湖北云学名校联盟2025届高三年级12月联考数学_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷_1214湖北云学名校联盟2025届高三年级12月联考（全科）

2024 年湖北云学名校联盟高三年级 12 月联考
数学试卷
命题单位：云学研究院 审题单位：云学研究院
考试时间：2024年12月12日15:00-17:00 时长：120分钟 试卷满分：150分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
z
1. 已知复数z 满足： 12i(i为虚数单位），则 zi =（ ）
z2
A. 2 2 B. 5 C. 6 D. 2
   
2. 已知集合A xNx2 3x40 ,B  x y  1ln  x1  ,则AB=（ ）
A.  1  B.  x1 xe1  C.  0,1  D.  0,1,2 
3. 已知a   1,2 ,b  3,1  ,则a,b的余弦值等于（ ）
10 2 10 3 10
A.  B.  C. D.
10 10 10 10
4. 已知直线l：kx yk20与x2  y2 9相交于A、B两点，AB 的最小值为（ ）
A. 6 B. 2 2 C. 3 D. 4
5. 数列  b  的首项b 1，T 是数列  b  的前n项积，b b 2n(nN)，则T 
n 1 n n n1 n 2025
（ ）
A. 210121014 B. 210121013 C. 210131014 D. 210101012
1
6. 设a  1.08 1,b  ln1.04,c  tan ，则（ ）
25
A. abc B. bac C. bca D. acb
 π
cos(πx ),1 x2

7. 已知函数g(x)   2 ,若对任意的x  1,m ，都有 g(x) 4 3 恒成
x

2g( ) , x2

 2
立，则实数m的最大值为（ ）
44 28 40 32
A. B. C. D.
3 3 3 3
湖北云学名校联盟高三年级12月联考数学试卷 第 1 页 共 4 页8. 在正四棱柱ABCD ABC D 中，高AA 为底面边长二倍，M、N 分别是棱AA 、BC
1 1 1 1 1 1
的中点，过M 、N 的平面平分正四棱柱的体积，则平面与面ABCD所形成二
面角的正弦值是（ ）
6 30 5 2 2
A. B. C. D.
6 6 3 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共18 分，在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选或不选得 0分.
9. 下列选项中正确的是（ ）
3
A. 已知事件A、B互斥，A、B至少有一个发生的概率为 ，且2P  A   P  B ,则
4
1
 
P A 
4
B. 已知事件A、B满足P  A  0.5，P  B  0.2,若B A，则P  AB  0.1
π
C. 随机变量X 的概率分布列为 p  X n  acos ,(n1,2)，其中a是常数，则
3n
a  31
D. 有五个不同的科目，甲、乙两人分别选取三科进行学习，则两人选取的科目
9
不完全相同的概率为
10
1 
10. 已知抛物线C: y2 ax 的焦点坐标为 ,0 ， P、Q 为C 上两点， A(1,0) ，
4 
AQ AP  01 ，则（ ）
A. OPOQ 2
B. APAQ 6
5  1
C. 若线段PQ的中点T 的坐标为 ,y ，则
4 0  2
1
D. 当 时，若P、Q 在x 轴上方，则抛物线上存在三个不同的点M ，使得
2
2
SMPQ 
32
湖北云学名校联盟高三12月联考数学试卷 第 2 页 共 4 页11. 已知定义在R 上的函数 f(x),其导函数为 f'(x)，下列说法正确的是（ ）
5 1
A. 若 f  1  ，且 f x 2，则不等式 f  x 2x 的解集为,1 
2 2
B. 若 f  1 5，且 f x3 fx，则不等式exf  x 3ex 2e的解集为 1,
C. 若 f(x)为奇函数，当x 0时，f(x)图像连续且有 f  x xlnx f x 0成立，
则不等式  9x2 1  f  x 0解集为  , 1   0, 1 
 3  3
D. 若 f(x) f(x)2sinx ， 且 当 x0 时 ， f(x)cosx0 ． 则 不 等 式
π
f(x) f(x)0的解集为( ,)
2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12. 设集合A  1,2,3,4 ，B为集合A的非空子集，且B中所有元素之和为偶数，则满
足条件的集合B的个数为 .
13. 已知函数 f  x   lg(x1) ，满足 f  a   f  b  ，且a b，则a 4b的最小值为 .
x2 y2
14. 已知A、B是双曲线C:  1(a0,b0)的左、右顶点，点M 在C右支上，
a2 b2
在ABM 中，ABM 135，AM  BM  2 AB ，则双曲线C的离心率为 .
四、解答题：本题共 5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或解题步骤.
15.（13分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE  平面ABCD
BF//DE，DE  2BF  2
（1）求证：AE//平面BCF ；
（2）求平面AEF 与平面DCE夹角的余弦值.
16.（15分）已知函数 f(x)lnx， f'(x)是 f(x)导函数，设0ab.
（1）讨论 f(1x) f(x)的单调性；
（2）证明：(ba)f'(b)  f(b) f(a) (ba)f'(a).
湖北云学名校联盟高三年级12月联考数学试卷 第 3 页 共 4 页17.（15分）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ccosB 3csinB ab
（1）求角C；
（2）已知c 3 ,角C的角平分线交AB于D点，求CD长度的最大值.
x2
18.（17分）已知椭圆C:  y2 1，其左、右顶点分别为M,N ，点P是直线x  4
4
上的一动点，直线PM,PN 分别交椭圆C于 A,B两点(B在 A下方），设直线
MA,NB 的斜率分别为k ,k .
1 2
k
（1）求 1 的值；
k
2
（2）设直线x  4交x轴于T 点，连接TB交椭圆C于Q点，当A,Q两点关于原
点对称时，求三角形QBN 的面积.
19.（17分）已知数列A:a ,a ,a ,a 为实数数列，
1 2 3 n
令 x a a a a ,(1i j,i, jN) ，称x 为A连续可表数,当i  j
(i,j) i i1 i2 j (i,j)
时，记x a .
(i,j) i
（1）已知数列A：1,2,3. 将所有的A连续可表数x 所形成的集合记作S(A)，
(i,j)
求出S(A)，并给出一个与数列A不同的数列B，使得S(A)=S(B)；
（2）已知有穷整数数列A：a ,a ,a ,a ，i  1,2,310 ，且满足：若i为奇数
1 2 3 20
时，x 1；若i为偶数时，x 1，求 a  a a 的最小值；
(i,21i) (i,21i) 1 2 20
（3）已知无穷实数数列A：a ,a ,a ,a ，对于给定的正整数 m ，若数列A满
1 2 3 n
足：x (2m1)a 对任意的正整数n(nm)恒成立，则称数列A为m连续可
(nm,nm) n
表数列，证明：若“数列A既是2连续可表数列，又是3连续可表数列”，则数列
A为等差数列.
湖北云学名校联盟高三12月联考数学试卷 第 4 页 共 4 页