文档内容
2024~2025 学年第一学期高一期中质量检测
数学
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：必修一和必修二到4.1.2指数函数的性质与图像结束。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.集合 ， ，则
A. B.
C. D.
2.命题 ， 的否定是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数 的定义域为
A. B.
C. D.
4.若 ， ，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.5.函数 的部分图象大致为
A. B.
C. D.
6.已知实数 ，则函数 的零点所在的区间是
A. B. C. D.
7.已知函数 （ 且 ）在 上单调递减，则实数 的取值范围
为
A. B. C. D.
8.已知函数 的定义域为 ， ，都有 ，则
A.-6 B.-7 C.-8 D.-9
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列各组函数表示同一个函数的是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是A. B.
C. D.
11.若函数 满足 ， ，且 ， ，
则
A. 在 上单调递减 B.
C. D.若 ，则 或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数 则 ________.
13.已知正数 ， 满足 ，则 的最小值为________.
14. ， 分别表示函数 在区间 上的最大值与最小值，则
________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知集合 ， .
（1）若 成立的一个必要条件是 ，求实数 的取值范围；
（2）若 ，求实数 的取值范围，
16.（15分）
给定函数 ， ， .
（1）画出函数 ， 的图象；
（2） ，用 表示 ， 中的较小者，记为 ，请分别用图象法和解析法表示函数 .
17.（15分）
某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为40元，年销售6万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少1000件，要使销售的总收入不低于原收入，该
商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调
整，并提高定价到 元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入160万元作为固定宣传费用，
投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少达到多少万件时，才可能使改革后的
销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.
18.（17分）
已知函数 的图象经过点 ， .
（1）求 的解析式；
（2）证明：曲线 是中心对称图形；
（3）求关于 的不等式 的解集.
19.（17分）
若函数 在区间 上的值域恰为 ，则称区间 为 的一个“倒域区间”.已知定义
在 上的奇函数 ，当 时， .
（1）求 的解析式；
（2）若关于 的方程 在 上恰有两个不相等的根，求 的取值范围；
（3）求函数在定义域内的所有“倒域区间”.2024~2025 学年第一学期高一期中质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
1.C 因为 ， ，所以 .
2.D 命题 ， 的否定是“ ， ”.
3.A 由题知， 解得 .
4.C 取 ， ，则 ，故A错误；取 ， ，则 ，故B错误；因为 ，
，所以 ，故C正确；取 ， ， ，则 ，故D错误。
5.B 由题知函数 的定义域为 ， ，所以函数 为偶函数，
排除C，D.令 ，得 ，排除A，故B正确.
6.B 实数 ， 在定义域上单调递增，则 ，
， ，
， ，则 ，则函
数 在 内必有零点.
7.A 由题知， 解得 .8.C 当 ， 时， ，所以 ；令 得 ，所以
； ， ， ，
，故选C.
9.BD A中两函数定义域不同，不是同一个函数，A错误；C中两函数解析式不同，不是同一个函数，C
错误.
10.ABD 当 时， 恒成立，于是 ；当 时， 解得 ，综
上， 的取值范围是 .
11.ABD 因为 ， ， ，所以 关于
对称，且在 上单调递增，则 在 上单调递减，A正确；结合函数 的单调性
和 图象的对称性得， ，B正确；因为
， ，C错误；对D，若
，则 ，解得 或 ，D正确.
12.0 函数 则 ，所以 .
13. 由题知 ，所以
，当且仅
当 ， 时取等号.14.4 因为 因为 ，
，所以 .
15.解：（1）因为 是 的一个必要条件，
所以 ，显然 ，
所以 ，且 ，
解得 ，即 的取值范围为 .……6分
（2）若 ，
所以 ，或 ，
解得 ，或 ，即 的取值范围为 .……13分
16.解：（1）由函数 ， ，
根据一次函数与二次函数的图象与性质，可得函数 和 的图象，如图所示：……6分
（2）解：联立方程组 整理得 ，解得 或 ，……8分
结合（1）中的图象，可得：
当 时， ；……9分
当 时， ；……10分
当 时， ，……11分所以函数 的解析式为 ……12分
函数 的图象，如图所示.……15分
17.解：（1）设每件定价为 元，依题意得 ，……3分
整理得 ， 解得 .
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为60元.……6分
（2）依题意知当 时， ，……8分
等价于 时， ，……9分
由于 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，……13分
当该商品改革后销售量 至少达到10.5万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，
此时该商品的每件定价为60元.……15分
18.（1）解：由题意可知， ……1分
解得 或 ， （舍去），……3分所以 .……4分
（2）证明：因为 ，……8分
所以曲线 关于点 对称，故曲线 是中心对称图形.……10分
（3）解：由（1）可知， ，
易知函数 在 上单调递增，且 ， 所以 在 上单调递减，……11分
由（2）可知， ，……12分
由 ，得 ，
即 ，
根据 在 上单调递减，得 ，……13分
整理得， ，即 .……14分
当 时，解得 ；
当 时，无解；
当 时，解得 .……16分
综上可知，当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ；当
时，原不等式的解集为 .……17分
19.解：（1）当 时，则 ，
由奇函数的定义可得 ，
所以 ……3分
（2）方程 即 ，设 ， ，由题意知 解得 .……7分
（3）因为 在区间 上的值域恰为 ，
其中 且 ， ，所以 则
所以 或 .……9分
①当 时，因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， ，则 ，所以 ，所以 ，……10分
则 解得
在 内的“倒域区间”为 ；……13分
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， ，所以 ，所以 ，
所以 ，……14分则 解得
所以 在 内的“倒域区间”为 .
综上所述，函数 在定义域内的“倒域区间”为 和 .……17分
