文档内容
第 03 讲 空间向量基本定理
模块一 思维导图串知识 1．类比平面向量基本定理理解空间向量基本定
模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 理；
模块三 核心考点举一反三 2．掌握判断空间三个向量能否构成基底的方法；
模块四 小试牛刀过关测 3．能通过空间向量的线性运算用基底表示向量.
知识点 1 空间向量基本定理
1、定理内容：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使 .
2、基底与基向量 ：如果三个向量 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是
，这个集合可以看作由向量 生成的，我们把 叫做空间
的一个基底， 都叫做基向量。
【注意】（1）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念；
（2）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底；
3、判断基底的基本思路及方法
（1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底；
（2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，
则不能构成基底；②假设 （ ），运用空间向量基本定理，建立 的方程组，若有
解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底。
4、用基底表示向量的步骤
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底；
（2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结
合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果；
（3）下结论：利用空间向量的一个基底 可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含
有 ，不能含有其他形式的向量。
知识点 2 空间向量的正交分解
1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，
当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 表示。
2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向量 ，
使 .像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。
考点一：三个向量构成基底的判断
例1．（23-24高二上·重庆·期末）正方体 中的有向线段，不能作为空间中的基底
的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24高二上·广东东莞·期末）若 构成空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间
的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（23-24高二下·四川成都·开学考试）（多选）已知 是三个不共面的向量，则下列向量组
中，可以构成基底的是（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
【变式1-3】（23-24高二上·河南·月考）（多选）若 是空间的一个基底，则下列向量中可以和
， 构成空间一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
考点二：用基底表示空间中某一向量
例2. （23-24高二上·湖北荆门·期末）在四面体 中，M点在线段 上，且 ，G是
的重心，已知 ， ， ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（23-24高二下·湖南·月考）平行六面体 中， 为 的中点，设 ，
， ，用 表示 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】（23-24高二上·广东·期末）已知 是四面体 的棱 的中点，点 在线段 上，点
在线段 上，且 ，以 为基底，则 可以表示为（ ）
A． B．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
【变式2-3】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将有三条棱互相平行且只
有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍.如图，今有一刍甍，四边形 为平行四边形， 平面
，且 ，点 在棱 上，且 .设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
考点三：利用空间向量基本定理求参数
例3. （23-24高二上·安徽马鞍山·期末）三棱锥 中，点 面 ，且
，则实数 （ ）
A． B． C．1 D．
【变式3-1】（23-24高二下·福建·期中）在四面体OABC中， 是棱OA上靠近 的三等分点， 分别
是 的中点，设 ，若 ，则 ．
【变式3-2】（23-24高二上·安徽亳州·月考）在四面体ABCD中，点E满足 ，F为BE的中点，
且 ，则实数 ．
【变式3-3】（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主
的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵 中，
分别是 ， 的中点， 是 的中点，若 ，则 .
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司考点四：空间向量正交分解
例4. （22-23高二上·河北邯郸·期末）已知 平面ABC， ， ， ，则
空间的一个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）（多选）已知 是空间的一个单位正交基底，则
（ ）
A． B． 构成空间的一个基底
C． D． 构成空间的一个基底
【变式4-2】（22-23高二上·云南临沧·月考）已知 是空间向量的单位正交基底， 是
空间向量的另一个基底，若向量 在基底 下的坐标是 ，则向量 在基底 下的
坐标是 .
【变式4-3】（23-24高二上·湖北武汉·月考）已知 是空间的一组单位正交基底，若向量 在基底
下用有序实数组表示为 ，则与向量 同向的单位向量在基底 下用有序实数组表
示为（ ）
A． B．
C． D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司考点五：空间向量基本定理的应用
例5. （2024高二·全国·专题练习）如图， ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ， ，
分别是 的中点， 分别是 的中点，证明： ⊥ ．
【变式5-1】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）如图，在平行六面体 中，
， ．设 ， ， ．
(1)用基底 表示向量 ， ， ；
(2)证明： 平面 ．
【变式5-2】（23-24高二下·广东中山·开学考试）如图，在平行六面体 中， ，
， ， ， ，E是 的中点，设 ， ， ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求 的长；
(2)求异面直线 和 夹角的余弦值．
【变式5-3】（23-24高二上·安徽·月考）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为3的菱形，
.
(1)利用空间向量证明 ；
(2)求 的长.
一、单选题
1．（23-24高二上·贵州安顺·期末） ， ， 是三个不共面的单位向量， 可为空间的一个基
底，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高二下·甘肃·期中）在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为 的中点，若
， ，则用基底 表示向量 为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体 中，点 分别为线段 的中点，若
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
4．（23-24高二上·河北·期中）已知 平面 ， ， ， ， ，则空间的一
个单位正交基底可以为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知 是空间的一个基底， 是空间的另一个基底，
一向量 在基底 下的坐标为 ，则向量 在基底 下的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·全国·专题练习）给出下列命题：
若 可以作为空间的一个基底， 与 共线， ，则 也可作为空间的一个基底；
①已知向量 ，则 与任何向量都不能构成空间的一个基底；
②A，B，M，N是空间四点，如果 ， ， 不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；
③已知 是空间的一个基底，若 ，则 也是空间的一个基底．其中真命题的个数是
④( )
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）若 构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，
，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（23-24高二上·广东·月考）在正四棱锥 中，若 ，平面 与棱 交
于点 ，若 ，则 ．
10．（23-24高二上·浙江金华·期末）如图，在四面体 中， 分别是 上的点，
且 是 和 的交点，以 为基底表示 ，则 ．
11．（23-24高二上·河南郑州·期中）已知 是空间的一个单位正交基底， ，若
，则 .
四、解答题
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．（23-24高二上·广东东莞·月考）在平行六面体 中，设 ， ， ，
分别是 的中点.
(1)用向量 表示 ；
(2)若 ，求实数x，y，z的值.
13．（23-24高二上·山东枣庄·期中）如图所示，在三棱柱 中，
， 是 的中点.
(1)用 表示向量 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的位置，若不存在，请说明理由.
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