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2024 年普通高中高一年级教学质量统一检测
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册占20%，必修第二册占80%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 的虚部为（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
3. 已知直线 ， 及平面 ， ，且 ， ，下列命题正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
4. 某射击运动员射击5次的成绩如下表：
第1 第2 第3 第4 第5
次 次 次 次 次
9环 9环 10环 8环 9环
下列结论正确的是（ ）
A. 该射击运动员5次射击的平均环数为9.2
B. 该射击运动员5次射击的平均环数为9.5
C. 该射击运动员5次射击的环数的方差为1
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学科网（北京）股份有限公司D. 该射击运动员5次射击 的环数的方差为
5. 已知单位向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A. 0 B. C. D.
6. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ， ，
则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
.
A B. C. D.
7. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差
一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，
六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个
节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（ ）
.
A B. C. D.
.
8 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列函数中是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司10. 已知函数 ，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的图象关于直线 对称
C. 的图象关于点 中心对称
D. 的最大值为1
11. 有一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图 1.也可由正方体切割而成，如图
2.在如图2所示的“蒺藜形多面体”中，若 ，则（ ）
的
A. 该几何体 表面积为 B. 该几何体的体积为4
C. 直线 与直线 所成的角为 D. 二面角 的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 函数 的值域为___________.
13. 已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值为___________.
14. 已知四边形 的顶点都在半径为2的圆 上，且 经过圆 的圆心， ， ，
四边形 的面积为 ，则 __________.
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量 ， .
（1）若 ，求 ；
（2）若向量 ， ，求 与 夹角的余弦值.
16. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
为 的中点，点 在线段 上， 平面 .
（1）证明： ；
（2）求 的值.
17. 已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示.
（1）求 的解析式；
（2）设 ， 为锐角， ， ，求 的值.
18. 某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动.本次挑战赛第一轮为
选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答4道题目，任何1道题答对就算通过本轮
挑战赛.若参赛选手前2道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织
的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰.甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙
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学科网（北京）股份有限公司答对每道趣味智力题的概率均为 .甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动.
乙不热爱公益活动，若前2道题都没有答对，则停止答题，被淘汰.甲、乙每道题是否答对相互独立.
（1）求甲通过第一轮挑战赛的概率；
（2）求乙通过第一轮挑战赛的概率；
（3）求甲、乙中只有1人通过了第一轮挑战赛的概率.
19. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 .
（1）求角 ；
（2）已知 ；
①求 面积的最大值；
②延长 至 ，使得 ，连接 ，设 外接圆的圆心为 ，求 的最小值.
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学科网（北京）股份有限公司2024 年普通高中高一年级教学质量统一检测
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册占20%，必修第二册占80%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABD
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学科网（北京）股份有限公司【10题答案】
【答案】ABC
【11题答案】
【答案】ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】 ##
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）1
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
（3）
【19题答案】
【答案】（1）
（2）① ；②
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