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浙江省宁波市 2021 中考数学试卷
试题卷Ⅰ
一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 在﹣3，﹣1，0，2这四个数中，最小的数是（ ）
A. ﹣3 B. ﹣1 C. 0 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】画出数轴，在数轴上标出各点，再根据数轴的特点进行解答即可．
【详解】这四个数在数轴上的位置如图所示：
由数轴的特点可知，这四个数中最小的数是﹣3．
故选A．
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据单项式乘以单项式和同底数幂的运算法则解答即可．
【详解】解：原式 ．
故选：D
【点睛】本题考查了整式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键．
3. 2021年5月15日，“天问一号”着陆巡视器成功着陆于火星乌托邦平原，此时距离地球约320000000千
米．数320000000科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的形式是： ，其中 ＜10， 为整数．所以 ， 取决于原数小数点的移动位数与移动方向， 是小数点的移动位数，往左移动， 为正整数，往右移动， 为负整数．本
题小数点往左移动到 的后面，所以
【详解】解：
故选：
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定
好 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．
4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图是从物体的正面看到的图形解答即可．
【详解】解：由于圆柱的主视图是长方形，长方体的主视图是长方形，所以该物体的主视图是：
．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于常考题型，熟知主视图是从物体的正面看到的图形是解题
关键．
5. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数 （单位：环）及方差（单位：环 ）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
9 8 9 9
1.6 0.8 3 0.8
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可．
【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取，
由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是9，
∴从甲，丙，丁中选取，
∵甲的方差是1.6，丙的方差是3，丁的方差是0.8，
∴S 2 ＜S 2 ＜S 2 ，
丁 甲 乙
∴发挥最稳定的运动员是丁，
∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁．
故选：D．
【点睛】本题重点考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离
平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平
均数越小，即波动越小，数据越稳定.
6. 要使分式 有意义，x的取值应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分式有意义，分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案．
【详解】解： 分式 有意义，故选：
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式有意义，则分母不为零”是解题的关键．
7. 如图，在 中， 于点D， ．若E，F分别为 ，
的中点，则 的长为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求
出AC长，再根据中位线定理可知EF= 。
【详解】解：因为AD垂直BC，
则△ABD和△ACD都是直角三角形，
又因为
所以AD= ，
因为sin∠C= ，
所以AC=2，
因为EF为△ABC的中位线，
所以EF= =1，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理
推导，是解决问题的关键．
8. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清洒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，
得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿
30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方
程组是解题的关键．
9. 如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，点B
的横坐标为2，当 时，x的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称的性质得到点A的横坐标为-2，利用函数图象即可确定答案．
【详解】解：∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称，
∵点B的横坐标为2，
∴点A的横坐标为-2，
由图象可知，当 或 时，正比例函数 的图象在反比例函数
的图象的上方，
∴当 或 时， ，
故选：C．
【点睛】此题考查正比例函数与反比例函数的性质及相交问题，函数值的大小比较，正确理解图象是解题
的关键．
10. 如图是一个由5张纸片拼成的 ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形
纸片的面积都为 ，另两张直角三角形纸片的面积都为 ，中间一张矩形纸片 的面积为 ，
与 相交于点O．当 的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据△AED和△BCG是等腰直角三角形，四边形ABCD是平行四边形，四边形HEFG是矩形可
得出AE=DE=BG=CG=a， HE=GF，GH=EF，点O是矩形HEFG的中心，设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF=b ，GH=EF= c，过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，可得出OP，OQ分别是 FHE和 EGF的中
△ △
位线，从而可表示OP，OQ的长，再分别计算出 ， ， 进行判断即可
【详解】解：由题意得，△AED和△BCG是等腰直角三角形，
∴
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠ABC，∠BAD=∠DCB
∴∠HDC=∠FBA，∠DCH=∠BAF，
∴△AED≌△CGB，△CDH≌ABF
∴AE=DE=BG=CG
∵四边形HEFG是矩形
∴GH=EF，HE=GF
设AE=DE=BG=CG=a， HE=GF= b ，GH=EF= c
过点O作OP⊥EF于点P，OQ⊥GF于点Q，
∴OP//HE，OQ//EF
∵点O是矩形HEFG的对角线交点，即HF和EG的中点，
∴OP，OQ分别是 FHE和 EGF的中位线，
△ △
∴ ，
∵
∵
∴ ，即而 ，
所以， ，故选项A符合题意，
∴ ，故选项B不符合题意，
而 于 都不一定成立，故 都不符合题意，
故选：A
【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S，S，S 之间的关
1 2 3
系．
试题卷Ⅱ
二、填空题（每小题5分，共30分）
11. 的绝对值是__________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据绝对值的定义计算即可．
【详解】解：|-5|=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了绝对值 的定义，掌握知识点是解题关键．
12. 分解因式： _____________．
【答案】x(x-3)
【解析】
【详解】直接提公因式x即可，即原式=x(x-3).
13. 一个不透明的袋子里装有3个红球和5个黑球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红
球的概率为________．
【答案】
【解析】【分析】用红球的个数除以球的总个数即可．
【详解】解：从袋中任意摸出一个球有8种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有3种结果，
所以从袋中任意摸出一个球是红球 概率为 ，
的
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数
÷所有可能出现的结果数．
14. 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图， 分别与 相
切于点C，D，延长 交于点P．若 ， 的半径为 ，则图中 的长为________
．（结果保留 ）
【答案】
【解析】
【分析】连接 OC、OD，利用切线的性质得到 ，根据四边形的内角和求得
，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，
∵ 分别与 相切于点C，D，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ 的长= （cm），
故答案为： ．
．
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及
弧长的计算公式是解题的关键．
15. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点 ，我们把点 称为点A的“倒数
点”．如图，矩形 的顶点C为 ，顶点E在y轴上，函数 的图象与 交于点
A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形 的一边上，则 的面积为_________．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边DE上时；②当点B
在边CD上时；分别求出点B的坐标，然后求出 的面积即可．
【详解】解：根据题意，
∵点 称为点 的“倒数点”，∴ ， ，
∴点B不可能在坐标轴上；
∵点A在函数 的图像上，
设点A为 ，则点B为 ，
∵点C为 ，
∴ ，
①当点B在边DE上时；
点A与点B都在边DE上，
∴点A与点B的纵坐标相同，
即 ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，
∴ 的面积为： ；
②当点B在边CD上时；
点B与点C的横坐标相同，
∴ ，解得： ，
经检验， 是原分式方程的解；
∴点B为 ，∴ 的面积为： ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关
键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析．
16. 如图，在矩形 中，点E在边 上， 与 关于直线 对称，点B的对称点F在
边 上，G为 中点，连结 分别与 交于M，N两点，若 ， ，则 的
长为________， 的值为__________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【 分 析 】 由 与 关 于 直 线 对 称 ， 矩 形 证 明 再 证 明
可得 再求解 即可得 的长； 先证明 可得：
设 则 再列方程，求解 即可得到答
案．
【详解】解： 与 关于直线 对称，矩形矩形
为 的中点，
如图， 四边形 都是矩形，设 则
解得：
经检验： 是原方程的根，但 不合题意，舍去，
故答案为：
【点睛】本题考查 的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数
的应用，分式方程的解法，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题有8小题，共80分）
17. （1）计算： ．
（2）解不等式组： ．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】（１）根据平方差公式和完全平方公式进行多项式乘法，再将结果合并同类项即可；
（２）先解出①，得到 ，再解出②，得到 ，由大小小大中间取得到解集．
【详解】解：（1）原式
．
（2）解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以原不等式组的解是 ．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算和解不等式组，关键在于平方差公式、完全平方公式以及不等式
基本性质的应用，特别注意不等式的基本性质3，不等号的方向要改变．
18. 如图是由边长为1的小正方形构成的 的网格，点A，B均在格点上．
（1）在图1中画出以 为边且周长为无理数的 ，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．
（2）在图2中画出以 为对角线的正方形 ，且点E和点F均在格点上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，只要使得AB的邻边AD的长是无理数即可；
（2）如图，取格点E、F，连接EF，则EF与AB互相垂直平分且相等，根据正方形的判定方法，则四边
形 为所作．
【详解】.解：（1）如图四边形 即为所作，答案不唯一．的
（2）如图，四边形 即为所求作 正方形．
【点睛】本题考查了在网格中作特殊四边形，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是准确作图的关键．
19. 如图，二次函数 （a为常数）的图象的对称轴为直线 ．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴： ，列方程解方程即可得到答案；
（2）由（1）得：二次函数的解析式为： ，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可
得平移方式及平移后的解析式．
【详解】解：（1） ．∵图象的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴二次函数的表达式为 ，
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为 ．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，
熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．
20. 图1表示的是某书店今年1～5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月
营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1～5月的营业总额一共是182万元，观察图1、图
2，解答下列向题：
（1）求该书店4月份的营业总额，并补全条形统计图．
（2）求5月份“党史”类书籍的营业额．
（3）请你判断这5个月中哪个月“党史”类书籍的营业额最高，并说明理由．
【答案】（1）45万元，见解析；（2）10.5万元；（3）5月份党史类书籍的营业额最高，见解析
【解析】
【分析】（1）用该书店1～5月的营业总额减去其它4个月的营业总额即可求出该书店4月份的营业总额，
进而可补全统计图；（2）用5月份的营业总额乘以折线统计图中其所占百分比即可；
（3）结合两个统计图可以发现：在5个月中4、5月份的营业总额最高，且1~3月份的营业总额以及“党
史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于4、5月份，故只需比较4、5月份“党史”类书籍的营业
额即可．
【详解】解：（1） （万元），
答：该书店4月份的营业总额为45万元．
补全条形统计图：
（2） （万元）．
答：5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元．
（3）4月份“党史”类书籍的营业额为： （万元）．
∵ ，且1~3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业总额的百分比都低于4、5月份，
∴5月份“党史”类书籍的营业额最高．
【点睛】本题考查了条形统计图和折线统计图，属于常考题型，读懂图象信息、熟练应用所学知识是解题
的关键．
21. 我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 始终平分同一平面内两条伞
骨所成的角 ，且 ，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意
图，此时伞圈D已滑动到点 的位置，且A，B， 三点共线， ，B为 中点，当时，伞完全张开．
（1）求 的长．
（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：
）
【答案】（1）20cm；（2）26.4cm
【解析】
【分析】（1）根据中点的性质即可求得；
（2）过点B作 于点E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出 ．利用角平分线的性
质求出∠BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵B为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）如图，过点B作 于点E．∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为 ．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，等腰三角形的三线合一的性质，线段中点的性质，角平
分线的性质，正确构建直角三角形解决问题是解题的关键．
22. 某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：
A方案 B方案 C方案
每月基本费用（元） 20 56 266
每月免费使用流量（兆） 1024 m 无限
超出后每兆收费（元） n n
A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出m，n的值．
（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x
（兆）之间的函数关系式．
（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？【答案】（1） ；（2） ；（3）当每月使用的流量超过
3772兆时，选择C方案最划算
【解析】
【分析】（1）m的值可以从图象上直接读取，n的值可以根据方案A和方案B的费用差和流量差相除求得；
（2）直接运用待定系数法求解即可；
的
（3）计算出方案C 图象与方案B的图象的交点表示的数值即可求解．
【详解】解：（1）
．
（2）设函数表达式为 ，
把 ， 代入 ，得
，
解得 ，
∴y关于x的函数表达式 ．
（注：x的取值范围对考生不作要求）
（3） （兆）．
由图象得，当每月使用的流量超过3772兆时，选择C方案最划算．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结
合的思想解答．
23. 【证明体验】
（1）如图1， 为 的角平分线， ，点E在 上， ．求证： 平分
．
【思考探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，F为 上一点，连结 交 于点G．若 ， ，
，求 的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形 中，对角线 平分 ，点E在 上，
．若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）根据SAS证明 ，进而即可得到结论；
（2）先证明 ，得 ，进而即可求解；
（3）在 上取一点F，使得 ，连结 ，可得 ，从而得 ，可得 ， ，最后证明 ，即可求解．
【详解】解：（1）∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 平分 ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ；
（3）如图，在 上取一点F，使得 ，连结 ．∵ 平分 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角
形和相似三角形，是解题的关键．
24. 如图1，四边形 内接于 ， 为直径， 上存在点E，满足 ，连结 并延长
交 的延长线于点F， 与 交于点G．（1）若 ，请用含 的代数式表列 ．
（2）如图2，连结 ．求证； ．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结 ， ．
①若 ，求 的周长．
②求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）① ；②
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理求得 ，再根据 ，求得 ，即可
得到答案；
（2）由 ，得到 ，从而推出 ，证得
，由此得到结论；
（3）①连结 ．利用已知求出 ，证得 ，得到 ，利用
中，根据正弦求出 ，求出EF的长，再利用 中，，求出EG及DE，再利用勾股定理求出DF即可得到答案；
②过点C作 于H，证明 ，得到 ，证明 ，得到
，设 ，得到 ，利用勾股定理得到 ，求得
，利用函数的最值解答即可．
【详解】解：（1）∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）①如图，连结 ．∵ 为 的直径，
∴ ．
在 中， ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵在 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵在 中， ，∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
②如图，过点C作 于H．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
当 时， 的最小值为3，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，
相似三角形的判定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是解题的关键．
