福建省厦门第一中学2024-2025学年高三12月月考数学答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷_1227福建省厦门第一中学2024-2025学年高三12月月考（全科）

福建省厦门第一中学海沧校区2024—2025学年度第一学期12月月考 高三年数学参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1． 已知M={x∈Z|0＜|x|＜2}，N={x|x2−x≤0}，则M∩N= A．{0,1} B．{1} C．{-1,1} D．∅ 【 答 案 】 B 【 详 解 】 由 x∈Z，0＜|x|＜2的解集为{−1,1}， 即 M= {−1,1}，不等式x（x−1）≤0，解得0≤x≤1，即N={ 0≤x≤1}，故M∩N={1}，故 选：B 2． 已知（2-2i）z=i，则z= 1 1 1 1 1 1 1 1 A． + i B．− − i C． − i D．− + i 4 4 4 4 4 4 4 4 i i（2+2i） 1 1 【答案】B【详解】由（2-2i）z=i，可得z= = =− + i，所以 2−2i （2−2i）（2+2i） 4 4 1 1 z=− − i 4 4 故选：B 1 3．已知数列{ }是首项为5，公差为2的等差数列，则a = a 11 n 1 1 1 1 A． B． C． D． 25 22 17 19 {1 } 1 1 【答案】A 【解析】 由题得 =5+（n-1）2=2n+3，即a = ，则a = ，故选 A. a n 2n+3 11 25 n 4． a= π0. 2 , b=0. 2π , c=log 0. 2, 则 π A. b>a>c B. c>b>a C. a>c>b D. a>b>c 【答案】D【详解】由 π0. 2 > π0 = 1, 0<0. 2π<1, log 0. 2< log 1=0, 故 a>b>c. 故选 D. π π 5． 将5名大学生分配到3个乡镇当官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有（ ）种 A．240 B．60 C．150 D．180 C2C2C1 C3C1C1 【答案】C.由2:2:1分配有 5 3 1 A3=90;由3:1:1分配有 5 2 1 A3=60,共150种,故C正 A2 3 A2 3 2 2 确. 6． 已知点P 是焦点为 F 的抛物线C : 4x2= y 上的一个点 ，过点P 作直线l : 的垂线 ， 垂足为点 A，直线l 与y 轴的交点为B ，若PB 是∠FPA 的平分线 ，则△BFP 的面积为( ). 1 ❑√2 1 ❑√2 A． B． C． D． 64 64 128 128 1 【答案】C【详解】因为4x2 = y,即x= y2, 因此F(0, ),|易知直线l是 4 C的准线， 则PF = AP，如图，又 PB = PB，∠FPB =∠APB ， 所以△FPB ≌△APB ，得∠PFB = ∠PAB = 90，四边形ABFP为正 方形，故△BFP 的面积为 = . 7． 已知 a，b 为单位向量，且|a−2b|=❑√7，向量 c 满足 c2 - 4a . c + 3 = 0 ，则|c−（b−a）| 的最小值为( ). A. ❑√13 -1 B. ❑√3 -1 C.14 - 2❑√13 D. 4 - 2❑√3 1 2π 【答案】A【详解】设< a,b >=θ,由|a−2b|=❑√7,平方可得a2-4a∙b+4b2=7,cosθ=− , θ为 2 3 由c²-4a·c+3=0得(c-a)· (c-3a)=0,以a的起点为原点，a方向为x正方向建立平面直角 坐标系， 1 ❑√3 则a=(1,0), b=（− ， ） ,设c=⃗OC=(x, y),由 (c-a)·(c-3a)=0可得(x-2)²+y²=1, 即 点C在以 2 2 M(2,0) 3 ❑√3 为圆心，1为半径的圆上，记⃗OD=b-a=（− ， ）,|c−（b−a）|=|⃗DC|,则|⃗DC|≥|DM|- 2 2 r=❑√13 -1，故选A. 8．端午是一大中华传统节日.小玮同学包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三 棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O）.如图：已知粽子三棱 锥 P -ABC 中，PA = PB = AB = AC = BC， H 、I 、J 分别为所在棱中点， D、 E 分别为所 在棱靠近P 端的三等分点 ，小玮同学切开后发现 ，沿平面CDE 或平面 HIJ 切开后，截面中均 恰好看不见肉馅. 则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）. 2❑√3π ❑√3π 2❑√3π ❑√3π A． B． C． D． 9 18 27 54 【答案】B【详解】如图所示，取AB 中点为F， PF ∩ DE = G ，为方便计算，不妨设 PF 2❑√3 = CF = 1，由 PA = PB = AB = AC = BC，可知 PA = PB = AB = AC = BC = ，又 3 D 、E 分别为所在棱靠近 P 端的三等分点，则FG = PF = ，且AB丄PF，AB 丄 CF， PF ∩ CF=F ， PF ，CF C平面 PCF ，即 AB 丄平面PCF ，又 AB C平面 ABC ，则平 面PCF丄平面ABC ，设肉馅球半径为 r ， CG = x 由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且 沿平面 HIJ 切开后截面中均恰好不见肉馅，则P到CF的距离d = 4r sin∠PFC = = 4r ， S = .1. . 4r = ， 又S = （1 + + x）. ， 解得x = 1 △GFC △GFC 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项 符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是 A．一个样本的方差 ，则这组样本数据的总和等于60 B．若样本数据 的标准差为8，则数据 ， ， ， 的标准差为16C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样 本容量为9，平均数不变，方差变小 【答案】ABD【详解】解：对于 ，由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数 据的总和为 ， 正确；对于 ，样本数据 ， ， ， 的标准差为8，故数 据 ， ， ， 的标准差为 ，故 正确；对于 ，数据 13， 27，24，12，14，30，15，17，19，23共10个数，从小到大排列为12，13，14，15，17， 19，23，24，27，30，由于 ，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即 ， 所以第70百分位数是23.5，故 错误；对于 ，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入 一 个 新 数 据 5 ， 设 此 时 这 9 个 数 的 平 均 数 为 ， 方 差 为 ， 则 ，故 正确．故选： ． 10．已知抛物线C : y2= 4x 的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A，B 两点，过点A 作C 的切线，交准线于点P ，交x 轴于点Q ，下列说法正确的有（ ）. A. QF = AF B.直线QB 与C 也相切 π C. PA 丄 PB D.若∠PAF = 则 AF = 4 6 【答案】ACD【详解】依题意，抛物线C : y²=4 x的焦点为F(1,0), 准线方程为x =-1,不妨设 点A在第一象限，且A(x, y),B(x ₂, y )则有点A处的切线方程为： y y=2(x + x ),于是Q(- 2 1 1 x,0), 于是|QF|= x +1=|AF|, 选项A 正确；同理有点B 处的切线方程为： y y=2(x + x ), 交 x轴 2 2 于(- x ,0), 显然直线QB不是抛物线C的切线，可以证明，直线PB才是抛物线C的切线，选 2 项 B错误；设直线AB的方程为：x =ty+1(t≠0),由 y²-4ty -4=0, 所以 ，PA⊥PB,选项C正确；由 A 可知，△FAQ为等腰三 角 形，且 于是 AQ=❑√3 AF, ❑√4 x 2+ y 2=❑√3(1 + x )，又y²=4 x, 解得 1 1 1 x=3, 此时 AF=4, 选项D 正确，故选ACD. 1  11.(多选)已知 是偶函数， 是奇函数，且 f  x1g(x)，则 ( ) f(x) g(x) 2  1  A． 是周期函数 B． 的图象关于点 ,0中心对称 g(x) f(x) 2  2022  i  1  C．  f  4044 D．y f  x是偶函数 2023 2  i1 1  【 答 案 】 AD 【 详 解 】 选 项 A ： 在 f  x1g(x)中 取 为 ， 得 2  x x 1  f  x1g(x)1g(x)， 2 1  1  1 所以 f  x f  x2，取 为x ，得 ，因为函数 是偶函数， 2  2  x 2 f(1x) f(x)2 f(x) 所以 f(1x) f(x)2，取x为x1，得 f(2x) f(1x)2，所以 f(x2) f(x)， 所以函数 f(x)是周期为2的周期函数，所以g(x)也是周期函数，所以A正确； 1  选项B：由 得 的图象关于点 ,1中心对称，所以B错误； f(1x) f(x)2 f(x) 2   1   2   3  2022 选项C：设s f   f   f     f  ， 2023 2023 2023 2023 2022 2021 2020  1  则s f   f   f     f  ，两式相加，得 2023 2023 2023 2023 2022  1  2021  2   1  2022 2s f   f   f   f     f   f  22022， 2023 2023 2023 2023 2023 2023 2022  i  1  1  所以 ，即 f  2022，所以C错误；选项D：对于 f  x f  x2， s2022 2023 2  2  i1 1  1  1  两边同时对 求导得 f  x f  x0，所以y f  x是偶函数，所以D正确 x 2  2  2  三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 已知一组数据 ， ，2，3， ， 大致呈线性分布，其回归直线方程为 ， 则 的最小值为 = ▲ ． 【答案】 【解析】 ， ，又回归直线 经过 ， ， 当 时， 的最小值为 ． 13． 已知函数 的最大值是3， 的图象与 轴的交 点坐标为 ，其相邻两个对称中心的距离为2，则 【答案】4048【详解】函数 的最大值是3， 故 ，得 ，则 ，由于函数 的图象与 轴的交点坐标为 ，故 ， ， ，即 ，函数图象其相邻两个对称中心的距离 为2，故 ，所以 ；当 ，2，3， 时， 的值 依次为1，0， ，0， 成周期变化；且周期为4，相邻4个之和为0，由于 ， 所以 （1） （2） ．． 故答案为：4048． 14．数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列{a} :1， n1，2，3，5，8，……, 从第3项起 ，每一项都等于它前面两项之和，即a = a =1，a = a 1 2 n+2 n+1 + a，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”. 若a = 2 (a + a + a +…+ a ) +1 ， n m 3 6 9 2022 则m= ▲ ． 【答案】2024【解析】.由从第三项起，每个数字等于它前面两个数的和，a = a =1, 因 为 1 2 a = a + a (n∈N*),所以 2(a+ a + a +…+ a )+1=( a + a + a + a + a + a+…+ a + n+2 n+1 n 3 6 9 2022 3 3 6 6 9 9 2022 a )+1 2022 = a + a + a + a + a + a + a + a + a +…+a +a +a +1=S +1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2020 2021 2022 2022 由a = a + a (n∈N*) 得a= a - a , 所以a = a - a , a= a -a, a= a - a , … , n+2 n+1 n n n+2 n+1 1 3 2 2 4 3 3 5 4 a= a - a ，将这n个式子左右两边分别相加可得： n n+2 n+1 S= a + a +…+ a = a - a - a = a -1,即S+1= a ,所以S +1=a ,故 m=2024. n 1 2 n n+2 n+1 2 n+2 n n+2 2022 2024 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 在 △ 中 ， 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ，如图， ， 是 上的动点，且 始终等于 ，记 ． 当 为何值时，△ 的面积取到最小值，并求出最小值． 解：（1）在△ 中，因为 ，由正弦定理可得： ，.....1分 所以 ，即 ， 所以 ，即 ，..............................................................3分 因为 ，所以 ，所以 ，....................................................................4分 因为 ，所以 ；...................................................................................................5分 （2）因为 ，由（1）知 ，所以 ，................................................6分 在△ 中，由正弦定理可得 ，所以 ，.....................7分 在△ 中，由正弦定理可得 ，所以 ，.................................................8分 所以 ，.............................10分 因为 ，所以 ，当 时， 取得最小值 ，此时 ，即 ， 所以当 时，△ 的面积取到最小值，最小值为 ．..............................................13分 16.（15分） 已知数列 的各项均为正数，其前 项和记为 ， ， ，其中 为 常数且 ． （1）若数列 为等差数列，求 ； （2）若 ，求数列 的通项公式及 ． 解： （1）当 时， ，即 ，解得 ，..............1分 当 时， ，即 ，解得 ，.......................2分 因为数列 为等差数列，所以 ，即 ，解得 ，..................4分 所以 ， ，公差为2，所以数列 的通项公式为 ；.................................5分 （2）当 时， ，① 所以 ，②.............................................6分 所以② ①得， ，因为 ，所以 ，.............7分 当 时， ，即 ，解得 ，...........................................8分 ∴数列 的奇数项成等差数列，首项为 ，公差为3； 即 ......................................................................................9分 偶数项成等差数列，首项为 ，公差为3， 即 .............................................................................................10分 ∴数列 通项公式为 .................................................................................12分 当 为偶数时， ．......................................13分当 为奇数时， ．..14分 则 ...................................................................................................................15分 注：或 结合 求解 17.（15分） 如 图 ， 在 直 角 梯 形 中 ， ， ， ，点 是 的中点，将△ 沿 对折至△ ，使得 ，点 是 的中点． （1）求证： ； （2）求二面角 的正弦值． 解：（1）证明：因为 ， ，所以 ，......................................................1分 翻折后, , ,又 , , 平面 ,所以 平面 ，.......2分 又 平面 ，所以 ，..................................................................................................3分 因为 是 的中点， ，所以 ， 又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，..............................................5分 因为 平面 ，所以 ．..............................................................................................6分 （2）解：由（1）知， 平面 ，因为 平面 ，所以 ， 因 为 ， ， 所 以 ， 在 △ 中 ， ，由余弦定理得， ， 因为 ，所以 ，所以 ，...........................................................8分 以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，作 平面 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，0， , ，0， , ，2， , ，2， , ，...................................9分 因 为 是 的 中 点 ， 所 以 ， 所 以 ， ， ， 由（1）知 ， ，因为 ， ， 面 ， 所以 平面 ，即平面 的一个法向量为 ，...........................................11分 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ， 取 ，则 ， ，所以 ，...........................................................................13分 所以 ，............................................................................14分 设二面角 的平面角为 ，则 ， 所以二面角 的正弦值为 ．.....................................................................................15分 18.（17分） 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式 ， 分别为 椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆 的离心率为 ，且右顶点 与上顶点 的距离 ． （1）求椭圆 的面积； （2）若直线 交椭圆 于 ， 两点， 求△ 的面积的最大值 为坐标原点）；若以 ， 为直径的圆过点 ， ， 为垂足．是否存在定点 ，使得 为定值？ 若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由． 解:(1)∵椭圆离心率为 ,且右顶点 与上顶点 距离 ,所以 ，....1分 解得 ， ， ，.............................................................................................................2分 所以椭圆 的方程为 ，则椭圆 的面积为 ．.........................................3分 （2）（ⅰ）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， ， ， ， 联立 ，得 ， 则 ， ，............................................................................................................5分 则 ，.......6分 又点 到直线 的距离为 ，...........................................................................................7分 所以 ，........................................................8分 当且仅当 ,即 时等号成立,此时△ 的面积的最大值为1；........9分 当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ，则 ， 即 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立，此时△ 的面积的最大值为1．..................10分 综上所述，△ 的面积的最大值为1．.........................................................................................11分 （ⅱ）因为点 在以 ， 为直径的圆上，所以 ，..................................................12分 因为 ， ， ， ， ，所以 ，则 ， 当直线 的斜率存在时，由 知， ， 所以 ， 整理得， ， 即 ，即 或 ，..........................................................................13分 当 时，直线 的方程为 ，过点 ，不符合题意； 当 时，直线 的方程为 ，恒过点 ．...................................................14分 当直线 的斜率不存在时， ， ， ， 由 知， ，则 ， 由 ， 得 ， 解 得 或 （ 舍 去）， 所以直线 的方程为 ，过点 ．....................................................................................15分 综上所述，直线 恒过点 ．因为 ， 为垂足， 为定值， 所以点 在以 ， 为直径的圆上，取 的中点 ，则 ， 所以存在定点 ，使得 为定值 ．.............................................................................17分 注：可利用平移齐次化求定点 19.（17分） 定义在 上的函数 ，若对任意不同的两点 ， ， ，都存在 ， ，使得函数 在 处的切线 与直线 平行，则称函数 在 上处 处相依，其中 称为直线 的相依切线， ， 为函数 在 的相依区间．已知 ．（1）当 时，函数 在 上处处相依，证明：导函数 在 上有零点； （2）若函数 在 上处处相依，且对任意实数 、 ， ，都有 恒成立，求实数 的取值范围； （3）当 时， ， ， 为函数 在 的相依区间，证明： ． 解：（1）证明：当 时， ， ，...............................1分 ， （1） ，....................................................................................................2分 即 （1） ，又 在 上处处相依， 函数 在 上有零点．................3分 （2）解： ， ， ，.......4分 ∵函数 在 上处处相依， ， ，使得 ， 即 ，使得 ，..........................................................................................................5分 ， ，即 ， ，..............................................................6分 又 ， ，即实数 的取值范围为 ．.............................7分 注：也可构造函数 ，求其在 恒单调递减 （3）证明：当 时， ，则 ，....................................................8分 ， 为函数 的在 的相依区间， ，又 （1） ，则 ，....................................................10分 ， ，即 单调递减， ， ，即 单调递增，...............11分 ，则 ， 要证 ，即证 ，即证 ，.........................................................12分 即证 ， ，.................................................................................................13分 令 ， ，..................................................................................................14分 令 ， ，.............................................................................................15分 ， ， ， ， ，即 在 上单调递减，则 （1） ， ，即 在 上单调 递减， （1） ，即 ，即证得 成立，从而证明得到 ．.................................................................................................................17分 注：也可利用指数平均不等式求证