文档内容
数学参考答案及评分细则
本套试卷以 年高考数学试卷为依据 深研命题趋势 结合高三学生的学情 从考查
2024 , , ,
知识的基础性 全面性上下功夫 综合地考查高中数学知识 适合高三复习使用
、 , , 。
1. 立足数学核心素养
本套试卷涵盖了数学的六大核心素养 数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数
——— 、 、 、 、
学运算和数据分析 确保全方位考查学生的数学能力 例如 第 题考查了函数的切线问
, 。 , 8
题 通过两条不同曲线的公切线问题考查了学生逻辑推理和数学运算的数学核心素养 第
, ;
题考查了统计的相关问题 通过实际问题的讨论考查了学生数学建模和数学运算的数学
14 ,
核心素养
。
2. 考查基本方法和基本知识点
本套试卷以全面考查学生的双基为出发点 突出了对主干知识的考查 强调对基本知识
, ,
的考查 例如 第 题考查了向量的运算 第 题考查了立体几何中台体的体积问题 第
, , 4 ; 6 ;
题考查了数列的性质与求和 第 题考查了函数的求导与求值等 都是高中阶段的基本
12 ; 16 ,
知识和方法
。
3. 命制试题亮点
本套试卷中的第 题是整套试题的亮点题目 其中第 题利用两个函数之间的抽
11,19 , 11
象关系 从而获得每一个函数的具体性质 本题很好地考查了学生的计算能力和分析能力
, , ;
第 题考查新定义下与数列有关的新颖试题 考查学生的学习能力和分析能力 是目前十
19 , ,
分流行的一种考题形式 此题对学生的要求较高 能够很好地体现选拔作用
, , 。
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案
A C D C B B B C AD AB ACD
. 解析:根据题意z i i 1+i -1+i 1 1 所以z 1 1 则z的虚部
1A ,= = = =- + i, =- - i,
1-i 1-i 1+i 2 2 2 2 2
为 1 故选
- , A.
2
. 解析:根据题意 q是p的子集 qx mpx 或x 所以m 故选
2C , , :≥ ,:>1 <-1, >1, C.
. 解析:根据题意 计算可得甲同学的每周自由活动时间平均值为 . 乙同学的每周自由活动时
3D , 162,
间平均值为 . 甲同学每周自由活动时间中位数为 乙同学每周自由活动时间中位数为 .
173, 15, 175,
故选
D.
. 解析:根据题意 B→E E→D B→E E→C C→D B→E E→C B→E C→D B→E E→C
4C , · = · + = · + · = · cos0°=
1 故选
, C.
4
数学·调研卷 答案 第 页(共 页)
| Ⅱ 1 8
{#{QQABIQiEggggAABAARhCUwEACEGQkgACAQgOxFAEMAIByBFABAA=}#}. 解析:根据题意 设圆M 的半径为r 所以 MO r MO r 所以 MO
5B , , 1 =5- , 2 =1+ , 1 +
x2 y2
MO OO 根据椭圆的定义可得点M的轨迹方程为 故选
2 =6> 1 2 =2, + =1, B.
8 9
. 解析:根据题意 上 下底面的面积比为 可得上 下底面的半径比为 设该圆台上底面的
6B , 、 1∶4, 、 1∶2,
半径为r下底面的半径为 r母线长为l因为圆台的侧面积为 所以1 l r r 即
, 2, , 6π, × × 2π+4π =6π,
2
lr 又l2 r2 2 求解可得r l 所以该圆台的体积V 1
=2, = + 3 , =1, =2, = × 3×
3
2 2 73 故选
π×1+π×2+π×1×2 = π, B.
3
. 解析:根据题意fx a有两个解等价于函数fx 的图象与直线y a有两个交点 由于函数
7B ,()= = ,
fx 的图象不易画出 所以此题可转化为函数gx 的图象与直线y x a有两个交点 其中函
, =- + ,
x3 x x
数gx + +2,≤0,根据图象 如图 分析 可得a 故选
= xx ( ) , ≤2, B.
log2 ,>0,
. 解析:根据题意 设直线y kx b与曲线y x 的切点为x x 1 与曲线y x -2 的切点为
8C , = + =e-1 1,e -1 , =e
x x 2-2 函数y x 的导函数为y' x 函数y x -2 的导函数为y' x -2 所以两曲线的切线分别
2,e , =e-1 =e, =e =e ,
为y x 1 x 1 x x y x 2-2 x 2-2 x x 两 条 切 线 对 应 相 同 可 得
-e +1=e - 1 , -e =e - 2 , ,
x
1
x
2-2 x
e =e , 解得 1=-ln2,所以可得切线方程为y 1x 1 1 则
1- x 1 e x 1 -1=(1- x 2)e x 2-2 , x 2=2-ln 2, = 2 + 2 ln2- 2 ,
b 1 1 故选
= ln2- , C.
2 2
. 解析:根据题意 函数fx 关于直线x π轴对称 所以f π π φ 所以
9AD , () = , =cos2× + =±1,
3 3 3
π φ k k Z 即 φ k 2πk Z 又因为 φ 可得 φ π 故选项 正确 函数
2× + = π,∈ , = π- ,∈ , 0< <π, = , A ;
3 3 3
gx x π π
=cos2 + +
6 3
数学·调研卷 答案 第 页(共 页)
| Ⅱ 2 8
x 2π x π 故选项 错误 当x π 2π 时
=cos2 + =-sin2 + , B ; ∈ , ,
3 6 6 3
x π π 3π 所以函数gx 在 π 2π 上单调递增 故选项 错误 因为函数fx
2 + ∈ , , , , C ; =
6 2 2 6 3
x π 令t x πx 则t π7π 根据余弦函数图象可知 选项 正确 故选
cos2 + , =2 + ,∈ 0,π , ∈ , , , D , AD.
3 3 3 3
{#{QQABIQiEggggAABAARhCUwEACEGQkgACAQgOxFAEMAIByBFABAA=}#}p
. 解析:根据题意 因为 PF 所以 解得p 故选项 正确 当p 时y2
10AB , =5, 4+ =5, =2, A ; =2 , =
2
y2 x
=4 ,
x 点P的坐标为 所以直线PF的方程为y 4 x 联立 整理得y2
4 , (4,4), = 3 -1 , y = 4 x -1 , -
3
y 所以点Q的坐标为 1 所以 PQ 25 故选项 正确 设 MF m NF n
3 -4=0, ,-1 , = , B ; = , = ,
4 4
所以1 1 2 1 m n解得m n 所以 MN m n 故选项 错误 对于抛物
m+n=p= , =2 , =6,=3, = + =9, C ;
2
p
线y2 px OF 所以 OF p 又 MN p 故选项 错误 故选
=2 , = , 4 =2 , ≥2 , D , AB.
2
. 解析:对于fx 因为f 3 x 为奇函数 所以f 3 x f 3 x 即f 3 x
11ACD (), - , - =- + , - +
2 2 2 2
f 3 x 所以fx 的图象关于点 3 中心对称 则f 3 故选项 正确 对于gx
+ =0, () ,0 , =0, A ; (),
2 2 2
因为g x 为奇函数 所以 g x g x 所以gx 的图象关于点 对称gx
(1+ ) , - (1+ )= (1- ), () 1,0 ,()=
f'x f 3 x
(), -
2
数学·调研卷 答案 第 页(共 页)
| Ⅱ 3 8
' f 3 x
= - +
2
' 即 f' 3 x f' 3 x 即 g 3 x
, - - =- + , - - =
2 2 2
g 3 x 所以g 3 x g 3 x 所以gx 的图象关于直线x 3对称 但是不能确定
- + , - = + , () = ,
2 2 2 2
g 3 的值 故选项 不正确 结合gx 的图象关于点 对称 所以g 周期T
, B ; () (1,0) , (1)=0, =4×
2
3 所以gx gx g g 故选项 正确 由g x g x 所
-1 =2, ()= (+2),(3)= (1)=0, D ; (1- )=- (1+ ),
2
以f' x f' x 所以 f x f x k即f x f x k 令x
(1- )=- (1+ ), - 1- =- 1+ + , 1+ - 1- = , =
则k 所以fx 的图象关于直线x 对称 又fx 的图象关于点 3 对称 所以fx 的
0, =0, () =1 , () ,0 , ()
2
图象关于直线x 对称 所以f 5 f 3 故选项 正确 故选
=2 , = =0, C , ACD.
2 2
a a a a a
. 解析:根据题意S 11 1+ 11 11×26 a 解得a 则S 6 1+ 6
1215 ,11= = =116=33, 6=3, 6= =
2 2 2
6× 2+3 .
=15
2
x
.7 解析:根据题意 x 2 π 3 即 x x π 3
13 ,cos π- +2cos + = , -cos +1+cos + = ,
7 2 4 2 2 2
即 x x 1 即 x x 1 所以 x x2 1 所以 x x 3
-cos -sin = , cos +sin =- , cos +sin = , 2sin cos =- ,
2 2 4 4
x x x
cos
x
-sin
x 2
=1+
3
=
7
,
所以
cos
x
-sin
x
=-
7
,
则
tan
x
+
π
=
tan +
x
1
=
sin
x
+cos
x=
4 4 2 4 1-tan cos -sin
1
-
2 7.
=
7 7
-
2
{#{QQABIQiEggggAABAARhCUwEACEGQkgACAQgOxFAEMAIByBFABAA=}#}. 解析:根据题意 分 种情况讨论 小朋友向后走一次 步 向前走 次 每次 步 有 1
14105 , 4 :①, 2 , 4 , 1 , C5=
种活动方式 小朋友向后走 次 每次 步 向前走 次 每次 步 有 种活动方式
2
5 ;②, 2 , 2 , 3 , 2 , C5=10 ;③,
小朋友向后走 次 一次 步 一次 步 向前走 次 次 步 次 步 有 种活动方式
2 3
2 , 2 , 1 , 3 ,2 2 ,1 1 , C5A3=60 ;
小朋友向后走 次 每次 步 向前走 次 次 步 次 步 有 种活动方式 则一共
2 2
④, 2 , 1 , 3 ,1 2 ,2 1 , C5C3=30 ,
有 种不同的活动方式.
5+10+60+30=105
.解:()因为AB AD ,所以四边形ABCD和四边形ABCD 都为正方形,可得AC BD ,
15 1 = =2 1 1 1 1 1 1⊥ 1 1
……………………………………………………………………………………………………… (分)
1
又因为BB 平面ABCD ,AC BB,BB BD B,所以AC 平面BBDD,……
1⊥ 1 1 1 1 1 1⊥ 1 1∩ 1 1= 1 1 1⊥ 1 1
………………………………………………………………………………………………… (分)
3
又AC 平面ABC,所以平面ABC 平面BDDB.…………………………………… (分)
1 1⊂ 1 1 1 1⊥ 1 1 5
()如图,取AD的中点F,连接EF,AF,设EF与BD的交点为M,AC 与BD 的交点N,连接
2 1 1 1 1 1
MN,BN,
分析可得,EF ,AC ,AF CE ,………………………………………… (分)
=2 1 1=22 1 = 1 = 17 8
所以MN AC,AB BC ,所以BN AC,
⊥ 1 1 1 = 1=25 ⊥ 1 1
所以 BNM为平面ABC 与平面ACE所成的角.……………………………………… ( 分)
∠ 1 1 1 1 10
2
BN ( ) 2 ( ) 2 ,BM 3 32,MN ( ) 2 2 66,
= 25 - 2 =32 = ×22= = 17 - =
4 2 2 2
33 9
所以 BNM
BN2
+
MN2
-
BM2 18+
2
-
2 5 33,
cos∠ = BN MN = =
2× × 66 33
2×32×
2
所以平面ABC 与平面ACE所成角的余弦值为5 33.………………………………… ( 分)
1 1 1 1 13
33
.解:()f'x x2 x x x ,……………………………………………… (分)
16 1 =3 +4 +1= 3 +1 +1 2
由f'x ,即 x x ,解得x 1或x ,
>0 3 +1 +1 >0 >- <-1
3
由f'x ,即 x x ,解得 x 1,…………………………………… (分)
<0 3 +1 +1 <0 -1< <- 4
3
所以函数fx 在 , 上单调递增,在 , 1 上单调递减,在 1, 上单调递增,
-∞ -1 -1- - +∞
3 3
所以f(x)在x 处取得极大值f ,在x 1处取得极小值f 1 4.……
=-1 -1 =0 =- - =-
3 3 27
………………………………………………………………………………………………… (分)
7
数学·调研卷 答案 第 页(共 页)
Ⅱ 4 8
{#{QQABIQiEggggAABAARhCUwEACEGQkgACAQgOxFAEMAIByBFABAA=}#}()x,x 为方程f'x x2 x m的两个解,
2 1 2 =3 +4 +1=
即为 x2 x m 的两个解,则Δ 2 m ,可得m 1, ……… (分)
3 +4 +1- =0 =4-4×3× 1- >0 >- 9
3
m
由根与系数的关系可得x x 4,xx 1- , ……………………………………… ( 分)
1+ 2=- 1 2= 11
3 3
所以fx fx x3 x2 x x3 x2 x
1 + 2 = 1+2 1+ 1+ 2+2 2+ 2
x x x x 2 xx x x 2 xx x x 4.…………… ( 分)
= 1+ 2 1+ 2 -3 1 2 +2 1+ 2 -2 1 2 + 1+ 2=- 15
27
.解:() 2C A B,由正弦定理得c2 ab,……………………………………………… (分)
17 1sin =sin sin = 1
结合题设,所以b2 ab a2 ,即a b b a ,所以b a,c a,……………… (分)
- -2 =0 + -2 =0 =2 =2 3
所以 C
a2
+
b2
-
c2
3
a2
3.…………………………………………………………… (分)
cos = ab =a2= 4
2 4 4
()因为 C 3,所以 C 7,
2 cos = sin =
4 4
所以S 1ab C 7ab 7,所以ab ,……………………………………………… (分)
ABC
△ = sin = = =2 6
2 8 4
根据()可知b a,可得a ,b ,又c2 ab,所以c ,………………………………… (分)
1 =2 =1 =2 = =2 8
所以 ABC的周长为 .…………………………………………………………………… (分)
△ 3+2 9
C C
()因为 C 3,所以 2 3,所以 2,
3 cos = 1-2sin = sin =
4 2 4 2 4
C
因为CD为内角C的平分线,所以S S S ,即1 ab C 1 CD b 1
ABC ACD BCD
△ = △ + △ × sin = × × sin + ×
2 2 2 2
C
CD a ,…………………………………………………………………………………… ( 分)
× sin 12
2
可得 ab (a b),所以1 1 7,………………………………………………………… ( 分)
7 =4 + a+b= 13
4
又由()中b a,可得1 1 7,解得a 6,故b 12,
1 =2 a+a= = =
2 4 7 7
则a b 18. …………………………………………………………………………………… ( 分)
+ = 15
7
.解:()当直线l的斜率不存在时,点P c,
b2
,Q c,
b2
,所以 PQ 2
b2
,………… (分)
18 1 - a - -a =a 1
所以2
b2
37
c
,即 b2 ac,所以 c2 a2 ac,即 c2 ac a2 , … (分)
a= 27 =3 27 - =3 27 -3 -27 =0 3
7
所以 e2 e ,即 e e ,解得e 7e 27舍去 .……… (分)
27 -3-27=0 7 +2 2-7 =0 = =- 5
2 7
c
()由()可得,e 7,所以可设a k,c k,计算可得b k,点F(c,),
2 1 =a= =2 =7 =3 2 0
2
b
该双曲线的一条渐近线的方程为y x,即bx ay ,
=a - =0
数学·调研卷 答案 第 页(共 页)
Ⅱ 5 8
{#{QQABIQiEggggAABAARhCUwEACEGQkgACAQgOxFAEMAIByBFABAA=}#}bc
利用点到直线的距离公式可得 MF b,………………………………………… (分)
2 =b2 a2 = 7
+
又 OF c,所以 OM a,S 1ab ,可得1 k k ,所以k ,…… (分)
OMF
2 = = △ 2= =3 ×2 ×3 =3 =1 9
2 2
因此a ,b ,c ,可得该双曲线的方程为
x2 y2
.……………………………… ( 分)
=2 =3 =7 - =1 10
4 3
()由()可知,A( ,),B(,),设P(x,y),Q(x,y),
3 2 -20 20 1 1 2 2
y y
则直线PA:y 1 (x ),直线QB:y 2 (x ),
-0=x +2 -0=x -2
1+2 2-2
y
y 1 (x ),
-0=x +2
联立 1+2
y
y 2 (x ),
-0=x -2
2-2
数学·调研卷 答案 第 页(共 页)
| Ⅱ 6 8
y x x x y x
两式相除可得 1 2-2 +2,所以 +2 2 1+2 ,………………………… ( 分)
1=x × y ×x x =y x 12
1+2 2 -2 -2 1 2-2
当直线PQ的斜率为 时,不满足题意,所以设直线PQ:x my ,
0 = -7
则x my ,x my ,
1= 1-7 2= 2-7
y x y my myy y
代入可得 2 1+2 2 1+2-7 1 2+ 2-7 2,…………………………… ( 分)
y
1
x
2-2
=y
1
my
2-2-7
=my
1
y
2- 2+7
y
1
13
x my ,
= -7
联立
x2 y2 ,
- =1
4 3
m
y y 67 ,
1+ 2= m2
整理得 m2 y2 my ,所以 3 -4
3 -4 -67 +9=0
yy 9 ,
1 2= m2
3 -4
………… ( 分)
14
所以 y y myy,
3 1+ 2 =27 1 2
37y 117y
x y x myy y 1+ 2- 2
则 +2 2 1+2 1 2+ 2-7 2 14 14 ,
x =y x =myy y=
-2 1 2-2 1 2- 2+7 1 117y 37y
-2- 1+ 2
14 14
37
x
所以 +2 14 ,解得x 47,
x = =-
-2 117 7
-2-
14
所以点N在直线x 47上.………………………………………………………………… ( 分)
=- 17
7
.解:()设等差数列a
n
的公差d ,由题意可得S ,即 a 2023×2022d ,
19 1 >0 2023=0 20231+ =0
2
所以a d ,即a ,所以a d,……………………………………………… (分)
1+1011 =0 1012=0 1013= 2
n
又d ,a ,由 a
n
可得a a … a 1,………………………… (分)
>0 1012=0 i∑ =1 1013+ 1014+ + 2023= 3
=1 2
{#{QQABIQiEggggAABAARhCUwEACEGQkgACAQgOxFAEMAIByBFABAA=}#}d d
所以1011 +1011 1,解得d 1 ,
= =
2 2 1011×1012
由a 可得a d 1 .…………………………………………………… (分)
1012=0 2023=0+1011 = 5
1012
a,b,c,d,e
()设A ,a,b,c,d,e,f,g,h,m,n , 且a b c d e f g h m
2 =f,g,h,m,n ∈ -11 + + + + + + + + +
n ,
=0
若任意改变矩阵A的行的次序或列的次序,或把A中的每一个数都换成其相反数,得到新矩阵
A* ,则A* T(),
∈ 5
不妨设r A ,c A ,c A ,c A ,
1 ≥0 1 ≥0 2 ≥0 3 ≥0
由定义可知,r A kA ,c A kA ,c A kA ,c A kA ,
1 ≥ 1 ≥ 2 ≥ 3 ≥
所以 k(A)r A c A c A c A (a b c d e) (a f) (b g) (c h)
4 ≤ 1 + 1 + 2 + 3 = + + + + + + + + + +
………………………………………………………………………………………………… (分)
7
(a b c d e f g h m n) (a b c) m n a b c m n a b
= + + + + + + + + + + + + - - = + + - - ≤ + +
c m n ,…………………………………………………………………………… (分)
+ + ≤5 9
当且仅当a b c ,m n 时取等号,则kA 5,kA 的最大值为5. ……… ( 分)
= = =1 = =-1 ≤ 10
4 4
a,a,…,a,a ,…,a
t t t
()设A 1 2 +1 2-1 ,a , i ,,…,t ,
3 =a ,a ,…,a ,a ,…,a
i
∈ -11 =12 4-2
2
t
2
t
+1 3
t
-1 3
t
4
t
-2
r A r A ,c A c A … c A … c A ,
1 + 2 =0 1 + 2 + +
t
+ + 2
t
-1 =0
由()不妨设r A ,c A ,c A ,…,c A ,
2 1 ≥0 1 ≥0 2 ≥0
t
≥0
由定义可知,r A kA ,c A kA ,c A kA ,…,c A kA ,
1 ≥ 1 ≥ 2 ≥
t
≥
t t t
相加可得t kA r A c A c A … c A 4-2a a 4-2a …… ( 分)
+1 ≤ 1 + 1 + 2 + +
t
=i∑
i
+i∑
i
-i∑t
i
13
=1 =1 =3
t t
a 4-2a t t t t , ………………………………………… ( 分)
=i∑
i
+i∑t
i
≤ + 4-2-3+1 =2-1 15
=1 =3
t
当且仅当a a … a ,且a a … a 时取等号,所以kA 2-1,
1= 2= = t =1 3 t = 3 t +1= = 4 t -2=-1 ≤t
+1
t
kA 的最大值为2-1.………………………………………………………………………… ( 分)
t 17
+1
数学·调研卷 答案 第 页(共 页)
| Ⅱ 7 8
{#{QQABIQiEggggAABAARhCUwEACEGQkgACAQgOxFAEMAIByBFABAA=}#}编写细目表
.能力要求
1 :
.抽象概括能力 .推理论证能力 .运算求解能力
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
.空间想象能力 .数据处理能力 .应用意识和创新意识
Ⅳ Ⅴ Ⅵ
.核心素养
2 :
数学抽象 逻辑推理 数学建模 直观想象 数学运算 数据分析
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
能力要求 核心素养 难
题号 题型 分值 知识点
度
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
选择题 分 复数的运算 易
1 5 √ √ √ √
选择题 分 充分必要条件 易
2 5 √ √ √ √
统计表中的分析与
选择题 分 易
3 5 应用 √ √ √ √
选择题 分 平面向量数量积 易
4 5 √ √ √ √
选择题 分 椭圆的轨迹方程 中
5 5 √ √ √ √
选择题 分 台体的体积 中
6 5 √ √ √ √
选择题 分 函数的图象 中
7 5 √ √ √ √ √
选择题 分 导数的几何意义 难
8 5 √ √ √ √ √
选择题 分 三角函数的图象 易
9 6 √ √ √ √
选择题 分 抛物线的性质与应用 中
10 6 √ √ √ √
选择题 分 抽象函数的应用 难
11 6 √ √ √ √ √ √
填空题 分 等差数列性质与求和 易
12 5 √ √ √ √
填空题 分 三角函数求值 中
13 5 √ √ √ √
实际问题中的排列
填空题 分 难
14 5 组合 √ √ √ √
面面垂直及二面
解答题 分 易
15 13 角问题 √ √ √ √ √ √
解答题 分 函数与导数的应用 中
16 15 √ √ √ √
解答题 分 解三角形 中
17 15 √ √ √ √ √
直线与双曲线的综合
解答题 分 难
18 17 问题 √ √ √ √
与数列有关的新定义
解答题 分 难
19 17 问题 √ √ √ √ √ √
数学·调研卷 答案 第 页(共 页)
Ⅱ 8 8
{#{QQABIQiEggggAABAARhCUwEACEGQkgACAQgOxFAEMAIByBFABAA=}#}
