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2024年下学期望城区第二中学高三入学考试
数 学
本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知角 的顶点与原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，它的终边过点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量 在 方向上的投影向量的模为 ，向量 在 方向上的投影向量的模为1，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
3．在 中，点 在 上，且 ，点 是 的中点，若 ， ，则 等于
A.（-2,7） B.（-6,21） C.（2，-7） D.（6，-21）
4．函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则函数 （ ）
A．以 为周期 B．最大值是1
C． 是函数的一个对称中心 D．既不是奇函数也不是偶函数
5．如图，在 中， 是 边上的点，且满足 ， ， ，则
高三数学试题（第1页，共2页）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．0
6．已知函数 有唯一的极值点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7． 中， ， ， 是 外接圆圆心，是 的最大值为（ ）
A．1 B． C．3 D．5
8．如图，已知椭圆 和双曲线 具有相同的焦点 ， ，A、B、C、D是它们的公共点，且都在圆
上，直线 与x轴交于点P，直线 与双曲线 交于点 ，记直线 、 的斜率分别为 、 ，
若椭圆 的离心率为 ，则 的值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得
6分，部分选对得部分分，选错得0分.
9．不等式“ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
10．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（ ）
A．
B．若 ，则 的最小值为
C． 取最小值时
高三数学试题（第2页，共2页）D．设 ，则
11．已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交抛物线于 两点， 为坐标原点，若 ，则下
列说法正确的是（ ）
A． B．直线 的斜率为
C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入 的方格内，使三行，
三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数 填入 个方格中，使得每
行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做 阶幻方．记 阶幻方的对角线上的数字之和为 ，
如图三阶幻方的 ，那么 的值为 ．
13．由球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦PA，PB，PC，且 ， ， ，则球O的
半径 ．
14．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为双曲线右支上的一点， 为
的内心，且 ，则 的离心率为 ．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15．化简求值：
（1）化简： ；
（2）求 的值．
高三数学试题（第3页，共2页）
学科网（北京）股份有限公司16．如图，四棱锥 中， ， ，底面 中， ， ，
， 是线段 上一点，设 .
(1)若 ，求证： 平面 ；
(2)是否存在点 ，使直线 与平面 所成角为 ，若存在，求出 ；若不存在，请说明理由.
17．某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为 .检测
工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测.
(1)从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取 件进行检测，求这 件产品中的次品数 的分布列和数学
期望；
(2)若智能自动检测的准确率为 ，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率.
18．对于函数 ， （ ）， .
(1)当曲线 在点 处的切线方程为 时，求 、 ；
(2)当 ，且 时，过曲线 上任一点 作 轴的垂线 ， 与曲线 交于点 ，若 点在 点
的下方，求 的取值范围.
高三数学试题（第4页，共2页）19．以平面直角坐标系 的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知过点
且斜率为1的直线 与曲线 ： （ 是参数）交于 两点，与直线 ：
交于点 .
（1）求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
（2）若 的中点为 ，比较 与 的大小关系，并说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】由题意， .
故选：D.
2．B
【分析】根据投影向量的模长公式计算出 ，再由向量垂直关系列出方程，求出 ，得到夹角.
【详解】由题可得 所以 .
高三数学试题（第5页，共2页）
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 .
因为 ，所以 .
故选：B.
3.D
4．D
【分析】利用赋值法，分别令 、 ， 、 ， 、 ，得到 ，即可得
到 解析式，再逐项判断.
【详解】因为 且 ，
令 ， ，得 ①，
令 ， ，得 ②，
令 ， ，得 ③，
由①②③式得 ，
即 .
则 的最小正周期 ，故A错误；
高三数学试题（第6页，共2页）的最大值为 ，故B错误；
因为 ，故 关于 对称，故C错误；
因为 ，所以 ，且 ，
所以 既不是奇函数也不是偶函数，故D正确.
故选：D.
5．D
【详解】设 则 ， ，易知 ，由余弦定理可得
，解得 ，故 ,
故选D
6．A
【分析】由题，将问题转化为 在x∈(0,+∞)上无解，进而研究函数 性质可得 ，再求得
的取值范围.
【详解】函数 的定义域为(0,+∞)，
且 ，
因为函数 有唯一的极值点 ，
所以 有唯一正实数根，
因为 ，所以 ，故 在x∈(0,+∞)上无解，
所以 在x∈(0,+∞)上无解，
高三数学试题（第7页，共2页）
学科网（北京）股份有限公司记 ，x∈(0,+∞)，则有 ，
所以当x∈(0,1)时， ， 在(0,1)上单调递减，
当x∈(1,+∞)时， ， 在(1,+∞)上单调递增．
此时 时， 有最小值 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
故选：A
7．C
【分析】先利用正余弦定理和向量的数量积求得 的代数式，进而求得其最大值.
【详解】过点 作 、 ，垂足分别为 、 ，
如图，因为 是 外接圆圆心，则 、 分别为 、 的中点，
在 中， ，
所以 ，即 ，
即 ，
，
同理 ，
则
，
由正弦定理得 ，
高三数学试题（第8页，共2页）当且仅当 时取“=”，
所以 的最大值为 .
故选：C.
8．B
【分析】根据已知条件依次求得 两点的坐标，由此可求得 的值.
【详解】设椭圆标准方程为 ，双曲线的标准方程为 ，
则 ，由 ， ，
所以 ，所以椭圆方程可化为 ，
由 ，两式相减得 ，
，则 ，
根据对称性可知 关于原点对称， 关于 轴对称.
则 ，
直线 的方程为 .
将 代入 得 ，
高三数学试题（第9页，共2页）
学科网（北京）股份有限公司由 ，解得 或 ，
而 ， ，所以 ，
所以 ，所以双曲线方程可化为 ，
由 消去 并化简得 ，
设 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故选：B
【点睛】本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐标，主要是通过联
立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.在双曲线和椭圆中， 的关系是不相同
的.
9．AB
【解析】解不等式 ，利用必要不充分条件的定义即可求解.
【详解】解不等式 得： 或 ，
所以不等式“ ”的充要条件是 或 ．
根据必要不充分条件的定义可知：
不等式“ ”的一个必要不充分条件等价于：
或 是选项的真子集，所以选项 正确.
故选：AB.
【点睛】本题主要考查了必要不充分条件的定义，属于中档题.
10．AC
高三数学试题（第10页，共2页）【分析】对于A：根据题意列式求解 ，即可得结果；对于B：根据等差数列性质可得 ，再结合基本
不等式分析运算；对于C：根据等差数列通项的正负性分析判断；对于D：利用错位相减法分析运算.
【详解】对于选项A：设等差数列 的公差为 ，
由题意可得： ，解得 ，
所以 ，故A正确；
对于选项B：若 ，则 ，即 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
但 ，所以 的最小值不为 ，故B错误；
对于选项C：令 ，解得 ，
又因为 ，可得 的最后一个负项为第5项，且无零项，
所以 取最小值时 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，
则 ，
可得 ，
两式相减得：
，
所以 ，故D错误；
高三数学试题（第11页，共2页）
学科网（北京）股份有限公司故选：AC.
11．AD
【分析】依题意设 ， ，联立方程组，设而不求，利用韦达定理以及 可求出直线 的
斜率，可判断B的正误，利用抛物线焦半径公式可判断C，D的正误，再利用抛物线焦点三角形面积公式可判断A
的正误.
【详解】依题意，焦点 ，
易知，当 的斜率不存在时， ，与题意不符，故舍去，
所以，设 ， ，
联立方程组 ，①，
消 化简得， ，②，
其中 ，所以 ， ，
所以 ，解得 ，故B选项错误，
将 代入②中，可得 ，解得 ，
所以 ，故C选项错误，
，故D选项正确，
由①式，消 化简得 ，
所以 ， ，
所以 ，
把 代入得， ，故A选项正确，
高三数学试题（第12页，共2页）故选：AD.
12．369
【分析】直接利用等差数列的性质和求和公式得出结果．
【详解】解：根据题意得：幻方对角线上的数成等差数列，
则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加正好等于 ．
根据求和公式得： ，
则 ．
故答案为： ．
13．
【分析】以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体 ,由于点P，A，B，C都在球
O的球面上,得到长方体 内接于球O，对角线PF长就是球O的直径，即可得出半径．
【详解】以点P为一个顶点，PA，PB，PC为三条相邻棱，构造长方体 ．
由于点P，A，B，C都在球O的球面上，显然长方体 内接于球O，其对角线PF长就是球O的直径，
所以
故球O的半径
【点睛】一般地，如果半径为R的球O有两两互相垂直的三条弦PA，PB，PC，那么 为定值 ．
14．4
【分析】根据三角形内角平分线定理、三角形内心的性质，结合平面向量线性运算的性质、双曲线的定义和离心
率公式进行求解即可.
【详解】如图所示，在焦点三角形中， 处长 交 于点 ，
高三数学试题（第13页，共2页）
学科网（北京）股份有限公司因为 为 的内心，所以有 ，
，
因为 ，
所以有 ，
因此 的离心率为 ，
故答案为：
高三数学试题（第14页，共2页）【点睛】关键点睛：运用三角形内角平分线定理、平面向量线性运算、三角形内心的性质是解题的关键.
15．（1） ；（2）4.
【分析】（1）利用诱导公式和同角的三角函数基本关系式可求值.
（2）利用辅助角公式和倍角公式可求值.
【详解】（1） .
（2）原式 .
16．(1)证明见解析
(2)存在， 或 ，理由见解析
【分析】（1）取 中点 ，证明 ，由线线平行证得线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角问题.
【详解】（1）取 中点 ，连接 ，如图所示，
∵ ，∴ 为 中点， ，且 .
∵ ， ，
∴ 且 ，∴得四边形 为平行四边形，
∴ ， 平面 ， 平面 ，
故 平面 .
（2）取 中点 ，以 为原点，，平面 内过 点垂直于 的直线为 轴，过 点垂直平面 的直
线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系： ，
高三数学试题（第15页，共2页）
学科网（北京）股份有限公司设 ， ，∵
∴ ， ， ， ， .
∴ ， ， ，
解得： ， ， ，∴ ，∴ ，
设 ， ，又 ∴ ，
设平面 的法向量为 ∴ ，
令 ，解得 ， ，∴ ，
∴ ，
整理得： ，解得 或 ，
，所以 ，解得 或 .
17．(1)分布列见解析，
(2)
高三数学试题（第16页，共2页）【分析】（1）根据条件知 ，利用二项分布列及期望公式，即可求出结果；
（2）记事件 ：生产的产品为合格品，事件 ：智能自动检测为合格品，
则 ， ， ， ，再利用全概率公式，即可求出结果.
【详解】（1）由题知， ，
所以 的分布列为 ，
.
（2）记事件 ：生产的产品为合格品，事件 ：智能自动检测为合格品，
则 ， ， ， ，
所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为 .
18．(1) ，
(2)
【分析】（1）求得 和导数，运用导数的几何意义和切点的含义，可得 ， 的方程，解方程可得 ， 的值；
（2）由题意可得已知条件可转化为 ， ，由 转化为 的函数，由 ，求得单调
性和最值，即可得到所求范围．
【详解】（1）解：因为 ，则 ，
，则 ，
依题意得 ，解得 ．
（2）解：已知条件可转化为 ， ，
由 得 ，
高三数学试题（第17页，共2页）
学科网（北京）股份有限公司，
又 ，由 ；由 ；由 ．
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
则 ，
则有 ，又 得 ．
故 的取值范围是 ．
19．（1） ； （2） ，详见解析
【解析】（1）将方程 消参得到 ，即为曲线C的普通方程，利用极坐标与直角
坐标之间的转化关系，将 化为 ，即为直线 的直角坐标方程；
（2）联立 消去y得 ，设点 ， ，则由中点公式，得点M的坐
标是 ，由韦达定理得到点M的坐标是(4，3)，联立 ，求得点N的坐标是 ，
应用两点间距离公式和弦长公式求得 与 的值，比较可得结果.
【详解】（1）由 得：
，
故曲线C的普通方程是 ；
由 及公式 得 ，
高三数学试题（第18页，共2页）故直线 的直角坐标方程是 .
（2）因为直线 过点 且斜率为1，
所以根据点斜式得，直线 的方程为 ，即 .
曲线C： 是以点 为圆心， 为半径的圆，
联立 消去y得 .
设点 ， ，则由中点公式，得点M的坐标是 .
由韦达定理，得 ， ，所以 ，
所以点M的坐标是(4，3).
联立 解得 ，故点N的坐标是 .
所以由两点间的距离公式，得 .
所以由弦长公式，得弦长 .
因为 ，
所以 .故 .
【点睛】该题考查的是有关选修4-4的内容，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向直角坐
标方程的转化，直线被曲线所截弦长问题，两点间距离公式，属于中档题目.
高三数学试题（第19页，共2页）
学科网（北京）股份有限公司
