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第十三届“走进美妙的数学花园”上海决赛小学五年级----王洪福老师
第十三届“走进美妙的数学花园”青少年展示交流活动
趣味数学解题技能展示大赛初赛（上海决赛）
小学五年级试卷（B 卷）
2015年3月8日 上午10:45——12:15
满分150分
一、填空题（每小题8分，共40分）
( )
【第1题】计算：20150308=101× 100000+24877×
考点：整数计算
解析：
( ) ( )
20150308÷101−100000 ÷24877= 199508−100000 ÷24877
=99508÷24877
=4
2 5 15 10
【第2题】将 ， ， ， 按照从小到大顺序排列 。
3 8 23 17
考点：分数比较大小
解析：
2 5 15 10
（解法一）先把分数化为小数形式： ≈0.666， =0.625， ≈0.652， ≈0.588
3 8 23 17
10 5 15 2
通过比较小数的大小，从小到大顺序排列为 < < <
17 8 23 3
（解法二）比较倒数
2 5 15 10 3 8 23 17 45 48 46 51
， ， ， 的倒数分别为 ， ， ， ，通分后为 ， ， ，
3 8 23 17 2 5 15 10 30 30 30 30
17 8 23 3 10 5 15 2
所以 > > > ，倒数大的原分数反而小，所以 < < <
10 5 15 2 17 8 23 3
【第3题】 像2，3，5，7这样只能被1和自身整除的大于1的自然数叫做质数或素数。将2015分拆成100
个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大质数是 。
考点：质数合数
解析：要求最大的质数尽可能小，也就是当这100个数越接近越好。
2015÷100=20…15
因此最大的质数再小也要比20大，比20大的最小的质数为23.
2015=23×86+11×1+2×13（2015可以表示为86个23、1个11、13个2的和）
所以这个最大质数是23.
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【第4题】 质数就好像自然数的“建筑基石”，每一个自然数都能写成若干个质数（可以有相同的）的乘积，
比如4=2×2，6=2×3，8=2×2×2，9=3×3，10=2×5等，那么，5×13×31−2写成这种形式为
考点：分解质因数
解析：
5×13×31−2=2015−2=2013
2013=3×11×61
【第5题】“24点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑克牌（不包括大小王）
中抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（ A=1，J =11，Q=12，K =13）通过加减乘除四则运算得出
24，最先找到算法者获胜。游戏规定4张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用 1次，比如2，3，4，Q则可
( ) ( )
以由算法 2×Q × 4−3 得到24。
⎛ 4⎞ ⎛ a⎞
王亮在一次游戏中抽到了4，4，7，7，经过思考，他发现,⎜4− ⎟×7=24，我们将满足⎜a− ⎟×b=24的
⎝ 7⎠ ⎝ b⎠
牌组 { a，a，b，b } 称为“王亮牌组”，请再写出一组不同的“王亮牌组” 。
考点：24点
⎛ a⎞
( )
解析：⎜a− ⎟×b=ab−a =a b−1 =24，所以24能被a整除，
⎝ b⎠
所以a的可能取值为1，2，3，4，6，8，12，24，对应的b的取值为25，13，9，7，5，4，3，2
又因为a、b的取值范围为1至13，
所以满足条件的“王亮牌组”有 { 2 ，2 ，13 ，13 } 、 { 3 ，3 ，9 ，9 } 、 { 4 ，4 ，7 ，7 } （题目中已给出，不作答案）、
{ 6 ，6 ，5 ，5 } 、 { 8 ，8 ，4 ，4 } 、 { 12 ，12 ，3 ，3 } 。
二、填空题（每小题10分，共50分）
【第6题】用2个边长为单位长度的小正方形（单位正方形）可以构成 2—联方，这就是常说的多米诺，显
然，经过平移、旋转、对称变换，能够重合的多米诺应该看成是同一个，因此，多米诺只有一个。
同理，用3个单位正方形构成的不同的3—联方只有2个。
用4个单位正方形构成的不同的4—联方有5个。
那么，用5个单位正方形构成的不同的5—联方有 个。
2—联方 3—联方
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考点：图形切拼割
解析：用5个单位正方形构成的不同的5—联方有12个
可以借助英文字母F、I、L、P、T、U、V、W、X、Y、Z直观形象记忆其中的11种。
【第7题】如图所示，在边长为15厘米的正方形纸片从各顶点起4厘米处，沿着45°角下剪，中间形成一
个小正方形。这个小正方形的面积为 （平方厘米）。
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考点：勾股定理、组合图形面积
解析：
（解法一）
如图，延长小正方形的一边AB，与大正方形的一边交于C点，连接CD。
∴ΔCED为直角边长为4cm的等腰直角三角形
( )
∴CD2 =CE2 +DE2 =42 +42 =32 cm2
而CD等于小正方形的边长
∴阴影正方形的面积为32cm2
（解法二）
如图所示，在大正方形中有四个相同的图形，我们可以把它们缺的一角补上（左图），此时得到了四个相同
的等腰直角三角形，且这个等腰直角三角形的斜边为15cm，然后把这四个等腰直角三角形拼成一个正方形
（右图），这个正方形的边长刚好为15cm，恰好与原来的大正方形的边长一样。这说明补上的四个角，也
就是直角边为4的四个等腰直角三角形的面积之和恰好等于中间阴影正方形的面积。
( )
每个小等腰直角三角形的面积是4×4÷2=8cm2
所以阴影正方形的面积为8×4=32cm2
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8. 【第8题】如图所示，已知大圆的半径为2，则阴影部分的面积为 （圆周率用π表示）。
考点：园、组合图形的面积
解析：可以把中间的四个叶子形状的图形分成两半，刚好可以补到正方形外边的空白处。
所以大圆的面积减去内接正方形的面积，就是阴影部分的面积。
4×4
S =π×22 − =4π−8
阴 2
【第9题】如图所示，已知长方形ABCD中，ΔFDC的面积为4，ΔFDE的面积为2，则阴影四边形AEFB
的面积 。
考点：蝴蝶定理、一半模型
解析：连接BE，由梯形蝴蝶定理可知，S = S =4,所以S =4×4÷2=8
ΔBEF ΔCDF ΔBCF
所以S =4+8=12，S =12×2=24
ΔBCD ABCD
所以S =24−2−4−8=10
AEFB
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【第10题】索玛立方体是丹麦物理学家皮特‧海音（PietHein）发明的7个小立方体组块（如图所示），如
果假设这些小立方体的边长为1，则利用这7个组块不仅可以组成一个3×3的立方体，还可以组成很多美妙
的几何体。那么，要组成下面的几何体，需要用到的3个索玛立方体的编号是 。
考点：组合立体图形
解析：首先先确定目标图形需要多少块单位立方体（棱长为1的小立方体）。如左图所示，共需要11块。
索玛立方体的1号包含3块单位立方体，2号至7号都是包含4块单位立方体，
而目标图形需要用到3个索玛立方体，只能是11=3+4+4，
所以1号必须选择。之后通过观察，发现1号、3号、5号或1号、3号、6号是成立的。（3号放在最底层，
且保持图中摆放的姿势，1号放在3号的上面。）
三、填空题（每小题12分，共60分）
【第11题】一个自然数有10个不同的因数（即约数，指能够整除它的自然数），但质因数（即为质数的因
数）只有2与3。那么，这个自然数是 。
考点：约数的个数
解析：设这个数为2a×3b（a、b均为正整数），由题意可知 ( a+1 ) × ( b+1 ) =10=2×5
所以a =1 ，b=4或a =4 ，b=1
所以这个自然数是21×34 =162或24×31 =48
【第12题】有5个自然数（允许有相等的），从其中任意选取4个数求和，可以而且只能得到44，45，46，
47，那么，原来的5个自然数分别是 。
考点：不定方程、数论
解析：
设这5个自然数分别为a、b、c、d、e，设m=a+b+c+d +e
从其中任意选取4个数求和分别为m−a、m−b、m−c、m−d、m−e
当这5个数各不相同时，应该有5个不同的和，
而题目当中只能得到4个不同的和，说明这5个数中有两个是相等的。
假设a >b>c>d （e为重复的数），
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⎧m−a=44
⎪
m−b=45
⎪
⎪
则⎨m−c=46 （其中x的可能取值为44、45、46、47）
⎪
m−d =47
⎪
⎪m−e= x
⎩
( )
将5个式子相加，可得5m− a+b+c+d +e =44+45+46+47+x
即4m=182+x
解之得，x=46，m=57
所以a =13，b=12，c=e=11，d =10
【第13题】如果两个自然数的积被9除余1，那么我们称这两个自然数互为“模9的倒数”。比如，2×5=10，
被9除余1，则2和5互为“模9的倒数”；1×1=1，则1的“模9的倒数”是它自身。显然，一个自然数
如果存在“模9的倒数”，则它的倒数并不是唯一的，比如，10就是1的另一个“模9的倒数”。判断1，2，
3，4，5，6，7，8是否有“模9的倒数”，并将存在“模9的倒数”的数，以及它们相对应的最小的“模9
的倒数”分别写出来 。
考点：余数问题
解析：当a、b满足a×b=9n+1时，a、b互为“模9的倒数”（a、b、n均为自然数）
当a =1时，对应的最小的“模9的倒数”为1
当a =2时，对应的最小的“模9的倒数”为5
当a =3时，a×b=3b，3b除以9的余数只能是0、3、6，所以3没有“模9的倒数”。
当a =4时，对应的最小的“模9的倒数”为7
当a =5时，对应的最小的“模9的倒数”为2
当a =6时，a×b=6b，6b除以9的余数只能是0、3、6，所以6没有“模9的倒数”。
当a =7时，对应的最小的“模9的倒数”为4
当a =8时，对应的最小的“模9的倒数”为8
【第14题】我国南宋数学家杨辉在其《续古摘奇算法》上记载了这样一个问题：“二数余一，五数余二，七
数余三，九数余四，问本数。”
用现代语言表述就是：“有一个数用2除余1，用5除余2，用7除余3，用9除余4，问这个数是多少？”
请将满足条件的最小的自然数写在这里 。
考点：中国剩余定理
解析：
（解法一）
先考虑除以5余2，除以7余3，除以9余4
用剩余定理得
5×7×______+5×9×______+7×9×______
5×7×5+5×9×1+7×9×4=472
[5,7,9]=315
故472±315k都符合除以5余2，除以7余3，除以9余4
最小是472-315=157，且也符合除以2余1。
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（解法二）
除以2余1的数有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…；
除以5余2的数有：2，7，12，17…；
除以7余3的数有：3，10，17…；
所以满足“用2除余1，用5除余2，用7除余3”的数的形式为 [ 2 ， 5 ， 7 ] n+17=70n+17（n为自然数）
此时只需要找一个最小的n，满足除以9余4即可
当n=2时，满足除以9余4，所以满足条件的最小的自然数为70×2+17=157
【第15题】如果一个长方形能够被分割为若干个边长不等的小正方形，则这个长方形成为完美长方形。已知
下面的长方形是一个完美长方形，分割方法如图所示，其中小正方形中心的数字代表其边长，则图中没有标
示边长的小正方形的边长按照从小到大的顺序分别为 。
考点：巧求周长
解析：用图中的字母代表该正方形的边长。
B=11−5=6
C =11+6=17
E =6+17=23
( )
H =23+ 6−5 =24
D=24−5=19
A=19−5−11=3
F =19+3=22
G =22+3=25
从小到大的顺序分别为3、6、17、19、22、23、24、25
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小学五年级（B卷）
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