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高二年级 12 月教学交流考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知数列 ， ， ， ， ，…， ，…，则该数列的第 项是（ ）
A． B． C． D．
2．在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
3．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个不同的数，则这两个数都是奇数的概率是（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6
4．数列 满足 ， 则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段AB的中点坐标是（ ）
A．（2，6） B．（3，2） C．（6，4） D．（4，6）
6．如图所示，在正三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆E： （a＞b＞0）的左焦点为F ，y轴上的点P在椭圆以外，且线段PF 与椭圆E
1 1
交于点M．若 ，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．8．阅读材料：空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的平面 的方程
为 ．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为
，直线 是平面 与平面 的交线，则直线 与平面 所
成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
全部选对得6分，部分选对得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．若直线的斜率不存在且过点 ，则直线方程为
B．直线 过定点
C． 是直线 与直线 垂直的充要条件
D． 是直线 与直线 平行的充要条件
10．如图所示，在棱长为1的正方体 中， 是线段 上动点，则下列说法正确的是（
）
A．平面 平面
B． 的最小值为
C．若P为线段 的中点，则平面 与平面 夹角余弦值为D．若 是线段 的中点，则 到平面 的距离为
11．双曲线具有如下光学性质：如图 是双曲线的左，右焦点，从右焦点 发出的光线 交双曲线右
支于点 ，经双曲线反射后，反射光线 的反向延长线过左焦点 ．若双曲线 的方程为 ，则
（ ）
A．双曲线的焦点 到渐近线的距离为
B．若 ，则
C．当 过点 时，光线由 所经过的路程为8
D．反射光线 所在直线的斜率为 ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设 为抛物线 的焦点，则抛物线的准线方程为；若抛物线上一点 满足 ，那么点
的纵坐标为_______．
13．已知 为数列 的前 项和， ，则 _______．
14．已知点P是椭圆 上一动点，过点P作 的切线PA、PB，切点分别
为A、B，当 最小时，线段AB的长度为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知圆C的圆心在直线 上，且经过点 ， ．
（1）求圆C的方程；（2）求圆C与圆M： 的公共弦长．16．某部门组织甲、乙两人同时破译一个密码，每人能否破译该密码相互独立．已知甲、乙各自独立破译
出该密码的概率分别为 ， ．
（1）求他们破译出该密码的概率；
（2）求甲、乙至多有一人破译出该密码的概率；
（3）现把乙调离，甲留下，并要求破译出该密码的概率不低于80%，那么至少需要再增添几个与甲水平
相当的人？
17．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要
求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米．
（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线
的方程；
（2）经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求 的值；
（3）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
18．在 中， ， ， ， ， 分别是 ， 上的点，满足
， 且 ． 将 沿 折 起 到 的 位 置 ， 使 ， 存 在 动 点 使
如图所示．
（1）求证： 平面 ；
（2）设直线 与平面 所成线面角为 ，求 的最大值．
19．“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含
丰富的数学知识，例如：如图用一张圆形纸片，按如下步骤折纸：
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F，此时圆周上与点F重合的点记为A；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕和越来越多的点P．
现取半径为8的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为 ，按上述方法折纸．以线段FE的中点为原点，
的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程：
（2）若点Q为曲线C上的一点，过点Q作曲线C的切线 交圆 于不同的两点
M，N．
（ⅰ）试探求点Q到点 的距离是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理
由；
（ⅱ）求 面积的最大值．高二年级 12 月教学交流考试数学试题参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D C C B C C B ACD ABD ABD
二、填空题
12． 4 13． 14．
三、解答题
15．（1）记点 ，线段AB的中垂线方程为：
圆C经过A，B，所以圆心C在直线 上，又因为圆心C在直线 上
所以圆心C的坐标为（2，－2）
半径
所以圆C的方程为：
（2）设圆C与圆M相交与E，F两点，则直线EF的方程为：
即：
圆心M到直线EF的距离 ，
所以， ，即公共弦长为 ，
16．记“甲破译出密码”为事件A，“乙破译出密码”为事件B，则 ．
（1）“他们破译出该密码”的对立事件为“他们没有破译出该密码”，即“甲没有破译出该密
码 ” 与 “ 乙 没 有 破 译 出 该 密 码 ” 同 时 发 生 ， 所 以 他 们 破 译 出 该 密 码 的 概 率 为
．
（2）“至多有一人破译出密码”记为事件C．
（3）设共需要 个与甲水平相当的人，则有 ．
即 ，又
，数列 是递减数列，所以 ．
故至少需要再增添3个与甲水平相当的人．
17．（1）如图所示．依题意，设该抛物线的方程为 ，
因为点 在抛物线上，所以 ，
所以该抛物线的方程为 ；
（2） ，焦点 ，
设 ,则 ,
由 解得, ,
所以 ，（或： ）
则 ；
（3）设车辆高为h，则 ，故 ，
代入抛物线方程 ，得 ，解得 ，
所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米．
18．（1）因为 ，则 ，
且 ，可得 ，
将 沿DE折起到 的位置，始终有 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
由 平面 ，可得 ，
且 平面BCDE，
所以 平面BCDE
（2）由（1）可知， ，CD，CB两两垂直，翻折后 ，
由勾股定理得 ，
以C为原点，直线 分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ，可知
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
且 ，
因为直线BM与平面 线面角为 ，则
，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为 ．
19．（1）由题意可知： ，
则 ，
可知动点P的轨迹是以E，F为焦点的椭圆，
且 ， ， ，所以曲线C的方程 ．
（2）①联立方程 ，消去y可得 ，
因为直线 与曲线C相切，则 ，
整理可得 ，
则原方程为 ，解得 ，
将 代入直线 ，可得 ，可知
则 ，为定值；
（2）由题意可知：圆 的圆心为 ，半径 ，
因为 到直线 的距离 ，
可得 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
则 面积 ，
（或： ）可知当 ，即 时，
取到最大值8．
