黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学PDF版含答案（可编辑）_2024-2025高二（7-7月题库）_2024年12月试卷

哈师大附中 2023 级高二上期中考试
数学试题
一、单选题：本题共 8道小题<每个小题5分<共 40分．在每小题给出的选项中<只有一项是符合题
目要求的．
1．抛物线 y3x2 0的焦点坐标为（ ）
 3  3  1   1 
A．0,  B．0,  C．0,  D．0, 
 4  4  12  12
x y
2．直线l将圆C ：x2 y22x4y0平分<且与直线l：  1平行<则直线l的方程为（ ）
2 4
A．x2y30B．x2y30C．2x y40D．2xy0
3．A<B<C<D<E五人站成一排<如果C<D必须相邻<那么排法种数为（ ）
A．48 B．24 C．20 D．16
4．如图<圆 的半径为定长r< 是圆 内一个定点< 是圆 上任意一点<线段 的垂直平分线 与直线 相交于点
<当点 在圆 上运动时<点 的轨迹是（ ）


A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．圆
5．3D打印是快速成型技术的一种<它是一种以数字模型文件为基础<运用粉末状金属或塑料等可粘合材料<通过逐
层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒<该塔筒是由离心率为 的双曲线的
一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的<已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为 cm<
10
下底直径为 cm<喉部（中间最细处）的直径为 cm<则该塔筒的高为（ ）
6 2
9 2 8
A． cm B． cm C． cm D． cm
27 27 2
2 18 2 18 2
学科网（北京）股份有限公司 1x2
6．已知椭圆C:  y2 1<则椭圆C上的点到点B（0，1）的距离的最大值是（ ）
4
16 4 3
A．2 B． C． D．
5
3 3
 
7．已知抛物线的方程为 y2 4x<过其焦点F 的直线交抛物线于A,B两点<若AF 3FB<则 AB （ ）
16
A． 2 B．3 C． D．2
3
x2 y2 2 3
8．已知双曲线C ：  1（a0<b0）的离心率为 <右顶点为A<以A为圆心<b为半径作圆A<圆A
a2 b2 3
与双曲线C 的一条渐近线交于M <N 两点<则有MAN（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
二、多项选择题：本题共 3道小题<每小题6分<共18分．在每小题给出的选项中<有多项符合题目
要求<全部选对的得 6分<部分选对的得 2分或4分<有选错的得 0分．
x2 y2
9．已知方程  1表示的曲线为C<则下列四个结论中正确的是（ ）
7t t1
A．当1t 7时<曲线C是椭圆
B．当t 7或t 1时<曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆<则4t 7
D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线<则t 7
10．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．两圆x2 y24x4y0与x2  y2 2x120的公共弦所在的直线方程为x2y60
B．圆C ：x2  y2 2x0与圆C ：x2  y2 4x8y40恰有三条公切线
1 2
C．P  x ,y  为圆C：x2  y2 4上的点<则 x 1 2   y 2 2 2 的最大值为25
1 1 1 1
D．若圆C：x2  y2 4上有且仅有两个不同的点到直线l：x ym 0的距离为1<则m的取值范围是
2 m3 2
11．已知点Px ,y x 0是抛物线C ：y2 4x上一点<过点P作抛物线C ：y2 4x的两条切线PM<PN<切点
0 0 0 1 2
分别为M<N<H为线段MN的中点<F为C 的焦点<则（ ）
2
A．若x 1<则直线MN经过点F B．直线PH  y轴
0
3
C．点H的轨迹方程为y2  x D．PFMPFN
4
三、填空题：本题共 3道小题<每小题5分<共15分．
12．有4封不同的信投入3个不同的信箱<可有_____________种不同的投入方法．
学科网（北京）股份有限公司 213．已知P是椭圆 上的一点<且在 轴上方< 分别是椭圆的左、右焦点<直线 的斜率
为 <则 16 的  2面 + 积 2 为 5  _ 2 _ = __ 1 __ 6 _ 0 _ 0 _____．   1 <  2   2
−4 3 △   1  2
14．已知点P是双曲线 ： 左支上一点<F,F 是双曲线的左、右两个焦点<且
1 2
2 2

2 2
−  =1  >0<  >0
PF PF ,PF 与两条渐近线相交于M,N两点（如图）<点N恰好平分线段PF <则双曲线的离心率是___________．
1 2 2 2
四、解答题：本题共 5道小题<共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知直线l :2x y10<直线l :3x y20<l 与l 交于点A,点B(2,2)．
1 2 1 2
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）求过A,B两点<且圆心在直线l:x y10上的圆的标准方程．
16．（本小题满分15分）
x2 y2
已知y 2x是双曲线C:  1  a0,b0 的一条渐近线<点2,2在C上．
a2 b2
（1）求C的方程．
（2）已知直线l的斜率存在且不经过原点<l与C交于A,B两点<AB的中点在直线y2x上．若M  1,1  <△MAB的
面积为 6 <求l的方程．
17．（本小题满分15分）
x2 y2 2 2
已知椭圆C:  1(ab0)<四点P( 2,1)、P(0,1)、P( 2, )、P( 2, )中恰有三点在椭圆C上．
a2 b2 1 2 3 2 4 2
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过点P 且与C相交于A<B两点<若直线PA与直线PB的斜率的和为0<求证：l的斜率为定值．
4 4 4
18．（本小题满分17分）
已知动圆过定点A2,0 <且截y轴所得的弦长为4．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）过点Q  5,4 的直线交C的轨迹于A,B两点．
（ⅰ）若点F1,0 <求 FA  FB 的最小值；
（ⅱ） 为Q在x轴上的投影<连接AM 与BM 分别交抛物线于C，D<问：直线CD是否过定点<若存在<求出该
定点；若  不存在<请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司 319．（本小题满分17分）
x2
如图<已知椭圆C : y2 1<曲线C :y x21与y轴的交点为M <过坐标原点O的直线l与曲线C 相交于
1 4 2 2
A(x ,y )、B(x ,y )两点<直线MA<MB分别与C 交于点D<E．
1 1 2 2 1
（1）求x x ；
1 2
（2）证明：以DE为直径的圆经过点M ；
（3）记△MAB、△MDE的面积分别为S 、S <若S S <求的取值范围．
1 2 1 2
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数学试题答案
1-8．CDAACCCB 9．BD 10．ABC 11．ABD
12．81 13．24 3 14． 5
2x y10
15．（1）  A  1,1 
3x y20
3 1
因为B  2,2 ，所以AB中点坐标为 , 且k 3．
2 2 AB
1
所以AB的垂直平分线方程为 y  x1．
3
y  x1

（2） 1 圆心坐标为3,2 ，半径为 42 32 5．
y  x1

 3
所以圆的标准方程为(x3)2 (y2)2 25．
b
 2
 a a2 2
16．（1）由题可得  ，
22 22 b2 4
 1
a2 b2
x2 y2
所以C的方程为  1．
2 4
（2）（ⅰ）证明：设l: y kxt  t 0 ，
y kxt

 
由x2 y2 得 2k2 x2 2ktxt2 40 ，

 1
 2 4
    
由题意得2k2 0,Δ (2kt)2 4 2k2 t2 4 8 t2 2k2 4  0 ，
 2kt
x x  ,
  1 2 2k2
设A  x ,y  ,B  x ,y  ,AB中点的坐标为 x ,y ，则
1 1 2 2 0 0

t2 4
x x  ,
 1 2 2k2
x x kt 2t
所以x  1 2  ,y kx t  ．
0 2 2k2 0 0 2k2
2t 2kt
因为AB的中点在直线 y 2x 上，所以 y 2x ，即  ，
0 0 2k2 2k2
因为t 0，所以k 1，故l 的斜率为定值．
学科网（北京）股份有限公司 5（ⅱ）由（ⅰ）得l 的方程为x yt 0，
 2kt  2  t2 4 
且 AB  1k2  x x 24x x  1k2   4    4 t2 2 ，
1 2 1 2 2k2   2k2 
11t t
又点M 到l 的距离d   ，
2 2
1 1 t  
所以S  AB d  4 t2 2  2 t2 2 t2  6 ，
△MAB
2 2 2
解得t 1，所以l 的方程为x y10．
17．（1）由对称性可知P 和P 在椭圆C上．
3 4
1
2
2
所以  1
a2 b2
1
2 1 2
2
因为    1
a2 b2 a2 b2
所以P不在c上，进而P 在c上．
1 2
x2
所以b1.a 2．即c的方程为  y2 1．
4
（2）设し的方程为 y kxm.A  x ,y  ,B  x ,y 
1 1 2 2
y kxm
  
x2  14k2 x28kmx4m240

 y2 1
 4
8km 4m24
x  x  ,x x 
1 2 14k2 1 2 14k2
2 2
y  y 
1 2 2 2
则k Ak B    0
p 4 p 4 x  2 x  2
1 2
 2     2   
所以kx m  x  2 kx m  x  2  0
1 2 2 2 2 1
   
学科网（北京）股份有限公司 6 2 
所以2kx x m 2k    x x 2 2m20 ．
1 2 2 1 2
 
 2 
  m 2k   8km 
2k 4m2 4  2 
所以   2 2m 2 0
14k2 14k2
 
所以8k2  4 2m8 k 22 2m0
所以 2k  1 2m  2k1 0
 
因为直线し不经过点P
4
 
所以2k  1 2m 0
1
所以k  ．
2
18．【详解】（1）设动圆圆心为C  x,y  ,CA  (x2)2 y2 ，
C到 y轴距离为 x ，动圆截 y轴所得半弦长为2，
则(x2)2  y2 |x|2 22，化简得 y2 4x ；
所以动圆圆心C的轨迹方程为 y2 4x．
（2）
设M  x ,y  ,N  x ,y ，当直线MN 斜率存在时，由题易知直线MN 的斜率不为0，
1 1 2 2
设直线MN 的方程为 y k  x5 4kx5k 4  k  0 ，
y2 4x,
与C的轨迹方程联立得
y kx5k 4,
 
消去 y得k2x2  10k2 8k 4 x(5k 4)2 0 ，
10k2 8k 4 (5k 4)2
由P  5,4 在抛物线内部，故Δ0，所以x x  ,x x  ．
1 2 k2 1 2 k2
由（1）知，F  1,0 为轨迹C的焦点，由抛物线定义得，
学科网（北京）股份有限公司 7(5k 4)2 10k2 8k 4
FM  FN  x 1  x 1  x x x x 1  1
1 2 1 2 1 2 k2 k2
48k 20 1 6  2 36 36
 36 20    
k2 k 5 5 5
1 6 5 36
所以当  ,k  时， FM  FN 的最小值为 ；
k 5 6 5
当直线MN 斜率不存在时，x  x 5．
1 2
由抛物线定义知 FM  FN  x 1  x 1  36．
1 2
36
综上， FM  FN 的最小值为 ．
5
（3）情况1、直线AB斜率不存在时，直伐CD的方程为x 5．
情况2、直线斜率存在时，设直线AB的方程为 y k  x5 4.A  x,y  B  x ,y ．
1 2 2
设直线AM 的方程为 y m  x5 ．
 y2 4x
 
 m2x2  10m2 4 x25m2  0
 y m  x5 
25 5y 25 5y 
所以x x  25．则x  ，所以 y  1 ．即C , 1
c 1 c x c x  x x 
1 1 1 1
25 5y 
同理D , 2 ．
 x x 
2 2
5y 25
y 1 x
x x
所以直线CD的方程为 1  1
5y 5y 25 25
1  2 
x x x x
1 2 2 1
令x 5．则
25
5
x 5y 5y  5y
y  1  1  2  1
25  25  x 1 x 2  x 1
x x
2 1
x x 5x k  x 5 4 k  x 5 4 5  k  x 5 4 
 1 2 2  1  2  1
x x  x x  x
1 2 1 2 1
x x 5x 5  kx 5k 4 
 5k4  1 2 2  1
x x x
1 2 1
5k 45k
4
学科网（北京）股份有限公司 8所以定点为
5,4
．
19．（1）证明：若直线l 的斜率不存在，则该直线与 y轴重合，此时直线l 与曲线C 只有一个交点，不合乎题意．
2
所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 y kx．
y kx
由 得x2 kx10，
y  x2 1
设A  x ,y 、B  x ,y ，则x、x 是上述方程的两个实根，
1 1 2 2 1 2
于是x x k,x x 1．
1 2 1 2
又因为点M  0,1 ，
y 1 y 1  kx 1  kx 1  k2x x k  x x 1 k 2k 21
所以k k  1  2  1 2  1 2 1 2  1，
MA MB x x x x x x x x
1 2 1 2 1 2 1 2
所以MA MB，即DME 90，所以DE 为直径的圆经过点M ．
（2）解：由已知，设MA的斜率为k  k 0 ，则MA的方程为 y k x1，
1 1 1
y k x1 x 0 x k
由 1 解得 或 1 ，则点A的坐标为  k ,k2 1  ，
y  x2 1 y 1 y k2 1 1 1
1
1  1 1 
又直线MB的斜率为 ，同理可得点B的坐标为 , 1．
k  k k2 
1 1 1
1 1 1 1 1k2
所以S  MA MB  1k2 k  1    1 ，
1 2 2 1 1 k2 k 2 k
1 1 1
 8k
x  1

y k x1 x 0  14k2
由 1 得  14k2  x2 8k x0 ，解得 或 1 ，
x2 4y2 40 1 1 y 1

4k2 1
y  1


14k2
1
 8k 4k2 1
则点D的坐标为 1 , 1 ，
14k2 14k2

1 1
1  8k 4k2 
又直线MB的斜率为 ，同理可得点E的坐标 1 , 1 ，
k 4k2 4k2 
1 1 1
 
1 1 8 k 1 8 k 32 1k2 k
于是S  MD  ME  1k2 1  1  1  1 1 ，
2 2 2 1 14k2 k2 4 k2  14k2  4k2 
1 1 1 1 1
  
S 14k2 k2 4 1  4  1  4  25
因此 S 1  6 1 4k2 1  64   4k 1 2 k2 17   64    2 4k 1 2 k2 17    64 ，
2 1 1 1
学科网（北京）股份有限公司 94
当4k2  时，即当k 1时，等号成立，
1 k2 1
1
25 25 
所以 ，所以的取值范围为

, ．
64 64 
学科网（北京）股份有限公司 10