点B同
时以 的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1 后，扇形AOB的面积为
B．经过2 后，劣弧 的长为
C．经过6 后，质点B的坐标为
D．经过 后，质点A，B在单位圆上第一次相即
【答案】BD
【解析】对于 ，由题意可知：经过1 后， ，
所以此时扇形AOB的面积为 ，故选项 错误；对于 ，经过2 后， ，
所以此时劣弧 的长为 ，故选项 正确；
对于 ，经过6 后，质点 转过的角度为 ，结合题意，此时质点 为角 的终边与单位
圆的交点，所以质点B的坐标为 ，故选项 错误；
对于 ，经过 后，质点 转过的角度为 ，质点 转过的角度为 ，因为
，所以经过 后，质点 ， 在单位圆上第一次相遇，故选项 正确，
故选： .
10．（多选题）（2023·云南红河·弥勒市一中校考模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．角 终边在第二象限或第四象限的充要条件是
B．圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角等于
C．经过 小时，时针转了
D．若角 和角 的终边关于 对称，则有
【答案】ABD
【解析】对于A，因为角 终边在第二象限或第四象限，此时终边上的点 的横坐标和纵坐标异号，故
；
因为 ，所以 或 ，
故角 终边上点坐标 对应为： 或 即 或 ，所以角 终边在第二
象限或第四象限，
综上，角 终边在第二象限或第四象限的充要条件是 ，故A正确
对于B，圆的一条弦长等于半径，故由此弦和两条半径构成的三角形是等边三角形，所以弦所对的圆心角
为 ，故B正确；
对于C，钟表上的时针旋转一周是 ，其中每小时旋转 ，所以经过4小时应旋转 ，故C错误；
对于D，角 和角 的终边关于直线 对称，则 ， ，故D正确
故选：ABD
11．（多选题）（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于
点 ，以x轴非负半轴为始边作锐角 ， ， ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ，P，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．扇形 的面积为
C．
D．当 时，四边形 的面积为
【答案】ACD
【解析】由题意圆的半径
选项A：由题意得
所以所以 ，故A正确；
选项B：因为 ，
所以扇形 的面积 ，
故B错误；
选项C，
故C正确；
选项D：
因为 ，
所以
故D正确故选：ACD.
12．（多选题）（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A：因为 所以
即 ，所以A正确;
对于B、C： 因为 ，且 ，
所以 ，即 ，所以 所以B错误，C正确;
对于D：联立 ，解得 所以 ，所以D正确.
故选：ACD.
13．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知 为锐角，若 ，则 ________．
【答案】
【解析】 ，所以 ，
因为 为锐角，所以 ， ，
故答案为：
14．（2023·陕西西安·统考三模）已知 ，则 _______．
【答案】
【解析】，
故答案为：
15．（2023·江西赣州·统考二模）已知 为锐角，满足 ，则 ________．
【答案】2
【解析】因为 ，
整理得 ，解得 或 ，
又因为 为锐角，则 ，所以 .
故答案为：2.
16．（2023·上海徐汇·南洋中学校考三模）已知一个半径为4的扇形圆心角为 ，面积为 ，
若 ，则 _____．
【答案】 /0.5
【解析】已知扇形半径为 ，圆心角为 ，
∵扇形面积 ，∴ ，
∴ ，解得： .
故答案为： .
1．（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆
术”．如图， 是以 为圆心， 为半径的圆弧， 是 的中点， 在 上， ．“会圆
术”给出 的弧长的近似值 的计算公式： ．当 ， 时，A． B． C． D．
【答案】
【解析】 ， ， ，
是 的中点， 在 上， ，
延长 可得 在 上， ，
．
故选： ．
2．（2020•上海）“ ”是“ ”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】
【解析】（1）若 ，则 ，
“ “是“ “的充分条件；
（2）若 ，则 ，得不出 ，
“ ”不是“ ”的必要条件，
“ ”是“ ”的充分非必要条件．
故选： ．
3．（2021•甲卷）若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由 ，得 ，即 ，
， ，
则 ，解得 ，
则 ，
．
故选： ．
4．（2020•新课标Ⅱ）若 为第四象限角，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】 为第四象限角，
则 ， ，
则 ，
是第三或第四象限角或为 轴负半轴上的角，
，
故选： ．
5．（2020•新课标Ⅰ）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由 ，得 ，
即 ，解得 （舍去），或 ．
， ， ，
则 ．
故选： ．
6．（2023•乙卷）若 ， ，则 ．【答案】 ．
【解析】 ， ，
令 ， ，设 终边上一点的坐标 ，
则 ，
则 ．
故答案为： ．
7．（2022•浙江）若 ， ，则 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】 ， ，
，
，
，
，
解得 ， ，
．
故答案为： ； ．
8．（2021•北京）若点 关于 轴的对称点为 ， ，则 的一个取值为
．
【答案】 （答案不唯一）．
【解析】因为 与 ， 关于 轴对称，
故其横坐标相反，纵坐标相等，
即 且 ，由诱导公式 ， ，
所以 ， ，解得 ， ，
则符合题意的 值可以为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
9．（2020•浙江）已知 ，则 ， ．
【答案】 ；
【解析】 ，
则 ．
．
故答案为： ； ．
