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石嘴山市第一中学 2025-2026 学年第一学期
高二年级月考 数学试题
一、单选题：5*8=40
1. 已知直线 的倾斜角为 ，则实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】由题意， .
故选：D
2. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量减法运算即可求解.
【详解】由题意可得 ．
故选：C.
3. 设直线l的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 （
）
A. B. C. 4 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由题意 ，即可列方程求解.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，所以 ，则 ，解得 ．
故选：B.
4. 在空间中，若三个非零向量 满足 ，则 的形状一
定是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件推出 ，得 为锐角．同理可得 也为锐角．由此
可得答案.
【详解】 ，
，
,
所以 ，即知 锐角．
为
为
同理可知 也 锐角．
故为锐角三角形．
故选： ．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 在六面体 中，一定有
D. 在空间直角坐标系 中，点 与点 关于平面 对称
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】对于A根据向量的定义即可判断；对于B根据向量模的坐标运算即可判断；对于C举反例正四棱
台即可否定；对于D根据 两点的坐标特征得到两点关于平面 对称即可判断.
【详解】对于A，根据向量的定义，向量不能比较大小，故A错误；
对于B，由 ，所以 ，故B错误；
对于C，当六面体 为平行六面体时， 成立，
当六面体 不是平行六面体时，上述结论不一定成立，比如对于正四棱台，上述结论就
不成立，故C错误；
对于D，由点 关于平面 的对称点为 ，故D正确；
故选：D.
6. 不论 为何实数，直线 过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】法一：直线方程 可化为 ，解方程组
即可求解；
法二：直线方程 可化为 ，解方程组
即可求解.
【详解】法一：直线方程 可化为 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，解得 ，即定点坐标为 .
法二：直线方程 可化为 ，
则 ，解得 ，即定点坐标为 .
故选：B.
7. 空间直角坐标系 中，经过点 ，且法向量为 的平面方程为
，经过点 且一个方向向量为
的直线 的方程为 ，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面 的方程为
，经过 的直线 的方程为 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线 与平面 所成角
的正弦值.
【详解】因为平面 的方程为 ，故其法向量为 ，
因为直线 的方程为 ，故其方向向量为 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
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学科网（北京）股份有限公司故选：B.
8. 在空间直角坐标系中，已知 ，
，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平直BCD所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量求点面距离及线面夹角即可.
【详解】依题意可得 ， ， .
设 是平面BCD的法向量，
则 ，即 ，令 ，则 得 .
所以点A到平面BCD的距离 ，
当 时，d取得最小值，此时 ，
所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为 .
故选：C
二、多选题：3*6=18分
9. 已知直线l： ，则下列选项中正确的有（ ）
A. 直线l在y轴上的截距是2 B. 直线l的斜率为
C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为
【答案】ACD
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据直线的截距，斜率，方向向量等特征直接判断.
【详解】对于A，直线方程可变为 ，截距是2，故A正确；
对于B，斜率 ，故B错误；
对于C，由直线方程 可知，故直线l不经过第三象限，故C正确；
对于D，该直线的一个方向向量为 ，与 平行，故D正确；
故选：ACD
10. 下列命题中不正确的是（ ）.
A. 若 ､ ､ ､ 是空间任意四点，则有
B. 若 ，则 ､ 的长度相等而方向相同或相反
C. 是 ､ 共线的充分条件
D. 对空间任意一点 与不共线的三点 ､ ､ ，若 ( )，则 ､ ､
､ 四点共面
【答案】ABD
【解析】
【分析】本题考查向量的概念与性质，需按个选项分析，A选项考察向量加法的意义，B选项考察向量的
模的性质，C选项可以两边平方计算，D选项考察四点共面的性质.
【详解】A选项， 而不是 ，故A错，
B选项， 仅表示 与 的模相等，与方向无关，故B错，
C选项， ，
即 ，
即 ， 与 方向相反，故C对，
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学科网（北京）股份有限公司D选项，空间任意一个向量 都可以用不共面的三个向量 ､ ､ 表示，
∴ ､ ､ ､ 四点不一定共面，故D错，
故选ABD.
11. 已知直线 与圆 相交于 两点，则（ ）
A. 是圆 的一条对称轴
B. 圆 的半径为
C. 圆心 到 的距离为
D. 的面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，知 A、B正误；利用点到直线距离公式和垂径定理可求得 C、D
正误.
【详解】对于AB，由圆 方程知：圆心 ，半径 ，B正确；
直线 不过圆心 ， 不是圆 的对称轴，A错误；
对于C，圆心 到直线 的距离 ，C错误；
对于D， ， ，D正确.
故选：BD.
三、填空题：3*5=15分
12. 若直线 与 互相垂直，则 __________.
【答案】 ##
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据垂直关系列出方程，求解即可.
【详解】由题意得 ，解得 .
故答案为：
13. 已知圆 与圆 相交于两点A，B，则AB的直
线方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】两圆方程相减后可得公共弦的方程.
【详解】由题设可得 的方程为： ，
整理得： ，
故答案为：
14. 已知函数 ，若 在区间
上的值域为 ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先通过三角恒等变换化简函数，然后利用 可得 ，再由三角
函数图像性质可得 ，解不等式即可求得 的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】
，因为 ，可得 ，
显然当 时，可得 ，由 的值域为 ，
利用三角函数图像性质可得 ，解得 ，即 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题：72分.
15. 已知 ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两角和的正切公式求得 .
（2）结合同角三角函数的基本关系式、诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【小问1详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ．
【小问2详解】
.
16. 圆 经过三点： ， ， .
（1）求圆 的方程.
（2）求圆 与圆 : 的公共弦的长.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）设圆为 ： ，代入点坐标求出 ，即可求出圆 的方程.；（2）
联立 ，求出交点坐标，即可求出公共弦的长.
【详解】（1）设圆为 ： ，
代入 ， ， ，
有 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴圆 的方程为 .
（2）联立 ，
即 ，
解得：交点为 ， ，
故弦长 .
17. 一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：
第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示
的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求a，b的值；
（2）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间；
（ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（ⅲ）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确
定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
（3）若落在第四组的平均成绩是80，方差是20，落在第五组的平均成绩为90，方差是5，求这两组成绩
的总平均数z和总方差 .
参考公式： 其中 为总样本平均数.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2） ； ；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为 列方程可解 ，再根据第一、二组的频率之和为
列方程可解 ；
（2）（ⅰ）根据频率分布直方图，得位于区间 的频率和位于区间 的频率，即可判断中位
数所在的分组区间；
（ⅱ）根据频率分布直方图得频率，再利用加权平均数公式计算即可；
（ⅲ）根据频率确定比例，可得第四组志愿者人数为4，第五组志愿者人数为1，利用古典概型计算概率即
可；
（3）根据总样本平均数和总方差公式即可求解.
【小问1详解】
由题意有 ，
所以 ；
【小问2详解】
（ⅰ）因为位于区间 的频率为 ，
位于区间 的频率为 ，
所以中位数所在的分组区间为 ；
（ⅱ）平均数为 ；
（ⅲ）在第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为 ，第五组志愿者人数为1，设为 ．
考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为
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学科网（北京）股份有限公司共10种情况；
记事件为“选出的两人来自不同组”，则 共4种情况，
所以 ；
【小问3详解】
由题意有：第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
所以 ，
.
18. （1）若函数 有且仅有一个零点，求 的值；
（2）若关于 的不等式 在 上恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（1）讨论 不成立，当 时令 求解即可；（2）根据恒成立确定最高次项系数和
，解不等式组即可.
【详解】解：（1）当 时， 无零点；
当 时， 有且仅有一个零点，则 ，即： ，
解得： 或 （舍），所以 .
（2）当 ， 恒成立，所以 成立；
当 时， ，解得： .
故 .
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学科网（北京）股份有限公司19. 已知圆 ： 与直线 交于M、N两点，点P为线段 的中点， 为坐标原
点，直线 的斜率为 .
（1）求 的值及 的面积；
（2）若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线 、 分别交 ：
于R、S两点.当点Q变化时，以 为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；
若不过定点，请说明理由.
【答案】（1） ，
（2）过定点，
【解析】
【分析】（1） 先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计
算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；
（2）设直线 方程，含参表示直线 方程，求出 坐标，从而求出以 为直径的圆的方程，利用
待定系数法计算即可.
【小问1详解】
由题意可知直线 的方程为 ，
则联立 与 可求出 点坐标为 ，
又因点P为线段 的中点，所以可得 ，
即 ，所以可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由 可知圆心 ，所以 到直线 的距离 ，
又因圆 半径为 ，根据勾股定理可求得 ，
所以线段 ，
又因原点 到直线 距离为 ，所以线段 上的高为 ，
.
所以
【小问2详解】
由圆 与 轴交于 两点，得 ，
不妨设直线 的方程为 ，其中 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，
因为 ，则直线 的方程为 ，
在直线 的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
则线段 的中点为 ，圆的半径平方为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以以线段 为直径的圆的方程为 ，
即 ，由 ，解得 ，
因此当点 变化时，以 为直径的圆恒过圆内的定点 .
【点睛】解题的关键是设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，由 表示
的 中点为 ，圆的半径平方为 ，得以线段 为直径的圆的方程
，可得以线段 为直径的圆过圆 内的一定点.
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