文档内容
2025~2026 学年上学期“六校联谊”高二期中考试数学
（试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上
的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用 0.5mm 的黑色字迹签
字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，请将答题卡上交．
4．本卷主要命题范围：必修第二册第九章和第十章，选择性必修第三册．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 垃圾分类是保护环境、改善人居环境、促进城市精细化管理、保障可持续发展的重要举措，现将 3 袋垃
圾随机投入 4 个不同的垃圾桶，则不同的投法有（ ）
A. 7 种 B. 12 种 C. 64 种 D. 81 种
【答案】C
【解析】
【分析】因为每袋垃圾均有 4 个垃圾桶可以选择，结合分步乘法计数原理运算求解.
【详解】因为每袋垃圾均有 4 个垃圾桶可以选择，不同的投法有 种.
故选：C.
2. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按 的
比例录取，若某年会试录取人数为 400，则中卷录取人数为（ ）
A. 40 B. 70 C. 110 D. 150
【答案】A
【解析】
【分析】依题意，求出中卷录取的比率，再根据会试录取人数即可求得中卷录取人数.
【详解】依题意，中卷录取的比率为： ，
故会试录取人数为 400 时，中卷录取人数为 .
故选：A.
第 1页/共 13页3. 某小组有 4 名男同学和 3 名女同学，从中任选 3 名同学去参加座谈会，则与事件“3 名同学全是女生”是对
立事件的是（ ）
A. 恰有 1 名同学是女生 B. 恰有两名同学是女生
C. 至少有 1 名同学是男生 D. 至少有 1 名同学是女生
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知，结合对立事件的定义写出已知事件的对立事件，即可得.
【详解】由对立事件的定义知，与事件“3 名同学全是女生”是对立事件的是事件“3 名同学全至少有 1 名男生”.
故选：C
4. 一批产品中次品率为 10%，随机抽取 1 件，定义 ，则 （ ）
A. 0.05 B. 0.1 C. 0.8 D. 0.9
【答案】B
【解析】
【分析】由均值的性质即可求解.
【详解】 .
故选：B.
5. 某校举办运动会，某班级打算从 5 名男生与 4 名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则
不同的选派方法数为（ ）
A. 20 B. 35 C. 50 D. 60
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步乘法原理结合条件即得.
【详解】根据分步乘法原理由题可得不同的选派方法数为 (种).
故选：D.
6. 某养猪场圈养了 1000 头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量 （kg）
服从正态分布 ，当猪的重量大于 90kg 时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（
）
（参考数据：若 ，则 ，
第 2页/共 13页）
A. 683 B. 841 C. 977 D. 955
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可知： ，则 ，结合正态分布的 原则分析求解.
【详解】由题意可知： ，则 ，
可得 ，
所以半年后即可出栏的猪的数量约为 .
故选：C.
7. 已知(1＋2x)8 展开式的二项式系数的最大值为 a，系数的最大值为 b，则 的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二项式系数的性质求得 ，系数的最大值为 求得 ，从而求得 的值．
【详解】由题意可得 ，又展开式的通项公式为 ，
设第 项的系数最大，则 ，即 ，
求得 或 6，此时， ， ，
故选：A．
【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果 n 是奇数，最大的就是最中间一个，如果 n 是偶数,最大的
就是最中间两个；
求系数的最大项时：设第 r+1 项为系数最大项，需列出不等式组 ，解之求得 .
8. 为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支
教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望
第 3页/共 13页中学，则不同的分配方法有（ ）种.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】采用分类与分步计数原理，先排丙共有 种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一
所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果.
【详解】先将丙安排在一所学校，有 种分法；
若甲、丙在同一所学校，那么乙就有 种选法，
剩下 3 名教师可能分别有 3、2、1 人在最后一所学校（记为 X 校），
分别对应有 1（3 人均在 X 校）、 （2 人在 X 校，另 1 人随便排）、
（1 人在 X 校，另 2 人分在同一所学校或不在同一所学校），
共 种排法；
若甲、丙不在同一所学校，则甲有 种选法，
若乙与丙在同一所学校，则剩下 3 名教师按上面方法有 19 种排法；
若乙与丙不在同一所学校，则有剩下 3 人可分别分为 1、2、3 组，
分别有 、 、 种排法，故共有：
种排法.
故选：B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列抽查，适合抽样调查 是（ ）
A. 进行某一项民意测验
B. 调查某化工厂周围 5 个村庄是否受到污染
C. 调查黄河的水质情况
D. 调查某药品生产厂家一批药品的质量情况
【答案】ACD
第 4页/共 13页【解析】
【分析】根据抽样调查的定义逐项判断可得答案.
【详解】对于 A，由于民意测验的特殊性，不可能也没必要对所有的人都进行调查，因此也是采用抽样调
查的方式，故 A 正确；
对于 B，适合全面调查，故 B 错误；
对于 C，因为无法对所有的黄河水质进行全面调查，所以只能采取抽样调查的方式，故 C 正确；
对于 D，对药品的质量检验具有破坏性，所以只能采取抽样调查，故 D 正确；
故选：ACD.
10. 在二项式 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A. 常数项为 B. 含 x 的系数为
C. 所有的二项式系数之和为 64 D. 所有项的系数之和为
【答案】BC
【解析】
【分析】求出指定项可判断 A 和 B，利用二项式系数的性质可判断 C，利用赋值法求出展开式系数和可判
断 D.
【详解】在二项式展开式中，常数项为 ，所以 A 错误；
含 x 的项的系数为 ，B 正确；
所有的二项式系数之和为 ，C 正确；
令 ，可得所有项的系数之和为 1，D 错误．
故选：BC．
11. 设 是一次随机试验中的两个事件，且 ，则（ ）
A. 相互独立 B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用条件概率、独立事件、对立事件、互斥事件的概率公式计算逐项判断可得答案.
第 5页/共 13页【详解】对于 A，由题意可知 ，则 ，
因此 ，故 A 正确；
对于 B， ，
，故 B 正确；
对于 C， ，所以 ，
因此 ，故 C 错误；
对于 D， ，因此
，
即 ，故 D 正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知四位数 ，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.
【详解】 任意交换两个数的位置之后有： ， ， ， ， ， ，共 种，
两个奇数相邻有 ， ， 共 种，
所以两个奇数相邻的概率为 .
故答案为：
13. 若某次调查样本数据为 1，a，5，y，7，且 a，y 是方程 的两根，则这个样本的方差是______
．
【答案】4
第 6页/共 13页【解析】
【分析】根据给定条件，利用平均数及方差的定义列式计算.
【详解】由 是方程 的两根，不妨令 ， ，样本平均数为 ，
所以这个样本的方差为 .
故答案为：4
14. 某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为 ，假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完《三
国演义》的概率分别为 ， ， ，若从该中学三个年级的学生中随机选取 1 名学生，则这
名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于 ，已知该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初
二的学生阅读完《三国演义》的概率，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据全概率公式得到不等式求出 的范围，再结合 ，从而得解.
【详解】若从该中学三个年级的学生中随机选取 1 名学生，
则这名学生阅读完《三国演义》的概率为
，解得 ，
因为该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，所以
，
故 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了 100 根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的
重要指标），将所得到的数据分成 7 组： ， ， ， ， ， ，
（棉花纤维的长度均在 内），绘制得到如图所示的频率分布直方图．
第 7页/共 13页（1）求 的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；
（2）估计棉花纤维的长度的 75%分位数．
【答案】（1） ，众数为 ，平均数 ；
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图解得 ，再求出众数及平均数即可；
（2）设棉花纤维的长度的 75%分位数为 ，所以 即可求解．
【小问 1 详解】
解：由频率分布直方图知 ，
解得 ．
最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为 ．
平均数
；
【小问 2 详解】
解：设棉花纤维的长度的 75%分位数为 ，
所以 ，解得 ．
16. 为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取 1000 名大学生进行统
计，得到如下 列联表：
男大学生 女大学生 合计
关注原创音乐剧 250 300 550
不关注原创音乐剧 250 200 450
第 8页/共 13页合计 500 500 1000
（1）从关注原创音乐剧的 550 名大学生中任选 1 人，求这人是女大学生的概率.
（2）试根据小概率值 的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理
由.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）
（2）有关联，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接计算概率即可.
（2）计算 ，对比数据得到答案.
【小问 1 详解】
从关注原创音乐剧的 550 名大学生中任选 1 人，这人是女大学生的概率为 .
【小问 2 详解】
零假设为 ：是否关注原创音乐剧与性别无关联.
根据列表中的数据，经计算得到 ，
当 时， ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为是否关注原创音乐剧与性别有关联.
17. 某研究小组为了解青少年的身高与体重的关系，随机从 15 岁人群中选取了 9 人，测得他们的身高（单
位：cm）和体重（单位：kg），得到如下数据：
第 9页/共 13页样本号 均
1 2 3 4 5 6 7 8 9
值
身高 165 157 156 173 163 159 177 161 165 164
体重 53 46 48 56 57 49 60 45 54 52
（1）若两组变量间的样本相关系数 满足 ，则称其为高度相关，试判断青少年身高与体重是否
高度相关，说明理由（ 精确到 0.01）；
（2）建立 关于 的经验回归方程，并预测某同学身高为 时，体重的估计值（保留整数）.
参考数据： ， ， ， ， .
参考公式：样本相关系数 ，经验回归方程 中斜率和截距最小二乘
估计公式分别为： ， .
【答案】（1）相关，理由见解析
（2） ，身高为 的某同学，体重大概为
【解析】
【分析】（1）根据题意，由相关系数 的公式代入计算，即可判断；
（2）根据题意，由最小二乘法公式代入计算，分别求得 ，然后代入计算，即可得到结果.
小问 1 详解】
.
因为 （或 ），
第 10页/共 13页所以 ，即身高与体重间是高度相关的；
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ，
所以体重关于身高的回归方程为 ，
所以当 时， .
即某同学身高为 时，体重大概为 .
18. 举办网络安全宣传周､提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为提高广大学生
的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队 2 人，每人回答一个问题，
回答正确积 1 分，回答错误积 0 分.甲､乙两个班级的代表队在决赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率
均为 ，乙队两人回答问题正确的概率分别为 ，且两队每个人回答问题正确的概率相互独立.
（1）求甲队总得分为 1 分的概率；
（2）求两队积分相同的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据题意可知甲队得 1 分，则一人回答正确，另一人回答错误，结合独立事件概率乘法公式运
算求解；
（2）根据题意可得甲、乙得分的概率，分别求两队积分同为 0 分，1 分，2 分的概率，结合独立事件概率
乘法公式运算求解.
【小问 1 详解】
记“甲队总得分为 1 分”为事件 A，甲队得 1 分，则一人回答正确，另一人回答错误，
所以 ；
【小问 2 详解】
第 11页/共 13页由题意可知：甲队积 0 分，1 分，2 分的概率分别为 ，
乙队积 0 分，1 分，2 分的概率分别为 ，
记两队积分同为 0 分，1 分，2 分的分别为事件 ，
因为两队得分相互独立，互不影响，
则 ，
所以两队积分相同的概率为 .
19. 设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的 5 个球，其中甲箱有 3 个蓝球和 2
个黑球，乙箱有 4 个红球和 1 个白球，丙箱有 2 个红球和 3 个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出 2
个球，若从甲箱中摸出的 2 个球颜色相同，则从乙箱中摸出 1 个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出 2 个球；
若从甲箱中摸出的 2 个球颜色不同，则从丙箱中摸出 1 个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出 2 个球.
（1）若最后摸出的 2 个球颜色相同，求这 2 个球是从乙箱中摸出的概率；
（2）若摸出每个红球记 1 分，每个白球记 0 分，用随机变量 表示最后摸出的 2 个球的分数之和，求 的
分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）首先求出从甲箱中摸出的 2 个球颜色相同与不相同的概率，记事件 为“这 2 个球是从乙箱中
摸出的”， 为“最后摸出的 2 个球颜色相同”，根据条件概率公式计算可得；
（2）依题意 的可能取值为 、 、 ，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【小问 1 详解】
依题意从甲箱中摸出的 2 个球颜色相同的概率 ，
从甲箱中摸出的 2 个球颜色不相同的概率 ，
记事件 为“这 2 个球是从乙箱中摸出的”， 为“最后摸出的 2 个球颜色相同”，则 .
又因为 .
第 12页/共 13页，
所以 .
【小问 2 详解】
依题意可得 的可能取值为 、 、 ，
所以
，
，
所以 的分布列为：
所以
