文档内容
山东省青岛第二中学 2023-2024 高三上学期期末考试
数学试题
命题人：程志 王作杭 张羽 审核人：董天龙
本试卷共6页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上的无效.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知平面向量 ，则向量 在向量 上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
3.若复数 的共轭复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数 的图像关于原点中心对称，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 展开式的常数项为（ ）
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司6.椭圆 任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆： ，这个圆称为椭
圆的蒙日圆.在圆 上总存在点 ，使得过点 能作椭圆 的两条相互
垂直的切线，财 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，
在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用 （角）表示；锐角的斜边与
其对边的比，叫做该锐角的余割，用 （角）表示，则 （ ）
A. B. C.4 D.8
8.双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上，两条渐近线分别为 ，经过右焦点 垂直于 的直线分别交
于 两点.已知 成等差数列，且 与 反向.则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.已知 ，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.有一组样本数据 ，添加一个数 形成一组新的数据，且 ，
则新的样本数据（ ）
A.众数是1的概率是
学科网（北京）股份有限公司B.极差不变的概率是
C.第25百分位数不变的概率是
D.平均值变大的概率是
11.已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 是奇函数， ，且对任意
，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知正四棱台 的上､下底面边长分别为2和4，若侧棱 与底面 所成的角为
，则该正四棱台的体积为__________.
13.某次会议中，筹备组将包含甲､己在内的4名工作人员，分配到3个会议厅工作，每个会议厅至少1人，每
人只负责一个会议厅，则甲､乙两人不能分配到同一个会议厅的安排方法共有__________种.（用数字作答）
14.某同学在研究构造新数列时发现：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数
列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列
；...第 次得到数列 ；记 ，则 __________；
__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求 的值；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，且 的周长为 ，求边 上的高.
16.（本小题满分15分）
如图，底面 是边长为2的菱形， 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.（本小题满分15分）
为检验预防某种疾病的 两种疫苗的免疫效果，随机抽取接种 疫苗的志愿者各100名，化验其血液中
某项医学指标（该医学指标范围为 ），统计如下：
该项医学指标
接种 疫苗人数 10 50
接种 疫苗人数 30 40
个别数据模糊不清，用含字母 的代数式表示.
（1）为检验该项医学指标在 内的是否需要接种加强针，先从医学指标在 的志意者中，按接种
疫苗分层抽取8人，再次抽血化验进行判断.从这8人中随机抽取5人调研医学指标低的原因，记这5人
中接种 疫苗的人数为 ，求 的分布列与数学期望；
（2）根据（1）化验研判结果，医学认为该项医学指标低于50，产生抗体较弱，需接种加强针，该项医学指
标不低于50，产生抗体较强，不需接种加强针.请先完成下面的 列联表，若根据小概率 的独
立性检验，认为接种 疫苗与志愿者产生抗体的强弱有关联，求 的最大值.
抗体
疫苗 合计
抗体弱 抗体强
学科网（北京）股份有限公司A疫苗
B疫苗
合计
附： ，其中 .
0.25 0.025 0.005
1.323 5.024 7.879
18.（本小题满分17分）
已知椭圆 的离心率 ，其上焦点 与抛物线 的焦点重合.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过点 的直线交椭圆T于点 ，同时交抛物线 于点 （如图1所示，点 在椭圆与抛物线第
一象限交点上方），判断 与 的大小关系，并证明；
（3）若过点 的直线交椭圆 于点 ，过点 与直线 垂直的直线 交抛物线 于点 ､ （如图
2所示），判断四边形 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由.
19.（本小题满分17分）
已知函数 .
（1）若 为奇函数，求此时 在点 处的切线方程；
学科网（北京）股份有限公司（2）设函数 ，且存在 分别为 的极大值点和极小值点.
（i）求函数 的极值；
（ii）若 ，且 ，求实数 的取值范围.
青岛二中 2023-2024 学年第一学期期末考试
高三数学试题参考答案
一､选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C D C B C D C D BCD ABD ABD
学科网（北京）股份有限公司二､填空题
12. 13.30 14. ；
三､解答题
15.（1）由 ，可得 ，
所以 ，
又由正弦定理和余弦定理，可得 ，
整理得 ，所以 .
（2）由 ，且 的周长为 ，可得 ，
又由（1）可知， ，即 ，
所以 ，联立方程组 ，解得 ，
所以 ，
则 ，
所以边 上的高为 .
16.（1） 平面 平面 .
.又 底面 是菱形， .
平面 ，
设 交于 ，取 的中点 ，连 ，
学科网（北京）股份有限公司，四边形 是平行四边形
平面 平面 ，
又因 平面 平面 平面 .
（2）以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图空间直角坐标系
与平面 所成的角为
设平面 的法向量为 ，
设平面 的法向量
设二面角 的大小为 .
学科网（北京）股份有限公司17.（1）从医学指标在 的志愿者中，按接种 疫苗分层抽取8人中，接种 疫苗有2人，接种
疫苗有6人，由题意可知，
可能取值为 ，
的分布列为：
3 4 5
则
（2） 列联表如下：
抗体
疫苗 合计
抗体弱 抗体强
A疫苗 100
B疫苗 100
合计 60 140 200
由题意可知， ，
整理得， ，解得 或 ，
又 ，则 ，所以 ，
故 的最大值为2.
学科网（北京）股份有限公司18.（1）由题椭圆方程为
（2）由题意得设椭圆与双曲线的交点为
有图可知
若要产生如图B､D､A､C四点结构，可知
设直线 方程为 ，设 ， ，
联立 ，消去 得： ，
则
所以 .
抛物线 的方程为： ，
联立 ，消去 得： ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以
即 .
（3）存在最小值，最小值为8.
设 ，
当直线 的斜率存在且不为零时，
设直线 方程为 ，
则直线 方程为 ，
由（2）的过程可知： ，
由 ，以 替换 ，可得 ，
所以
因为 ，所以 ；
当直线 的斜率不存在时， ，
所以 ；
综上所述： ，所以四边形 面积的最小值为8.
学科网（北京）股份有限公司19.（1） 为奇函数，有 ，则 ，经检验知 满足题意，
所以 所以 ， ，
所以 在点 处的切线方程为 .
（2）（i） ，
因为函数 既存在极大值，又存在极小值，
则 必有两个不等的实根，则 ，
令 可得 或 ，
所以 ，解得 且 .
当 时， .则有：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
极大值 ，极小值
当 时， .则有：
0
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
学科网（北京）股份有限公司极大值 ，极小值 .
（ii）由 ，所以 ，
由题意可得 对 恒成立，
即
令 ，其中 ，
令 ，则
①当 ，即 时， 在 上是严格增函数，
所以 ，即 ，符合题意；
②当 ，即 或 时，
设方程 的两根分别为 且 ，
当 时，则 ，
则 在 上是严格增函数，
所以 ，即 ，符合题意；
当 时，则 ，
则 ，则当 时， ，
则 在 上单调递减， ，即 不合题意.
学科网（北京）股份有限公司综上所述， 的取值范围是 .
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