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第十六届“中环杯”三年级(初赛)解析
1. 计算：2015×2015−2014×=2013 ( ).
【分析】(2014+×1) 201−5 201×4 2013
=×2014 −2015 ×2+014 2013 2015
=×2014 (−20+15 20=13) 2015 6043
2. 在下面算式的方框中填入适当的符号(只能填加、减、乘、除这四种符号)，使得算
式成立.
(6 2) (3 4) (6 2)=25
【分析】(6×2)−(3−+4×)=(6 2) 25
3. 用 1~9这九个数字组成三个三位数 a,b,c(每个数字能且只能使用一次)，则a+−b c的
最大值为( ).
【分析】(a+b)最大，c最小，9和8都在百位，同理7和6都在十位，4和5都在个位，c
就为123，975+864-123=1716.
4.甲有一张 40 厘米×30 厘米的长方形纸片，他从上面剪下来 10 张 5 厘米×5 厘米的小
纸片，得到右图.这 10张小纸片的边与长方形的对应边互相平行，而且它们之间不会
互相重叠.那么，剩下图形的周长为( )厘米.
【分析】每剪一个小正方形，周长增加2×5=10，所以C=(40×++×3×=0) 2 2 5 10 2405.小明在右图中的黑色小方格内，每次走动，小明都进入相邻的小方格(如果两个小方
格有公共边，就称它们是相邻的)，每个小方格都可以重复进入多次.经过四次走动后，
小明所在的不同小方格有( )种.
【分析】如图，第4步能到的格子数为：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25种.
2
1 2 1 2
1 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2
4
3 4 4
3 2 3 4 3 4 3 4
3 2 3 2 3 4 3 4 3 4 3 4
3 2 3 2 3 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 4
3 2 3 2 3 4 3 4 3 4 3 4
3 2 3 4 3 4 3 4
3 4 3 4
4
6.小胖在编一本书的页码时，一共用了 1101 个数字.已知页码是从 1 开始的连续自然
数.这本书一共有( )页.
【分析】先估算，1~99有189个数字，那么三位数有(1101−÷189=) 3 304(个)，
那么这本书一共有99+304=403(页).7.如图是用棋子摆成的“巨”字.按以下规律继续摆下去，一共摆了 16 个“巨”字.那么共
需要( )枚棋子.
【分析】第一个“巨”含有10个枚棋子；第二个含有18枚棋子；第三个含有26枚棋子.
发现每次都是增加 8 枚旗子，则第十六个图形有10+×1=5 8 130枚棋子，所有棋子的和为：
(10+÷×130=) 16 2 1120（枚）.
8.春天到了，学校组织学生春游.但是由于某种原因，春游分为室内活动与室外活动.
参加室外活动的人比参加室内活动的人多 480人.现在把室内活动的 50人改为室外活
动，这样室外活动的人数正好是室内活动人数的 5 倍.则参加室内、室外活动的共有
( )人.
【分析】法一：和差倍分析
室外
原
室内
480人
现 室外
室内
580人
室内活动50人改为室外活动后，室外人数比室内人数多580人.设室内人数为1份，则室外
人数为5份，580人占4份.可求出一份量为：580÷4=145，所以总人数为：145×+(1 5)=870
（人）.
法二：方程
设原来室内有x人，则室外有（480+x）人.可列方程530+x=5(−x 50)，解得
x=195，所以总人数为(480+195)+195=870（人）.9.如图，5×5 的方格中有三个小方格已经染黑.现在要将一个 1×3 的白长方形(不能选已
经染黑的方格)染黑，要求其不能与已经染黑的方格产生公共边或者公共点.有
( )种选法.
【分析】如下图，两条竖直方向各有 3 种染法，两个水平方向各有 1 种染法，所以共有：
3+3+1+1=8（种）.
3 3
10.一次数学竞赛有 5 道题目，每道题目的分值都是一个不同的自然数.题号越小的题
目所占的分值越少(比如第 1题的分值小于第 2题的分值).小明做对了所有的题目，他
前 2题的总得分为 10分，后 2题的总得分为 18分.那么小明总共得了( )分.
【分析】根据题目要求，第四题至少比第二题高两分.若第一题 1 分第二题 9 分，则第四题
至少为11分，不满足第五题分数大于第四题；若第一题2分第二题8分，则第四题至少为
10 分，不满足第五题分数大于第四题；若第一题 3 分第二题 7 分，则第四题至少为 9 分，
不满足第五题分数大于第四题；若第一题4分第二题6分，则第四题和第五题分别为8分和
10分，满足要求，此时第三题为7分.所以这五题的总分为10+7+18=35分.
11.如果一个正整数 x 满足：3x 的位数比 x 的位数多(比如 343 的位数为 3,3×343=1029
的位数为 4)，那么这样的 x 称为“中环数”.将所有的“中环数”从小到大排成一排，其
中第 50个“中环数”是( ).
【分析】一位中环数：4~9共6个；两位的中环数34~99共66个.所以第50个中环数为第
44个两位中环数，为34+−(44 1)=77.12.将 1~9 填入右表，每个数字使用一次，每个小方格填入一个数，其中 1、2、3、4
已经填好了.如果两个小方格有一条公共边，我们就称这两个小方格相邻.如果与填 9
的小方格相邻的小方格内的数之和为 15，那么与填 8 的小方格相邻的小方格内的数
之和为( ).
1 3
2 4
【分析】9 不能填 A，因为 1+3+E 不可能为 15，同理不能填 B,C,E，所以 9 不能填 B,C,E，
9只能填在D,所以E=8，与他相邻的即5+6+7+9=27
1 A 3
B E D
2 C 4
13.一个骰子 6 个面上分别写着数字 1、2、3、4、5、6，每次投掷骰子后都会将面朝
上的数字记录下来.任意一个数字一旦出现三次，整个投掷过程就结束了.小明一共投
掷了 12次，他的投掷过程就结束了，所有记录下的数之和为 47.那么他最后一次投掷
记录下的数字为( ).
【分析】3+2×4+1=12次，又因为1+2+3+4+5+6=21，21×2=42，说明出现了三次的数比只
出现一次的数打47-42=5，在这六个数里面只能是6−1=5.所以出现了三次的数也就是最后
出现的数为6.
14.大正方形内有两个小正方形，这两个小正方形可以在大正方形内任意移动(小正方
形的任何部分都不能移出大正方形，小正方形的边必须与大正方形的边平行).如果这
两个小正方形的重叠面积最小为 9，最大为 25，并且三个正方形(一个大正方形和两
个小正方形)的边长之和为 23，则三个正方形的面积之和为( ).
【分析】最大重叠面积即为最小正方形的面积为 25.设中正方形的边长为 x，则打正方形的
边长为x+−5= 3+ x 2.所以根据三种边长之和列出如下方程5+x+x+2=23，解得x=8，
所以三个正方形的面积之和为：52 +82 +102 =189.15.一共 99人参加了某个数学竞赛，比赛分为三场，分别考察参赛者几何、数论、组
合的能力.小明在数论考试中得了第 16 名，在组合考试中得了第 30 名，在几何考试
中得了第 23名，并且小明在三场考试中没有与任何人并列(每门考试的满分不一定是
100 分).最后的总名次是将三次考试的分数相加，从高到低排列后得到的.如果我们用
第 A名表示小明可能得到的最好总名次(A越小表示总名次越好)，用第 B名表示小明
可能得到的最差总名次，则100A+B=( ).
⎧数论前15名，在组合和几何考试中倒数
⎪
【分析】当
⎨
组合前29名，在数论和几何考试中倒数时，小明的名次最好，即A=1；
⎪几何前22名，在数论和组合考试中倒数
⎩
当数论前15名，组合前29名，几何前22名为不同的人，且都排在小明的前面时，小明的
名次最差，即B=15+29+22+1=67；
所以100A+B=167.
16.我们考察可以表示为10×+n 1的数，其中 n 为一个正整数，比如：11=+×10 1 1，
331=×1+0 33 1.如果这样的数不能表示为两个较小的形如10×+n 1的数的乘积(这两个
较小的数可以相等)，我们就将这个数称为“中环数”.比如 341=11×31，它可以表示为两
个形如10×+n 1的数的乘积，所以它不是“中环数”.又比如 11，它无法表示为更小的两
个形如10×+n 1的数的乘积，所以它是“中环数”.那么在 11、21、31、…、991中，“中
环数”有( )个.
【分析】从11~991共99个数，其中不为中环数的有：
⎧11×11,11×21,11×31L L 11×81 共8个
⎪
⎨ 21×21,21×31,21×41 共3个 ，所以其中不是中环数的有 12 个，则剩下的
⎪ 31×31 共1个
⎩
99−12=87个为中环数.17.右面的两幅图表示两个箭头画在不同的 4厘米×4厘米方格内的情况.现在将这两个
箭头画在同一副 4 厘米×4 厘米的方格内，则这两个箭头的重叠部分的面积为
( )平方厘米.
【分析】重叠的部分如下图所示，面积为6.
18.有 A、B、C三类人共 25人.A类人永远说真话，B类人永远说假话，C类人永远间
隔着说真话和假话(比如某个 C类人这次说真话了，那么他说的下一句话肯定为假话，
再下一句话又是真话).
牧师问每个人：“你是不是 A类人？”17个人回答“是”.
牧师又问每个人：“你是不是 C类人？”12个人回答“是”.
牧师又问每个人：“你是不是 B类人？”8个人回答“是”.
这 25人中，有( )人是 C类人.
【分析】设 A 类人人数为 A，B 类人人数为 B，C 类说真→假→真的人数为C ，C 类说假
1
⎧第一个问题答“是”的人有：A、B和C ⎧A+B+C =17
2 2
⎪ ⎪
→真假的人数为C ，则⎨ 第二个问题答“是”的人有：B和C ，所以⎨ B+C =12 ，解
2 2 2
⎪ 第三个问题答“是”的人有：C ⎪ C =8
⎩ 2 ⎩ 2
⎧A=5
⎪
得：⎨B=4 ，所以C类人有25−5−4=16人.
⎪
C =8
⎩ 219.小明希望 1~12 这 12 个数字排在一个圆周上，使得任意相邻的两个数字之差(大减
小)为 2或 3.那么不同的排法有( )种(旋转后相同的排法算同一种).
【分析】共两种排法
7 3 1 4 6 3 1 4
8 2 8 2
11 5 11 5
9 12 10 6 9 12 10 7
20.如图，将 1、2、…、25 填入表中，每个小方格内填入一个数字，所有数字能且只
能被使用一次，其中一些数已被填入.要求，每个小方格内的数都等于与其相邻(有公
共边或者公共定点的就称为相邻)的两个小方格内数之和(除 1、2的小方格).比如：与
4相邻的有 1、3，符合题意.则“？”处所填数字为( ).
21
6 5 4
23 7 1 3 ?
9 8 2
25 24 22
【分析】填出结果如下图，那么？是14.
19 11 15 20 21
13 6 5 4 17
23 7 1 3 14
16 9 8 2 12
25 24 18 10 22
