2007年湖北高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_湖北

2007 年湖北高考理科数学真题及答案 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上指定位置. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题 对应的答题区域内．答在试题卷上无效． 4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．  2  n 1．如果 3x2   的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（ ）  x3 Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10 x π  π  2．将y2cos   的图象按向量a ，2 平移，则平移后所得图象的解析式为（ ） 3 6  4  x π x π Ａ．y2cos  2 Ｂ．y2cos  2 3 4 3 4 x π  x π  Ｃ．y2cos  2 Ｄ．y2cos  2 3 12 3 12 3．设P和Q是两个集合，定义集合PQx|xP，且xQ，如果Px|log x1， 2 Qx| x2 1，那么PQ等于（ ） Ａ．x|0x1 Ｂ． x|0x≤1  Ｃ． x|1≤x2  Ｄ． x|2≤x3  4．平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是m和n，给出下列 四个命题： ①mnmn； ②mnmn； ③m与n相交 m与n相交或重合； ④m与n平行 m与n平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 第1页 | 共14页p  1 1 1    n 5．已知 p和q是两个不相等的正整数，且q≥2，则lim （ ） n→ 1 q 1 1    n p p1 A．0 B．1 C． D． q q1 a2 6．若数列{a }满足 n1  p（ p为正常数，nN），则称{a }为“等方比数列”． n a2 n n 甲：数列{a }是等方比数列； 乙：数列{a }是等比数列，则（ ） n n A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 x2 y2 7．双曲线C :  1(a 0，b0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F 和F ； 1 a2 b2 1 2 FF MF 抛物线C 的准线为l，焦点为F；C 与C 的一个交点为M ，则 1 2  1 等于（ ） 2 2 1 2 MF MF 1 2 1 1 A．1 B．1 C． D． 2 2 A 7n45 a 8．已知两个等差数列{a }和{b }的前n项和分别为A 和B ，且 n  ，则使得 n n n n n B n3 b n n 为整数的正整数n的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a =(m，n)与向量b(1，1)的夹角为   ，则  0，  的概率是（ ）   5 1 7 5 A． B． C． D． 12 2 12 6 x y 10．已知直线  1（a，b是非零常数）与圆x2  y2 100有公共点，且公共点的横 a b 坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A．60条 B．66条 C．72条 D．78条 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上． 11．已知函数y 2xa的反函数是y bx3，则a  ；b ． 第2页 | 共14页12．复数z abi，a，bR，且b0，若z2 4bz是实数，则有序实数对(a，b)可以 是 ．（写出一个有序实数对即可） x y≥0， 13．设变量x，y满足约束条件 则目标函数2x y的最小值为 ． 2≤x≤3. 1 14．某篮运动员在三分线投球的命中率是 ，他投球10次，恰好投进3个球的概率 2 ．（用数值作答） 15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药 y（毫克） 1 物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后， y与t的函数关系式为 ta  1  y    （a为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答 16 O 0.1 t（小时） 下列问题： （I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关 系式为 ； （II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么 药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 16．（本小题满分12分）     已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB AC≤6，设AB和AC的夹角为．  （I）求的取值范围； π  （II）求函数 f()2sin2     3cos2的最大  4  分组 频数 值与最小值． [1.30，1.34) 4 17．（本小题满分12分） 在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细 [1.34，1.38) 25 的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表： [1.38，1.42) 30 （I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系 中画出频率分布直方图； [1.42，1.46) 29 （II）估计纤度落在[1.38，1.50)中的概率及纤度小于 [1.46，1.50) 10 1.40的概率是多少？ （III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值 [1.50，1.54) 2 第3页 | 共14页 合计 100（例如区间[1.30，1.34)的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望． 18．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥V ABC 中，VC⊥底面 ABC， AC⊥BC， D是 AB的中点，且  π AC  BC a，VDC   0 ．  2 （I）求证：平面VAB⊥VCD； （II）当解变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围． V C B D A 19．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2 2py（ p0）相交于 A，B两点． （I）若点N 是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； （II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存 在，求出l的方程；若不存在，说明理由． y C B A x O N （此题不要求在答题卡上画图） 20．（本小题满分13分） 1 已知定义在正实数集上的函数 f(x) x2 2ax，g(x)3a2lnxb，其中a 0．设两 2 曲线y  f(x)，y  g(x)有公共点，且在该点处的切线相同． （I）用a表示b，并求b的最大值； 第4页 | 共14页（II）求证： f(x)≥g(x)（x0）． 21．（本小题满分14分） 已知m，n为正整数， （I）用数学归纳法证明：当x1时，(1x)m≥1mx； m m  1  1  m  1 （II）对于n≥6，已知 1   ，求证 1   ，  n3 2  m3 2 m m  m  1 求证 1     ，m1，2，  ，n；  n3 2 （III）求出满足等式3n 4n  (n2)n (n3)m的所有正整数n．  2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工农医类）试题参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ 6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分． 1 11．6； 12．(2，1)（或满足a2b的任一组非零实数对(a，b)） 2   1  10t，0≤t≤ ，    3 15   10 13． 14． 15．y  ；0.6 1 2 128 t  1  10  1  ，t      16  10 三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本 知识，考查推理和运算能力． 解：（Ⅰ）设△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c， 1 π π 则由 bcsin3，0≤bccos≤6，可得0≤cot≤1，∴ ， ．   2 4 2 π   π  （Ⅱ） f()2sin2     3cos2  1cos  2   3cos2 4   2   π (1sin2) 3cos2sin2 3cos212sin  2  1．  3 第5页 | 共14页π π π π 2π  π ∵  ，  ，2   ，  ，∴2≤2sin  2  1≤3． 4 2 3 6 3   3 5π π 即当 时， f() 3；当 时， f() 2． 12 max 4 min 17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计 方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ） 分组 频数 频率 4 0.04 1.30，1.34 25 0.25 1.34，1.38 30 0.30 1.38，1.42 29 0.29 1.42，1.46 10 0.10 1.46，1.50 2 0.02 1.50，1.54 合计 100 1.00 频率/组距 1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54 样本数据 （Ⅱ）纤度落在1.38，1.50中的概率约为0.300.290.100.69，纤度小于1.40的概率 1 约为0.040.25 0.300.44． 2 （Ⅲ）总体数据的期望约为 1.320.041.360.251.400.301.440.291.480.101.520.021.4088． 第6页 | 共14页18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运 算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力． 解法1：（Ⅰ）∵AC  BC a，∴△ACB是等腰三角形，又D是AB的中点， ∴CD AB，又VC 底面ABC．∴VC  AB．于是AB平面VCD． 又AB平面VAB，∴平面VAB平面VCD． （Ⅱ） 过点C在平面VCD内作CH VD于H ，则由（Ⅰ）知CD平面VAB． 连接BH ，于是CBH 就是直线BC与平面VAB所成的角． 2 在Rt△CHD中，CH  asin； 2 2 设CBH ，在Rt△BHC中，CH asin，∴ sinsin． 2 π ∵0 ， 2 2 V ∴0sin1，0sin ． 2 π π 又0≤≤ ，∴0 ． 2 4 H  π C B 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为 0， ．  4 D A 解法2：（Ⅰ）以CA，CB，CV 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间 a a   2  直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D  ，，0  ，V  0，0， atan  ， 2 2   2   a a 2   a a   于是，VD  ，， atan  ，CD  ，，0 ，AB(a，a，0)．  2 2 2  2 2    a a  1 1 从而AB· CD(a，a，0·)  ，，0   a2  a2 00，即ABCD． 2 2  2 2   a a 2  1 1 同理AB· VD(a，a，0·)  ，， atan a2  a2 00，   2 2 2 2 2   即ABVD．又CD VD D，∴AB平面VCD．  又AB平面VAB． ∴平面VAB平面VCD． （Ⅱ）设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)， z   则由n· AB0，n· VD0． V 第7页 | 共14页 C B y D A xaxay 0，  得a a 2  x y aztan0． 2 2 2  可取n(1，1，2cot)，又BC (0，a，0)，  n· BC a 2 于是sin   sin，  n· BC a· 22cot2 2 π 2 ∵0 ，∴0sin1，0sin ． 2 2 π π 又0≤≤ ，∴0 ． 2 4  π 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为 0， ．  4 解法3：（Ⅰ）以点D为原点，以DC，DB所在的直线分别为x轴、 y轴，建立如图所示  2   2   2  的空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A0， a，0，B0， a，0，C a，0，0，       2 2 2        2 2    2 2    2  V a，0， atan，于是 DV  a，0， atan， DC  a，0，0，       2 2 2 2 2        AB(0，2a，0)．    2  从而AB· DC (0，2a，0)·  a，0，00，即AB DC．   2      2 2  同理AB· DV (0，2a，0) a，0， atan0，即AB DV ．   2 2   又DC DV  D，∴AB平面VCD．  又AB平面VAB， ∴平面VAB平面VCD． （Ⅱ）设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n(x，y，z)，  2ay 0，    则由n· AB0，n· DV 0，得 2 2  ax aztan0．  2 2 第8页 | 共14页V   2 2  可取n(tan，0，1)，又BC  a， a，0，   2 2   2  atan n· BC 2 2 于是sin    sin， C y n· BC a· 1tan 2 B D x π 2 A ∵0 ，∴0sin1，0sin ． 2 2 π π 又0≤≤ ，∴0 ， 2 4  π 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为 0， ．  4 解法4：以CA，CB，CV 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐 a a  标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D  ，，0 ． 2 2  设V(0，0，t)(t 0)．   a a   （Ⅰ）CV (0，0，t)，CD  ，，0  ，AB(a，a，0)， 2 2  z   AB· CV (a，a，0·) (0，0，t)0000， V 即ABCV ．   a a  a2 a2 AB· CD(a，a，0·)  ，，0    00， 2 2  2 2 C B y 即ABCD． D 又CV CDC，∴AB平面VCD． A  x 又AB平面VAB， ∴平面VAB平面VCD． （Ⅱ）设直线BC与平面VAB所成的角为， 设n(x，y，z)是平面VAB的一个非零法向量，   n· AB(x，y，z·) (a，a，0)axay 0， 则 取z a，得x y t ．  n· AV (x，y，z·) (a，0，t)axtz 0，  可取n(t，t，a)，又CB(0，a，0)， 第9页 | 共14页 n· CB ta t 1 于是sin    ，  n· CB a· t2 t2 a2 2t2 a a 2 2    t  ∵t(0，∞)，sin关于t递增． 1  π ∴0sin ，∴  0， ． 2  4  π 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为 0， ．  4 19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力． 解法1：（Ⅰ）依题意，点N 的坐标为N(0， p)，可设A(x，y )，B(x，y )， 1 1 2 2 x2 2py， 直 线 AB的 方 程 为 y kx p， 与 x2 2py联 立 得  消 去 y得 y kx p． x2 2pkx2p2 0． y 由韦达定理得x x 2pk，x x 2p2． 1 2 1 2 B 1 C 于是S S S  · 2p x x ． △ABN △BCN △ACN 2 1 2 A O  p x x  p (x x )2 4x x x 1 2 1 2 1 2 N  p 4p2k2 8p2 2p2 k2 2 ， ∴当k 0时，(S ) 2 2p2． △ABN min （Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为y a， AC的中点为O，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H ，  x y  p 则OH  PQ，Q点的坐标为 1，1 ． y  2 2  1 1 1 ∵OP  AC  x2 (y  p)2  y2  p2 ， 2 2 1 1 2 1 B C y  p 1 O OH  a 1  2a y  p ， l A 2 2 1 O x N 第10页 | 共14页1 1 ∴ PH 2  OP 2  OH 2  (y2  p2) (2a y  p)2 4 1 4 1  p   a  y a(pa)，  2  1  p  ∴ PQ 2 (2 PH )2 4  a  y a(pa)  ．  2  1  p p 令a 0，得a ，此时 PQ  p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为 2 2 p y  ， 2 即抛物线的通径所在的直线． 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 AB  1k2 x x  1k2· (x x )2 4x x  1k2· 4p2k2 8p2 1 2 1 2 1 2 2p 1k2· k2 2， 2p 又由点到直线的距离公式得d  ． 1k2 1 1 2p 从而S  · d· AB  · 2p 1k2· k2 2· 2p2 k2 2， △ABN 2 2 1k2 ∴当k 0时，(S ) 2 2p2． △ABN min （Ⅱ）假设满足条件的直线l存在，其方程为 y a，则以 AC为直径的圆的方程为 (x0)(xx )(y p)(y y )0， 1 1 将直线方程y a代入得x2 x x(a p)(a y )0， 1 1  p  则△ x2 4(a p)(a y )4  a  y a(pa)  ． 1 1  2  1  设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x，y )，Q(x，y )， 3 3 4 4  p   p 则有 PQ  x x  4  a  y a(pa)  2  a  y a(pa)． 3 4  2  1   2  1 p p 令a 0，得a ，此时 PQ  p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为 2 2 p y  ， 2 第11页 | 共14页即抛物线的通径所在的直线． 20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的 能力． 解：（Ⅰ）设y  f(x)与y  g(x)(x0)在公共点(x，y )处的切线相同． 0 0 3a2 ∵ f(x) x2a，g(x) ，由题意 f(x ) g(x )， f(x ) g(x )． x 0 0 0 0 1 x2 2ax 3a2lnx b，  2 0 0 0 3a2 即 由x 2a 得：x a，或x 3a（舍去）． 3a2 0 x 0 0 x 2a ， 0  0 x  0 1 5 即有b a2 2a2 3a2lna a2 3a2lna． 2 2 5 令h(t) t2 3t2lnt(t 0)，则h(t)2t(13lnt)．于是 2 1 当t(13lnt)0，即0t e3时，h(t)0； 1 当t(13lnt)0，即t e3时，h(t)0．  1  1  故h(t)在0，e3为增函数，在e3，∞ 为减函数，      1 3 2 于是h(t)在(0，∞)的最大值为he3 e3． 2   1 （Ⅱ）设F(x) f(x)g(x) x2 2ax3a2lnxb(x0)， 2 3a2 (xa)(x3a) 则F(x)  x2a  (x0)． x x 故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，∞)为增函数， 于是函数F(x)在(0，∞)上的最小值是F(a) F(x ) f(x )g(x )0． 0 0 0 故当x0时，有 f(x)g(x)≥0，即当x0时， f(x)≥g(x)． 21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分 析问题能力和推理能力． 解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明： （ⅰ）当m1时，原不等式成立；当m2时，左边12xx2，右边12x， 因为x2≥0，所以左边 ≥ 右边，原不等式成立； 第12页 | 共14页（ⅱ）假设当mk 时，不等式成立，即(1x)k≥1kx，则当mk1时， ∵x1，∴1x0，于是在不等式(1x)k≥1kx两边同乘以1x得 (1x)k· (1x)≥(1kx)(1x)1(k1)xkx2≥1(k1)x， 所以(1x)k1≥1(k1)x．即当mk1时，不等式也成立． 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立． m  1  m （Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得 1  ≥1 0，  n3 n3 m  m  n  1  nm   1  n 1 m 于是 1  ≤  1    1      ，m1，2，  ，n．  n3  n3   n3  2 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当n≥6时， n n n 2 n  1   2   n  1 1 1 1  1    1      1           1 1，  n3  n3  n3 2 2 2 2n n n n n2  n1  3  ∴           1． n3 n3 n3 即3n 4n  (n2)n (n3)n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．  故只需要讨论n1，2，3，4，5的情形： 当n1时，34，等式不成立； 当n2时，32 42 52，等式成立； 当n3时，334353 63，等式成立； 当n4时，34 44 54 64为偶数，而74为奇数，故34 44 54 64 74，等式不成立； 当n5时，同n4的情形可分析出，等式不成立． 综上，所求的n只有n2，3． 解法2：（Ⅰ）证：当x0或m1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当x1，且x0时，m≥2，(1x)m 1mx． ① （ⅰ）当m2时，左边12xx2，右边12x，因为x0，所以x2 0，即左边 右边，不等式①成立； （ⅱ）假设当mk(k≥2)时，不等式①成立，即(1x)k 1kx，则当mk1时， 因为x1，所以1x0．又因为x0，k≥2，所以kx2 0． 第13页 | 共14页于是在不等式(1x)k 1kx两边同乘以1x得 (1x)k· (1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx2 1(k1)x， 所以(1x)k1 1(k1)x．即当mk1时，不等式①也成立． 综上所述，所证不等式成立． n  1  n 1   1  m 1 m （Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵  1   ，∴ 1      ，  n3 2   n3  2 m  1  m 而由（Ⅰ）， 1  ≥1 0，  n3 n3 n  m  n   1  m 1 m ∴  1  ≤  1      ．  n3   n3  2 （Ⅲ）解：假设存在正整数n 0 ≥6使等式3n 0 4n 0   (n 0 2)n 0 (n 0 3)n 0成立， n n n  3  0  4  0 n 2 0 即有       0  1． ② n 3 n 3 n 3       0 0 0 n n n  3  0  4  0 n 2 0 又由（Ⅱ）可得       0  n 3 n 3 n 3       0 0 0 n n n  n  0  n 1 0  1  0 1 0  1 0    1  n 3 n 3 n 3       0 0 0 n n 1 1 0 1 0 1 1          1 1，与②式矛盾． 2 2 2 2n 0 故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n． 下同解法1． 第14页 | 共14页