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2024~2025 学年第一学期高二第一次月考
数学卷
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由集合 的定义求出 ，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，
故选：D
2. 已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司3. 若向量 ， ，则 在 上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算可得 ，再结合投影向量的定义运算求解.
【详解】因为 ， ，则 ，
所以 在 上的投影向量 .
故选：B.
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将 弦化切求得 ，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：B.
5. 某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件 “出现的点数为奇数”， “出现的点数不大于3”，事
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学科网（北京）股份有限公司件 “出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 与 互为对立事件 B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】列举所有基本事件，根据对立事件的定义可判定A，由古典概型概率公式，即可结合选项逐一求
解BCD.
【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数构成的样本空间为 ，
则 ，
对于A，事件 可同时发生，故不是对立事件，A错误，
对于B， , ,故B错误，
对于C， ,C正确，
对于D， ，D错误，
故选：C
6. 一道竞赛题， ， ， 三人可解出的概率依次为 ， ， ，若三人独立解答，则仅有1人解出的
概率为（ ）
A. B.
C. D. 1
【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】
根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出，一是B解出而其余两人没有解出，
一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的
加法求解.
【详解】 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.
7. 下列说法不正确的是（ ）
A. 8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
B. 用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则个体甲和乙被抽到的概率均为0.2
的
C. 一组数据4，3，2，6，5，8 60%分位数为6
D. 若样本数据 ， ，…， 的平均数为2，则数据 ， ，…， 的平均数为3
【答案】C
【解析】
【分析】由平均数的概念求解判断A；由简单随机抽样的概念判断B；由百分位数的定义判断C；由平均
数的性质判断D.
【详解】8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是 ，
故A正确；
用抽签法从含有20个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则每个个体抽到的概率均为 ，故B
正确；
数据4，3，2，6，5，8由小到大排列：2，3，4，5，6，8，
∵6×60%＝3.6，∴这组数据的60%分位数为第4个数 5，故C错误；
若样本数据 ， ，…， 的平均数为2，则数据 ， ，…， 的平均数为
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学科网（北京）股份有限公司，故D正确.
故选：C.
8. 如图所示，在三棱柱 中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面 将三棱柱分成体
积为 ， 的两部分，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，延长 到 ， 到 ， 到 ，连接 ， ， ，得到三棱柱
，由题意可得 ，即可得出答案.
【详解】如图，延长 到 ， 到 ， 到 ，
且 ， ， ，
连接 ， ， ，得到三棱柱 ，
则 ．
延长 ， ，则 与 相交于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ．
又 ，
所以 ，故 ．
故选：A.
二、多项选择题：（本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对得满分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错
的项得0分．）
9. 下列是基本事实的是（ ）
A. 过三个点有且只有一个平面
B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据基本事实判断即可.
【详解】对于A，基本事实1是过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，故A错误；
对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确；
对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正
确；
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学科网（北京）股份有限公司对于D，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实
3，故D正确.
故选：BCD
10. 已知函数 ， ，则（ ）
A. 与 的图象有相同的对称中心
B. 与 的图象关于 轴对称
C. 与 的图象关于 轴对称
D. 的解集为 （ ）
【答案】ABD
【解析】
【分析】整体法求得 的对称中心即可判断A；由奇偶函数的定义即可判断BC；数形结合即可
判断D．
【详解】令 （ ），得 （ ），
所以 图象的对称中心为 （ ）；
令 （ ），得 （ ），
所以 图象的对称中心为 （ ），
所以 与 的图象有相同的对称中心，故A正确；
，
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学科网（北京）股份有限公司所以 与 的图象关于 轴对称，故B正确；
，故C不正确；
由 ，得 ，即 ，所以 ， ，
解得 （ ），故D正确．
故选：ABD．
11. 在 中， ， ， 为 内的一点，设 ，则下列说法正确
的是（ ）
A. 若 为 的重心，则
B. 若 为 的外心，则
C. 若 为 的垂心，则
D. 若 为 的内心，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 ACD：先求出三角形各种心的坐标，然后代入坐标列方程求解；对于 B：利用
展开计算即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系， ，
对于A：若 为 的重心，则 ，
所以
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学科网（北京）股份有限公司若 ，则 ，解得 ，所以 ，A正确；
对于B：若 为 的外心，其必在直线 上，
所以 ，B错误；
对于C：若 为 的垂心，其必在 上，设 ，
则 ，解得 ，
此时 ，
若 ，则 ，解得 ，所以 ，C正确；
对于D：若 为 的内心，设内切圆半径为 ，
则 ，得 ，则 ，
此时 ，
若 ，则 ，解得 ，所以 ，D正确；
故选：ACD.
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学科网（北京）股份有限公司关键点点睛：判断C选项的关键是利用垂心的性质、数量积垂直的坐标表示求出垂心的坐标，由此即可顺
利得解.
12. 在菱形 中， ， ，将 沿对角线 折起，使点A至点 （ 在平
面 外）的位置，则（ ）
A. 在折叠过程中，总有BD⊥PC
B. 存在点 ，使得
C. 当 时，三棱锥 的外接球的表面积为
D. 当三棱锥 的体积最大时，
【答案】AC
【解析】
【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A，由题可得PC的取值范围可判断B，利用正方体的性质可判
断C，利用三棱锥的体积的公式结合条件可求 判断D.
【详解】如图所示，取PC的中点E，连接BE，DE，则BE⊥PC，DE⊥PC，
因为 ，BD， 平面BDE，
所以PC⊥平面BDE，又 平面BDE，
所以 ，A项正确；
在菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=120°，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当△ABD沿对角线BD折起时， ，所以不存在点P，使得PC=2，B项错误；
当PC=1时，将正四面体补成正方体，根据正方体的性质可知，
三棱锥P-BCD的外接球就是该正方体的外接球,
因为正方体的各面的对角线长为1．
所以正方体 的棱长为 ，
设外接球的半径为R，则 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积 ，C项正确；
当三棱锥P-BCD的体积最大时，平面 平面BCD，
取BD的中点O，连接PO，OC，
易知 平面BCD，则 ，
又 ，
所以 ，D项错误．
故选：AC．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知虚数 ，其实部为1，且 ，则实数 为______．
【答案】2
【解析】
【分析】设 且 ，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设 ， 且 .
则 ，
， ，解得 ，
故答案为：2.
14. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班
男生30人，女生20入、按照分层抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：男
生答对题目的平均数为10，方差为1：女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方
差为______．
【答案】6.8
【解析】
【分析】根据分层抽样，均值与方差公式计算即可.
【详解】男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为 ．
则10个人中男女分别抽取了6人和4人.
这10人答对题目的平均数为 .
所以这10人答对题目的方差为 .
故答案 ：为6.8
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知锐角 中， ，则 的取值范围______.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理、余弦定理结合两角和与差的正弦公式化简已知等式知 ，分别讨
论 或 ，结合题意即可求出 ，由正弦定理将 化简为
，代入即可求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，由正弦定理可得： ，
在 中，因为 ，
又 ，
所以
所以 ，
①当 时，且 ，
若 是锐角三角形，则 ，
所以 ，不成立；
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学科网（北京）股份有限公司②当 时，且 ，
所以 ，所以 ，
则 ，且 ，
且 ，
，
又 ， ， ，
，所以 .
故答案为： .
16. 设 ，满足 ，则 ______．
【答案】2
【解析】
【 分 析 】 根 据 式 子 结 构 ， 构 造 同 构 的 形 式 ， 定 义 函 数
，判断出 在R上单调递增且为奇函数，即可得到 ，即可求出
结果.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】 可化为 ，
记 ，函数定义域为R.
因为 ，所以 在R上单调递增.
又 ，所以 奇函数.
为
所以由 可得 ，所以 .
故答案为：2.
四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进
行调查，先将调查结果统计如下：
（1）请将表格补充完整，若该地区共有教师30000人，用频率估计概率，试估计该地区教师反对“高考使
用全国统一命题的试卷”这一看法的人数；
（2）先按照比例分配的分层随机抽样从“反对”的人中抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深
入调研中恰有1名学生的概率．
赞成 反对 合计
教师 120
学生 40
合计 280 120
【答案】（1）表格见解析， 人
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据数据直接完善表格即可，以频率为概率，按比例计算人数；
（2）先按分层抽样得4名教师2名学生，利用枚举法得所有事件总数，再从中挑出恰有1名学生事件数，
最后根据古典概型概率公式求概率.
【小问1详解】
表格补充如下：
赞成 反对 合计
教师 120 80 200
学生 160 40 200
合计 280 120 400
人，
即可估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为 人；
【小问2详解】
， ，即这6人中有 人为教师， 人为学生，
记这 名学生为 ， 名教师记为 ， ， ， ，
则随机选出3人进行深入调研，不同选法有： ，
，共 种，
恰有1名学生的选法有 ，
共12种，
故深入调研中恰有一名学生的概率 .
18. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求A．
（2）若 ， ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据辅助角公式对条件 进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同
角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
.
（2）先根据正弦定理边角互化算出 ，然后根据正弦定理算出 即可得出周长
【小问1详解】
方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解
设 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
【小问2详解】
由题设条件和正弦定理
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学科网（北京）股份有限公司，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为
19. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， 为棱 上的一点，且 ．
(Ⅰ)证明：平面 平面 ；
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(Ⅰ)见证明；（2）(Ⅱ) .
【解析】
【分析】(Ⅰ)连结 ，交于点 ，推导出 ， 平面 ，由此能证明平面
平面 ；(Ⅱ)过 作平面 的垂线，垂足为 ，则 即为直线 与平面 所
成角，设为 ，设 ，由 ，求出 ，由此能求出直线 与平面 所
成角的正弦值．
【详解】(Ⅰ)连结AC，BD，交于点O，
则由 ∽ ，得 ，
， ，
平面ABCD， 平面ABCD，
又 平面QBD， 平面 平面ABCD．
(Ⅱ)过D作平面PBC的垂线，垂足为H，
则 即为直线QD与平面PBC所成角，设为 ，
设 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
即 ，
解得 ，
，
直线QD与平面PBC所成角的正弦值 ．
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
关系等基础知识，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．求线面角的方法：1、传统法：根据图
形正确作出线面角是解决问题的关键，这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、
证、算过程；2、向量法：对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，
也可采用向量法求解.
20. 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金：
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率
（1）当 时，求 的值；
（2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的
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学科网（北京）股份有限公司概率大于 ，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据随机事件概率的性质，由 可得出答案；
（2）先设出各个事件后得出 ，由题意得 ，且 ，从
而解出p的取值范围。
【小问1详解】
解∵“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，∴
．
又 ，∴ ．
【小问2详解】
记事件 为“甲投资股市且获利”，事件 为“乙购买基金且获利”，事件 为“一年后甲、乙两人中至少有
一人获利”，则 ，且 ， 相互独立．
由题意可知 ， ．
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，∴ ．
又 ， ，∴ ．
∴ ．
21. 如图，在三棱台 中， ， ， ，侧棱 平
面 ，点D是棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
将线面垂直的证明转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线.
（2）将面面角转化为两平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式求解即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
根据题意可得 ， ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，即 ， ，则 ，
，
，
平面 .
【小问2详解】
由（1）知 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，即 ， ，即 ，
由（1）知， ， ，
设平面 的法向量为 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，令 ，即 ， ，即 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
22. 已知函数 的最大值为 .
（1）求实数 的值；
（2）若向量 满足 ，设 的夹角为 ，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将函数变形为 ，然后换元，令 ，
则 ，再根据二次函数的性质求其最大值，从而列方程可求出 的值；
（2）根据向量的夹角公式及 的范围求解即可.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司，
令 ，则 ，
当 ，即 时，
，无解，
当 ，即 时，
，
解得 或 ，因为 ，所以
当 ，即 时，
，
解得 （舍去）
综上 ；
【小问2详解】
由（1）可知 ，
因为 ，所以 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为向量 满足 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的取值范围为
第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
