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2024-2025 学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高
一下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
z
1.已知z=−3+2i，则 的虚部为( )
i
A. −3 B. 3 C. −3i D. 3i
2.已知向量⃗ ⃗ ，若 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，则( )
a=(1,1),b=(1,−2) (a+λb)//(a+b)
1
A. λ=1 B. λ=2 C. λ= D. λ=−1
2
sin2θ
3.若tanθ=−2，则 = ( )
sin2θ+1
8 4 4 6
A. − B. − C. D. −
9 9 9 9
2 1
4.a= ， ，c=log 2，则a,b,c的大小关系为( )
5 b=eπ 3
A. a0 对 ∀x∈R 恒成立，则 a 的取值范围为 (0,+∞)
11.声音也包含着正弦函数.我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．
复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为f的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、
四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2f ,3f ,4f等，这些音叫谐音，因为
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2 11 1
其振幅较小，我们一般不易听出来.例如，某一个复合音的函数为f(x)=sinx+ sin2x+ sin3x，关于
2 3
f (x)，下列说法正确的是( )
A. 2π是函数f (x)的一个周期 B. f (x)关于点(π,0)中心对称
C. 在区间( π π)上为增函数 D. 函数 f (x)的值域为[23 )
f (x) − , y= ,3
3 3 sinx 48
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数 ( 4 )为奇函数，则实数 的值为______．
f (x)=log a− a
2 x+2
13.已知向量⃗ ⃗满足：⃗ ，→ → → ，则⃗在⃗上的投影向量的坐标为______．
a,b a=(1,√3) a⊥(a+2b) b a
14.已知在等腰 ▵ABC 中， BC=3 ， D,E 在直线 BC 上，且 B ⃗ D=D ⃗ E=E ⃗ C ， ∠BAE=∠DAC=60 ∘，令
，则 ( π) ______．
∠DAE=θ sin θ− =
3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知 的图象与 轴的交点为 ，它在 轴
f (x)=−2acos2ωx+2√3asinωxcosωx+a(ω>0) y (0,−1) y
右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 和( π )
(x ,2) x + ,−2
0 0 2
(1)求函数y=f (x)的解析式；
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3 1已知 (α) ( π)，角 的终边与单位圆交于点 (4 3)，求 的值．
(2) f =1,α∈ 0, β A , cos(α−β)
2 2 5 5
16.(本小题15分)
记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知√3sin A+cosA=2
(1)求角A；
(2)若a=√3，√2csinB=bsin2C，求▵ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图所示，在 中， 是边 的中点， 在边 上， ⃗ ⃗ ， 与 交于点 ．
▵ABC D BC E AB
BE=2EA
AD CE O
(1)以⃗AB,⃗AC为基底表示⃗AO；
| ⃗ |
若 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ，求 AB 的值．
(2)
AD⋅AC=3AO⋅EC
| ⃗ |
AC
18.(本小题17分)
1 1
已知函数f (x)= (a∈R且a>0)，满足f (0)+f (2)= ，
2x+a 2
(1)求参数a的值；
(2)若曲线y=f (x)关于点(m,n)对称，则满足f (x)+f (2m−x)=2n，证明：曲线y=f (x)是中心对称图形；
1
(3)若对于∀x∈R，不等式f (−sin2x+cosx)+f (m2+3m−3)> 恒成立，求参数m的取值范围．
2
19.(本小题17分)
形如z=a+bi(a,b∈R)的数称为复数的代数形式，而任何一个复数z=a+bi都可以表示成
{a=rcosθ,
r(cosθ+isinθ)的形式，即 其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ<2π范围
b=rsinθ,
内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz.复数z=r(cosθ+isinθ)叫做复数的三角形式．由复数的三角形
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4 1式可得出，若 ⃗ ， ⃗ ，则
OZ =r (cosθ +isinθ ) OZ =r (cosθ +isinθ )
1 1 1 1 2 2 2 2
r
1
(cosθ
1
+isinθ
1
)⋅r
2
(cosθ
2
+isinθ
2
)=r
1
r
2
[cos(θ
1
+θ
2
)+isin(θ
1
+θ
2
)].其几何意义是把向量
O
⃗
Z
绕点
1
O 按逆时针方向旋转角θ 2 ( 如果θ 2 <0，就要把 O ⃗ Z 绕点 O 按顺时针方向旋转角|θ 2 |) ，再把它的模变为原来
1
的r 倍．
2
(1)试将z=3+√3i写成三角形式(辐角取主值)；
(2)复平面内，将z=3+√3i对应的向量绕原点O顺时针方向旋转60∘，模长变为原来的2倍后，所得向量对
应的复数为 ，求 ( π π )( 3π 3π)( 3π 3π)；
z z cos +isin cos +isin cos +isin
1 1 10 10 10 10 5 5
(3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数
1
f(x)=x2+
，x∈C.若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数t，使得f(x)≥t成立，复数x在复
x2
平面上对应的点为A，O为坐标原点，点P(3,0)，以PA为边作正方形PAMN，其中M,N在PA上方，求
线段OM的最大值．
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5 1参考答案
1.B
2.A
3.B
4.B
5.A
6.D
7.A
8.D
9.BCD
10.BCD
11.ABD
12.1
13.( 1 √3)
− ,−
2 2
√3
14.−
4
π
15.解：(1)f(x)=√3asin2ωx−acos2ωx=2asin(2ωx− )，
6
T π
故a=1，又 = ⇒T=π⇒ω=1
2 2
π
故f(x)=2sin(2x− )
6
α π π 1
(2)f( )=2sin(α− )=1，即sin(α− )=
2 6 6 2
π π π π π π π
因为α∈(0, )，所以α− ∈(− , )，故α− = ，解得α=
2 6 6 3 6 6 3
4 3 4 3
角β的终边与单位圆交于点A( , )，故cosβ= ，sinβ=
5 5 5 5
π π π 1 4 √3 3 3√3+4
所以cos(α−β)=cos(β− )=cos cosβ+sin sinβ= × + × =
3 3 3 2 5 2 5 10
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6 1π
16.解：(1)√3sin A+cosA=2sin(A+ )=2，
6
π
⇒sin(A+ )=1，
6
π π 7π π π
又A+ ∈( , )，∴A+ = ，
6 6 6 6 2
π
∴A= ；
3
(2)√2csinB=bsin2C=2bsinCcosC，
由正弦定理：√2sinCsinB=2sinBsinCcosC，
又sinBsinC>0，
√2 π
∴cosC= ，∴C= ，
2 4
5π
∴B=π−A−C= ，
12
√6+√2
∴sinB=sin(π−A−C)=sin(A+C)= ，
4
c a √3
= = =2⇒c=2sinC=√2
由正弦定理：sinC sin A √3 ，
2
1 1 √6+√2 3+√3
∴S = acsinB= ×√3×√2× =
△ABC 2 2 4 4
⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗
17.解：(1)EC=AC−AE=− AB+AC，
3
设 ⃗ ⃗ ， ⃗ ⃗ ，
AO=λAD EO=μEC
⃗ ⃗ λ ⃗ ⃗
∵AO=λAD= (AB+AC)，
2
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1−μ ⃗ ⃗
AO=AE+EO=AE+μEC=AE+μ(AC−AE)=(1−μ)AE+μAC= AB+μAC，
3
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7 1λ 1−μ 1
{ = {λ=
2 3 ，解得 2，
∴
λ 1
=μ μ=
2 4
⃗ 1 ⃗ 1 ⃗
∴AO= AB+ AC．
4 4
⃗ ⃗ ⃗ 1 ⃗ ⃗
(2)EC=AC−AE=− AB+AC
3
由 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
AD⋅AC=3AO⋅EC
1 ⃗ 1 ⃗ ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ ⃗
所以( AB+ AC)⋅AC=3( AB+ AC)⋅(− AB+AC)
2 2 4 4 3
1 ⃗ ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ 1 ⃗ ⃗ 3 ⃗
即 AB⋅AC+ AC2=− AB2+ AB⋅AC+ AC2
2 2 4 2 4
| ⃗ |
所以1 ⃗ 1 ⃗ AB
AB2= AC2∴ =1
4 4 | ⃗ |
AC
1 1 1
18.解：(1)由f(0)+f(2)= + =
1+a 4+a 2
；
⇒a2+a−6=0⇒(a+3)(a−2)=0⇒a=2(a>0)
1 1
(2)证明：因为f(x)= ，则f(2m−x)= ，
2x+2 22m−x+2
1 1 2x+22m−x+4 ，
f(x)+f(2m−x)= + =
2x+2 22m−x+2 2(2x+22m−x)+22m+4
4 1 1
令 = ⇒m=1，上式= ，
22m+4 2 2
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8 11
即有f(x)+f(2−x)= 对∀x∈R恒成立，
2
1
故曲线y=f(x)关于(1, )中心对称;
4
1 1
(3)不等式f(−sin2x+cosx)+f(m2+3m−3)> 可化为f(−sin2x+cosx)> −f(m2+3m−3)，
2 2
1
由(2)知 −f(m2+3m−3)=f(5−m2−3m)，
2
故有 对 恒成立，
f(−sin2x+cosx)>f(5−m2−3m) ∀x∈R
1
易知f(x)= 在R上单调递减，
2x+2
则有−sin2x+cosx<5−m2−3m对∀x∈R恒成立，
1 5
又y=−sin2x+cosx=cos2x+cosx−1=(cosx+ ) 2− ，
2 4
当cosx=1时，y =1，
max
故1<5−m2−3m⇒m2+3m−4<0，解得−40)，
1 1 1
则f(x)=x2+ =(a+bi) 2+ =(a2−b2 )+2abi+
x2 (a+bi) 2 (a2−b2 )+2abi
(a2−b2 )−2abi
=(a2−b2 )+2abi+
[(a2−b2 )+2abi]·[(a2−b2 )−2abi]
(a2−b2 )−2abi
=(a2−b2 )+2abi+
(a2−b2
)
2+4a2b2
(a2−b2 )−2abi
=(a2−b2 )+2abi+
(a2+b2
)
2
a2−b2 2abi
=(a2−b2 )+ +2abi−
(a2+b2
)
2 (a2+b2
)
2
a2−b2 2ab ，
=(a2−b2 )+ +[2ab− ]i
(a2+b2
)
2 (a2+b2
)
2
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10 1因为存在实数t，使得f(x)≥t成立，
所以f(x)为实数，
2ab
所以2ab− =0，
(a2+b2
)
2
因为a≠0，b>0，
所以a2+b2=1，
当 时， ，符合题意，
a2+b2=1 f(x)=2(a2−b2 )=2(2a2−1)>−2(a≠0)
点A的轨迹为单位圆的一部分，
π π
设A(cosθ,sinθ)，θ∈(0, )∪( ,π)，
2 2
⃗ 所表示的复数为 ，
z
PA=(cosθ−3,sinθ) 1
则z =(cosθ−3)+isinθ，
1
记⃗PM所表示的复数为z ，
2
π π
则z =z [cos(− )+isin(− )]×√2，
2 1 4 4
√2 √2
所以z =[(cosθ−3)+i⋅sinθ]( − i)√2
2 2 2
=(cosθ+sinθ−3)+(sinθ−cosθ+3)i，
故M(cosθ+sinθ,sinθ−cosθ+3)，
所以
|OM|=√(cosθ+sinθ) 2+(sinθ−cosθ+3) 2
√ π
=√11+6(sinθ−cosθ)= 11+6√2sin(θ− )，
4
π 3
当sin(θ− )=1，即θ= π时，|OM| =√11+6√2．
4 4 max
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11 1
