文档内容
第 01 讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·北京·校考模拟预测）在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛
半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世
界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了 之后，表面积增加
了（ ）
A．54 B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
转动了 后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形，
设直角边 ，则斜边为 ，则有 ，得到 ，由几何关系得：阴影部分的面积为
，
所以增加的面积为 .
故选：C.
2．（2023·内蒙古呼和浩特·统考一模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长6cm的
正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短
为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图 是棱长为6cm的正四面体，
由题意， ，设BC的中点为M，底面 的重心为G，O为外接球的球心，
则有 底面BCD， ， ，
，R是外接球半径，
在 中， ，
在 中， ， ，解得
，
即正方体的最短棱长为 .
故选：D.
3．（2023·云南曲靖·统考二模）如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，
一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点 处，则小虫爬行的最短路程为
（ ）
A． B．16 C．24 D．
【答案】A
【解析】如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为 ，则由题可得 ，则 ，
在 中， ，
则小虫爬行的最短路程为 .
故选：A.
4．（2023·江西·校联考模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），
它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.
光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，
高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据： ）（ ）
A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m
【答案】A
【解析】如图所示，设该正四棱台为 ，上下底面中心分别为 ，
分别取 的中点 ，连接 ，
在平面 内，作 交 于 ，
则 ， ， ，
显然四边形 是矩形，则 ， ，所以 ，
在直角 中， ，
即该墩台的斜高约为9.1m.
故选：A
5．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）乐高积木是由丹麦的克里斯琴森发明的一
种塑料积木，由它可以拼插出变化无穷的造型，组件多为组合体．某乐高拼插组件为底面边长为 、高
为 的正四棱柱，中间挖去以底面正方形中心为底面圆的圆心、直径为 、高为 的圆柱，则该组
件的体积为（ ）．（单位： ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为正四棱柱的底面边长为 、高为 ，所以正四棱柱的体积为 ，
又挖去的圆柱的直径为 、高为 ，所以圆柱的 ，
故所求几何体的体积为 .
故选：D.
6．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知圆台上下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则圆台的体积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由图可得，圆台的高为 ，
故圆台的体积为 .
故选：B
7．（2023·海南海口·校考模拟预测）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮 尖，清代
称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒 尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁
式建筑． 如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可 近似看作一个正六棱锥，若此正六
棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为 ，则底面正六边形的边长为 ，
因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为 ，
所以侧棱长为 ，
所以侧棱与底面外接圆半径的比为 .
故选：D
8．（2023·河北张家口·统考三模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东
周春秋时期，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.如图，是某高一年上级学
生制作的一个风筝模型的多面体 为 的中点，四边形 为矩形，且
，当 时，多面体 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中，因为 且 为 的中点，所以 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
在 中，因为 且 ，
所以 ，所以 ，且 ，
因为四边形 为矩形，可得 ，
又因为 ， 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
设 ，在直角 中，可得 ，
在直角 中，可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，解得 ，
所以多面体 的体积为：
.
故选：B.
9．（多选题）（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都
与一个球的直径 相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的侧面积与球面面积相等
D．圆柱、圆锥、球的体积之比为
【答案】CD
【解析】因为圆柱和圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 相等，
则圆柱的侧面积为 ，A错误；
圆锥的母线长 ，侧面积为 ，B错误；
球的表面积为 ，所以圆柱的侧面积与球面面积相等，C正确；， ，
，D正确．
故选：CD．
10．（多选题）（2023·河北保定·统考一模）沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是
古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容
器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两
个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的 （细管长度忽略
不计）．假设该沙漏每秒钟漏下 的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆
锥形沙堆．以下结论正确的是（ ）
A．沙漏的侧面积是
B．沙漏中的细沙体积为
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D．该沙漏的一个沙时大约是837秒
【答案】BD
【解析】A选项，设下面圆锥的母线长为 ，则 cm，
故下面圆锥的侧面积为 ，故沙漏的侧面积为 ，故A错误；
B选项，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高度的 ，
所以细沙形成的圆锥底面半径为 cm，高为 cm，
故底面积为 ，所以沙漏中的细沙体积为 ，B正确；
C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为 ，其中此锥体的底面积为
，故高度为 cm，C错误；D选项， 秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D正确.
故选：BD
11．（多选题）（2023·广东梅州·统考三模）已知正方体 的棱长为2， 为四边形
A B C D 的中心， 为线段 上的一个动点， 为线段 上一点，若三棱锥 的体积为定值，则
1 1 1 1
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】连接 ，交 于点 ，连接 ，
因为 为四边形A B C D 的中心，所以 ，
1 1 1 1
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积，且为定值，
所以 平面 ，所以平面 与平面 为同一平面，
所以 为 与 的交点，所以 ，故A错误，B正确；
因为正方体的棱长为2，所以 ．故C正确，D错误．
故选：BC．
12．（多选题）（2023·海南·海南中学校考三模）如图所示，一个平面图形 的直观图为 ，
其中 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．该平面图形是一个平行四边形但不是正方形
B．该平面图形的面积是8C．该平面图形绕着直线 旋转半周形成的几何体的体积是
D．以该平面图形为底，高为3的直棱柱的外接球直径为
【答案】BC
【解析】如图所示: 将直观图还原为平面图形，
由题意可得， ，故该平面图形为正方形，即A错误；
面积 ，即B正确；
将平面图形绕直线AC旋转半周得几何体为两个圆锥，底面半径和高均为2，
故体积 ，即C正确；
以该平面图形为底，高为3的直棱柱其实为长方体，且长宽高分别为 ，所以长方体的体对角线
长为 ，即D错误.
故选：BC
13．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱台 中， ， ，则其体
积为 .
【答案】
【解析】如图正四棱台 中 ，
则 ， ，过点 作 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，
则 ，又 ，所以 ，
即正四棱台 的高 ，所以棱台的体积 .
故答案为：
14．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）如图（1）为陀螺实物体，图（2）为陀螺的直观图，已知 ， 分
别为圆柱两个底面圆心，设一个陀螺的外接球（圆柱上、下底面圆周与圆锥顶点均在球面上）的半径为
2，球心为 ，点 为圆锥顶点，若圆锥与圆柱的体积比为1：6，则圆柱的体积为 .
【答案】
【解析】如图，过 ， ， 作几何体的截面，截面为五边形 ，
其中四边形 为矩形， 为等腰三角形， ．
设圆柱底面半径为 ，圆锥与圆柱的高分别为 ， ．
由题意知球心 为矩形 的中心，即为线段 的中点，
因为圆锥与圆柱的体积比为 ，所以 ，
整理得 ．
因为陀螺的外接球的半径为 ，所以 ，整理得 ，
所以 ， ，
在 中， ，所以圆柱的体积为 ．
故答案为： .
15．（2023·河北·校联考三模）已知四面体 中， ，则该四面体体
积的最大值为 ．
【答案】 /
【解析】取 的中点 ，连接 ，
因为 ，
所以 ，
，
当 平面 时，该四面体体积取得最大值，
最大值为 .
故答案为： .
16．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V
升的水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值：
.【答案】37（答案不唯一）
【解析】如图，在正方体 中，
若要使液面形状不可能为三角形，
则平面EHD平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD，且低于平面AFC,
若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形，
设正方体内水的体积为V，而 ，
而 （升），
（升）
所以V的取值范围是 .
故答案为：
17．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知用斜二测画法画梯形OABC的直观图
如图所示， ， ， ， 轴， ， 为 的三等分
点，则四边形OABC绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体积为 ．
【答案】
【解析】在直观图中， ，所以在还原图中， ，如图，
在直观图中， ， 为 的三等分点，所以在还原图中， ，D为OA的三等分点，
又在直观图中， 轴，
所以在还原图中， 轴，则 ，
所以 ，则 ，
故 ， ，所以四边形OABC是等腰梯形，
所以四边形OABC绕y轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积，
即 ．
故答案为： .
18．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）无人侦察机在现代战争中扮演着非常重要的角色，它
能在万米高空观察敌方的地面设施和军事力量部署．我国无侦—8（如图1）是一款以侦察为主的无人机，
它动力强劲，比大多数防空导弹都要快．已知空间中同时出现了A，B，C，D四个目标（目标与无人机的
大小忽略不计），如图2，其中 ， ， ，且目标A，B，D
所在平面与目标B，C，D所在平面恰好垂直，若无人机可以同时观察到这四个目标，则其最小侦测半径为
．
【答案】
【解析】如图所示，三棱锥 的外接球的球心 在平面 上的射影就是正三角形 的外接圆
圆心，
记为 ，连接 ， ，则 .
设 ，连接 ，则 ①.
过点 作 于 ，过点 作 于 ，连接 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 .
又 平面 ，所以四边形 为矩形，故 ， .
在 中， ， ， ，所以 ，故 ，所以 ， .
取 的中点 ，则 ，连接 ，则 ， ，
故 ，
故在 中， ，即 ②.
由①②解得 所以最小侦测半径为 .
故答案为： .
1．（2023•甲卷（文））在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， ， ，
则该棱锥的体积为
A．1 B． C．2 D．3
【答案】
【解析】如图，
， ，取 的中点 ，连接 ， ，
可得 ， ，
又 ， 、 平面 ， 平面 ，
在 与 中，求得 ，在 中，由 ， ，得 ，则 ，
，
．
故选： ．
2．（2023•天津）在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点 满足
，则三棱锥 和三棱锥 的体积之比为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】在三棱锥 中，线段 上的点 满足 ，线段 上的点 满足 ，
所以 ，
设 到平面 的距离 ， 到平面 的距离 ，则 ，
则三棱锥 的体积为 ．
故三棱锥 和三棱锥 的体积之比为 ．
故选： ．
3．（2023•甲卷（理））在四棱锥 中，底面 为正方形， ， ，
，则 的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】解法一： 四棱锥 中，底面 为正方形，
又 ， ，
根据对称性易知 ，
又底面正方形 得边长为4， ，
在 中，根据余弦定理可得：
，
又 ， ， 在 中，由余弦定理可得：， ，
的面积为 ．
解法二：如图，设 在底面的射影为 ，连接 ，
设 ， ，且 ，
则 ，或 ，
易知 ，又 ，
则根据最小角定理（三余弦定理）可得：
，
或 ，
或 ，
或 ，
或 ，又 ，
， ， ，
， ，
再根据最小角定理可得：
，，又 ， ，
的面积为 ．
故选： ．
4．（2022•北京）已知正三棱锥 的六条棱长均为6， 是 及其内部的点构成的集合．设集
合 ，则 表示的区域的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设点 在面 内的投影为点 ，连接 ，则 ，
所以 ，
由 ，知 表示的区域是以 为圆心，1为半径的圆，
所以其面积 ．
故选： ．
5．（2022•甲卷（文））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为 ，侧面积分别为
和 ，体积分别为 和 ．若 ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，设圆的半径（即圆锥母线）为 3，甲、乙两个圆锥的底面
半径分别为 ， ，高分别为 ， ，
则 ， ，解得 ， ，
由勾股定理可得 ，
．
故选： ．
6．（2022•新高考Ⅱ）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面
上，则该球的表面积为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】当球心在台体外时，由题意得，上底面所在平面截球所得圆的半径为 ，下底面所在平
面截球所得圆的半径为 ，如图，
设球的半径为 ，则轴截面中由几何知识可得 ，解得 ，
该球的表面积为 ．
当球心在台体内时，如图，此时 ，无解．
综上，该球的表面积为 ．
故选： ．
7．（2022•天津）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱
柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】
【解析】如图，该组合体由直三棱柱 和直三棱柱 组成，且 为正方形，
设重叠后的 与 交点为 ，
作 于 ，因为 ， ，
所以 ， ， ，
方法①：四个形状相同的三棱锥 、 ， 、 的体积之和，加上正四棱锥
的体积：
在直三棱柱 中， 平面 ，则 ，
由 可得 平面 ，
正四棱锥 的高等于 的长，
， ，
该组合体的体积 ；方法②：两个直三棱柱体积相加，再减去重叠部分（正四棱锥 的体积：
在直三棱柱 中， 平面 ，则 ，
由 可得 平面 ，
正四棱锥 的高等于 的长，
， ，
该组合体的体积 ．
故选： ．
8．（多选题）（2023•新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位： 的正方体容器（容器
壁厚度忽略不计）内的有
A．直径为 的球体
B．所有棱长均为 的四面体
C．底面直径为 ，高为 的圆柱体
D．底面直径为 ，高为 的圆柱体
【答案】
【解析】对于 ，棱长为1的正方体内切球的直径为 ，选项 正确；
对于 ，如图，
正方体内部最大的正四面体 的棱长为 ，选项 正确；对于 ，棱长为1的正方体的体对角线为 ，选项 错误；
对于 ，如图，六边形 为正六边形， ， ， ， ， ， 为棱的中点，
高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，
六边形 棱长为 米， ，
所以 米，故六边形 内切圆直径为 米，
而 ，选项 正确．
故选： ．
9．（2023•新高考Ⅰ）在正四棱台 中， ， ， ，则该棱台的体积为
．
【答案】 ．
【解析】如图，设正四棱台 的上下底面中心分别为 ， ，
过 作 ，垂足点为 ，由题意易知 ，又 ，
，又 ， ，
该四棱台的体积为 ．
故答案为： ．10．（2022•上海）已知圆柱的高为4，底面积为 ，则圆柱的侧面积为 ．
【答案】 ．
【解析】因为圆柱的底面积为 ，即 ，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
11．（2023•乙卷（文））如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，
， ， 的中点分别为 ， ， ，点 在 上， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．
【解析】 （1）证明：在 中，作 ，垂足为 ，设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ，即 ，解得 ，
即 ，所以 是 的中点， 是 的中点，
又因为 是 的中点，所以 ，同理， ，所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）过 作 垂直 的延长线交于点 ，因为 ， 是 中点，所以 ，在中， ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，又 ， ， 平面 ，所以 平面
，
又 平面 ，所以 ，
又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，即三棱锥 的高为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
的面积为 ，
所以三棱锥 的体积为 ．
