文档内容
2024届高三下学期开学摸底考（全国甲卷、乙卷通用）
文 科 数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．考试范围：高考全部内容。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出集合 后，由并集的性质运算即可得.
【详解】由 得 ，则 ，
所以 .
故选：A．
2．已知复数 满足 ，则 （ ）
A．3 B． C．7 D．13
【答案】B
【分析】由题设可得 ，令 ，且 ，结合复数乘方运算求参数，即可得模.
【详解】由题设 ，
令 ，且 ，则
所以 ，故 ，故 .
故选：B
3．若实数 ， 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．6
【答案】C
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 的最大值．
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设 得 ，
平移直线 ，
由图象可知当直线 经过点 时，直线 的截距最大，
此时 最大．
由 ，解得 ，即 ，
代入目标函数 得 ．
即目标函数 的最大值为
故选：C．
4．已知角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和差的正弦公式进行求解即可.
【详解】 ，
，
，
故选：B
5．执行下面的程序框图，则输出的 的值为（ ）
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】运行程序，然后计算输出的 的值.
【详解】运行程序， ，
，判断否， ，
，判断否， ，
，判断否， ，
以此类推，……，
，判断否， ，
，判断是，输出 .
故选：B
6．某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图
（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（ ）
A．甲、乙两家商店营业额的极差相同
B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同
C．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高
D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差
【答案】C
【分析】对于A，由极差的定义，即最大值减最小值即可判断；对于B，由中位数的定义判断即可（从小
到大排列数据）；对于C，直接由茎叶图即可判断；对于D，由方差公式运算即可判断.
【详解】A选项：甲商店营业额的极差为10，乙商店营业额的极差为8，故A错误；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B选项：甲商店营业额的中位数为32，乙商店营业额的中位数为30，故B错误；
C选项：甲商店营业额超过3000元的天数为3，乙商店营业额超过3000元的天数为2，故从营业额超过
3000元的天数所占比例来看，甲商店较高，故C正确；
D选项：甲商店营业额的平均值为 ，乙商店营业额的平均值为
，
故甲商店营业额的方差 ，
乙商店营业额的方差 ，则 ，故
甲商店营业额的方差大于乙商店营业额的方差，故D错误.
故选：C.
7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ， ，
又因为 ，
所以， ，
所以， ，即 .
故选：C.
8．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， ， ，则
（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】根据题目条件推出函数的一个周期 ，从而得到 ，再根据 和
得到答案.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ，
因为 ，故 ，
即 ，所以 ，
故 ，
故函数的一个周期 ，
故 ，
中，令 得， ，
因为 ，所以 ，
故 .
故选：A
9．如图是四棱锥 的平面展开图，四边形 是矩形， ， ， ，
， ，则在四棱锥 中， 与平面 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出直观图，证明出线面垂直，得到 即为 与平面 所成角，求出各边长，求出正切
值.
【详解】如图，四棱锥 中，
由题意得 ， ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
又四边形 是矩形，所以 ⊥ ，
因为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
故 即为 与平面 所成角，
其中 ，
， ，
所以 ，
又 ， ，由勾股定理得 ，
所以 .
故选：D
10．若 ， 是函数 的两个不同的零点，且 ， ， 这三个数可适当排序后
成等比数列，也可适当排序后成等差数列，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A．{ 或 } B．{ 或 }
C．{ 或 } D．{ 或 }
【答案】C
【分析】利用等差中项与等比中项的性质分类讨论解不等式即可.
【详解】依题意，由 ， 是函数 的两个不同的零点，
可知 ， 是一元二次方程 的两个不同的根，
由根据根与系数的关系，可得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ， ， 这三个数可适当排序后成等比数列，
所以只有 为该等比数列的等比中项才满足题意，
即 ，
因为 ， ， 这三个数可适当排序后成等差数列，
所以只有 不能为该等差数列的中项，
当 为等差中项时，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司根据等差中项的性质有 ，
当 为等差中项时，
根据等差中项的性质有 ，
综合 ，可得 ，
所以不等式 ，解得 或 .
故选：C
11．等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中， ，且M为圆O上一点， 的最大值为
（ ）
A．2 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示，结合三角函数性质求解作答.
【详解】以圆O的圆心O为原点，射线OA为x轴建立平面直角坐标系，连接 ，如图，
因为 ，则 ，
而圆O的方程为 ，设点 ，
于是 ，
，
当且仅当 ，即 时， ，
所以 的最大值为6.
故选：B
12．已知点 在曲线 上，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】D
【分析】 与 相切于点 ，由几何意义得到最小值为0，当 不与 重合时，作出
辅助线，由几何意义得到 ，求出最大值，从而得到取值范围.
【详解】 可看作 到直线 的距离，
可看作 到点 的距离，
如图所示，
联立 与 得， ，
则 ，此时 ，解得 ，故 ，
故 与 相切于点 ，
此时 取得最小值，最小值为0，
当 不与 重合时，过点 作 ⊥ 于点 ，
则 ，
数形结合可知，当 运动至 时， ，
此时 取得最大值，最大值为 ，
故 的取值范围是 .
故选：D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知函数 ，若直线 与曲线 相切，则 .
【答案】 /
【分析】根据切线的斜率求出切点，再代入切线方程即可得解.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】设切点为 ，
，
由题意可得 ，
因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
又 ，所以 ，
所以切点为 ，
则 ，解得 .
故答案为： .
14．已知具有公共焦点 的椭圆 与双曲线 在第一象限的交点为P，若 ，椭圆 与双曲
线 的离心率分别记作 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /4.5
【详解】设椭圆中长半轴长为 ，双曲线中实半轴长为 ，椭圆与双曲线的焦距为 ，
则 ，即可得 ，
由P是椭圆 与双曲线 在第一象限的交点，
可得 ，
两式相加得： ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故答案为：
15．已知三棱锥 的四个顶点均在同一球面上， 平面 ， ， ，且
与平面 所成角的正弦值为 ，则该球的表面积为 .
【答案】
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】求出三角形 外接圆圆心 ，过 作 平面 ，且 ，则 为三棱锥
的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积.
【详解】
如图根据题意， 平面 ，
所以 即为 与平面 所成角，则 ，
又因为 ， ，
所以 ，则 ,
又 ，即三角形 为直角三角形，
取 中点 ，则 为三角形 外接圆圆心，
取 中点 ，则 ，且 ，
所以 ，即 为三棱锥 的外接球球心，
其半径 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 .
故答案为：
16．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，且 ，则当边 取
得最大值时， 的周长为 .
【答案】 /
【分析】由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得 的值，结合角 的取值范围可得出角 的值，利
用正弦定理可求得 的最大值及其对应的 的值，进而可求得 的值，由此可得出 的周长.
【详解】因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，
因为 、 ，所以， ，则 ，故 ，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由正弦定理可得 ，
整理可得 ，
因为 ，当 时， 取最大值，且 的最大值为 ，
此时， ，
，所以， ，
因此，当边 取得最大值时， 的周长为 .
故答案为： .
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试
题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）某高中组织学生参加线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从参与答题的男生､女生中分别随
机抽取20名学生的得分情况（满分100分），得到如下统计图：
性别
男生 女生 合计
成绩
80分以上
80分以下
合计 20 20 40
(1)学校对得分80分以上的学生，颁发“知识达人”荣誉称号.根据直方图补全2×2列联表，并判断是否有
90%的把握认为是否为“知识达人”与性别有关.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)从成绩在 的学生中，按分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人，求恰有1人成绩
在 的概率.
附： ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【详解】（1）
性别
男生 女生 合计
成绩
80分以上 6 9 15
80分以下 14 11 25
合计 20 20 40
.................................................................................................................................................................2分
.......................................................................................2分
∴没有90%的把握认为是否为“知识达人”与性别有关................................................................6分
（2）按分层抽样成绩在 的抽2人，成绩在 的抽4人............................................7分
记成绩在 的2人为A，B，成绩在 的4人为C，D，E，F，
则从这6人随机抽取3人的所有情况为：
ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEF，共
20种情况，............................................................................................................................................9分
其中恰有1人成绩在 有ACD,ACE,ACF,ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,BDF,BEF，12种情况，
.................................................................................................................................................................10分
所以所求概率为 .................................................................................................................12分
18．（12分）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求数列 的通项公式．
【详解】（1）因为 ，
所以 ．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司两式相减，得 ．...................................................................................................2分
所以 .............................................................................4分
；...........................................................................................................................5分
（2）由（1）知 ①，
可得 ②， ．.............................................................................................................6分
因为 ， ，
所以 ，又 ，
所以
又由①②得 ．....................................................................................................................8分
所以 ，即 ，n为偶数，.............................................................9分
则当 ，且为奇数时， ，...........................................10分
又 符合上时，...............................................................................................................................11分
综合得 ．...............................................................................................................................12分
19．（12分）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 分别是
中点.
(1)判断直线 与平面 的位置关系；
(2)若 与平面 所成角为 ，求 到平面 的距离.
【详解】（1）设 是 的中点，连接 ，由于 是 的中点，
所以 ，..................................................................................................................1分
而 ，所以 ，所以四边形 为平行四边形，............3分
所以 ，由于 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ...............................................................................................................................5分
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）连接 ，....................................................................................................................................6分
由于 平面 ，所以直线 与平面 所成角为 ，
由于 平面 ，所以 ，........................................................................................7分
由于 ，所以 ，所以 .
由（1）得 平面 ，所以 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
， ，
对于三角形 ， ，
所以 为钝角，所以 ，
所以 ，................................................................................................10分
，设 到平面 的距离为 ，
由 得 ，
所以 到平面 的距离为 . ..................................................................................................12分
20．（12分）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)若 ，判断 的零点个数．
参考数据： ， ．
【详解】（1）当 时， ，则 ，.....................1分
易知 单调递增，且 ，.................................................................................................2分
所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ．.....................................................................................................................4分
（2）由题， ，又 ，所以 单调递增，...................................5分
因为 ，
所以存在唯一的 ，使 ， ...............................................................................7分
且当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增．
又 ，
所以 在 内有1个零点．......................................................................................................9分
令 ，则 ，
令 ，则 ．
所以 单调递增， ，
所以 单调递增， ，
即 ，故 在 内有1个零点．........................................................................11分
综上，当 时， 的零点个数为2．......................................................................................12分
21．（12分）设 分别为椭圆 : 的左、右焦点， 是椭圆 短轴的一个顶点，
已知 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图， 是椭圆上不重合的三点，原点 是 的重心
（i）当直线 垂直于 轴时，求点 到直线 的距离；
（ii）求点 到直线 的距离的最大值.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】（1）由题意得 ..............................................................3分
整理得 解得 ........................................................................................................4分
所以椭圆得方程为 .............................................................................................................5分
（2）（i）设 ,根据题意有 .
因为原点 是 的重心，所以 ，
即 ， ..............................................................................................................................6分
将 ，代入 解得 ，所以 .
所以 到直线 的距离为 .....................................................................................................7分
（ii）由（i）知当直线 斜率不存在时 到直线 的距离为 .
当 斜率存在时，设 所在直线方程为 ， .
由 得 ，
且 ，即 .
所以 . ...........................................................9分
因为原点 是 的重心，所以
所以 ，所以 ...............................................................10分
将点 代入椭圆方程得并整理可得
所以点 到直线 的距离为
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司...............................................................11分
综上所述，当 与 轴垂直时点 到直线 的距离最大为 ............................................12分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在直角坐标系 中，已知曲线 （其中 ），曲线 （ 为
参数， ），曲线 （t为参数， ）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系．
(1)求 的极坐标方程；
(2)若曲线 与 分别交于 两点，求 面积的最大值．
【详解】（1）因为曲线 （其中 ），且 ，...........1分
所以 的极坐标方程为 ，即 ..............2分
（2）由题意可知：曲线 （ 为参数， ）表示过坐标原点，倾斜角为 的直线，
所以曲线 的极坐标方程为 ；...................................................................................................4分
曲线 （t为参数， ），即 ，
表示过坐标原点，倾斜角为 的直线，所以曲线 的极坐标方程为 ；................5分
可得 ，.............7分
注意到 ，则 ，.............................................................................8分
可得 面积 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 面积的最大值为1...............................................................................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）已知函数 ．
(1)当 时，求不等式 的解集；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)若不等式 恒成立，求实数 的值．
【详解】（1）解：当 时， ．
当 时， ， 恒成立，故 ；............................................1分
当 时， ，由 ，得 ，故 ；.........................2分
当 时， ， 无解．..........................................................3分
故不等式 的解集为 ．............................................................................................5分
（2）由 ，得 ，
令 ， ，
作出函数 的图象及当 时函数 的图象，....................................................................7分
如图所示，
.................................................................................................................9分
数形结合可知当 时， 恒成立，故 ．...........................................................10分
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
