1996年数学(一)真题解析
一、填空题
(1)【答案】In 2.
［解］由=iim r(i=申=8,
z*8- \ jc — a / 工~8 \ x — a / 」
得 3q = 31n 2 9 即得 a = In 2.
⑵【答案】2jc+2y-3z = 0,
【解】 设所求的平面方程为Tt-.Ax+By + Cz + D = 0,
因为该平面经过原点，所以D = 0,
又因为该平面经过点(6, —3,2),所以6A-3B + 2C = 0,
又因为该平面与平面4无—y + 2z = 8垂直，则4A — B + 2C = 0,
3 3
解得3 = A,C =----A，故所求平面为re -Ajc + Ay-------Az = 0,即兀：2工+ 2》一 3n = 0.
(3) 【答案】夕=ex (C2 cos + C2 sin ^ ) + eJ (C. ,C2 为任意常数).
【解】 特征方程为A2 -2A + 2 = 0,特征根为入］池=1 士 i,
yf — 2yf + 2y = 0 的通解为夕=(C】cos jc + C2 sin x );
显然y = ex为方程yf — 2yf + 2y = ex的一个特解，
故 yf — 2yf + 2y = ex 的通解为夕=e" (C】cos x + C2sin x ) + ex (Cj ,C2 为任意常数).
(4) 【答案】 y.
【解】A 1
x + V y2 + z2
du 1
3y x + \/ y2 + z2 Vy2 + /
du 1 z
dz x + Vy2 z2 Vy2 + /
1 du I =0, 字 =寺，AB = {2,-2,1}
dj： 1 （1,0,1） 2 dy 1 （1,0,1） 3z \ 2
cosa =— 2 , COS 门 0 =—-— 2 ，cosy =T 1 5
则所求的方向导数为讐| 3u 1
cosa + — cos0 十— cos/ =—.
（i,o,i） I（1,0,1） dz I（1,0,1） L
(5)【答案】2.
1 0 2
【解】 因为| B | = 0 2 0 = 10H0,所以矩阵B可逆，
-1 0 3
由矩阵秩的性质得厂(AB) =r(A) = 2.
二、选择题
(1)【答案】(D).
x + ay
【解】
（工 + （工 + J/）29P a^x + j^)2 一 2(«z+y)(z + ay ) _ a ( jc + y) — 2( Jt + ay ) 9Q _ — 2y
3y (jc + j^)4 (h+j/)‘ '(j; + j/)3
由学=学得 a(.jc + y) — 2( j? + ay) = — 2y ,得 a = 2 9 应选(D).
ox dy
(2) 1答案】(E).
【解】 因为lim半竿= 1〉O,所以由极限保号性，存在8>0,当OV丨乂丨<5时，半竿>0,即厂Q)>0,
从而y'Q)在(一5,6)内单调递增.
(x) <C 0,x G (—5,0),
再由/(O) = 0得 得/(0)为/(^)的极小值，应选(B).
1/ (^) > 0,乂 6 (0,5)
(3) ［答案】(A).
【解》 因为正项级数工a”收敛，所以工a?”收敛,
” =1 " = 1
加2”得级数Y (― 1)" 收敛,
a 2n
” =1 I
绝对收敛，应选(A).
『解】FQ)= (j：2 —z2)/(z)dz = jc 2 —J z2/(z)dz, Ff (x ) = 2x J /'(£)dt,
0 0 0
由 lim 尸)=21im
丄工=lim@)T(°)=八0)工0彳骅=3.
工*~0 JC 3 x*0- X —0 X
(5)【答案】(D).
【解】将行列式按第一行展开，得
a! 0 0 b\
0 a2 b2 0
arAn +"Ai4 = aZii — 6iM14
0 63 5 0
b4 0 0
5
如 b2 0 0 b2
5 0 —b\ 0 63
0 0 ^4 b \ 0 0
=a1cz4 (a2a3 — b2b^ ) — bxb^ Ca2a3 — b2b3 )
= (a 1 tz4 — 6^4 ) (a2a3 — b2^3)9
应选(D).
(1)【解】 弧长I = 2 + r，2(9) dd 2 %/a2 (1 + cos )2 + a2 sin2 9 d9
0 J 0
* e
=2施a + cos 9 dd = 4a cos —d9
J 0 0 2
=8a \os|d 9_ =8a 2 cos tdt = 8a ・
0 2 0
(2)【解】令夕=fG ) = \/6 + h ,因为f'Q) = ― >0,所以©”｝单调.
2丿6 +匸
由G = 10〉孔=4得数列&” ｝单调递减，
再由工” >0得数列&”｝单调递减且有下界，故数列&」收敛.
令 limjc” = A ,由 z卄1 =5/6 + jc„ 得 A = \/6 + A，解得 A = 3.
四、
(1)【解】 令Si ：n = 1(j:2 + y2 W 1),取下侧，则
”(2工 + n ) dy dz + n dr dy = 分 (2j: z)dydz zdxdy — jj (2x z)dydz zdx dy 9
s S+S] S]
由高斯公式得
© ( 2工 + n ) dy dz + n dr dy = _3「dz J ] 3 k
dv = ' dzdy = —3 k zdz =----—
J 0 o 2
S+S] n 2+/w '
』(2«z + n ) dy dz + n dr djy =— Jj dr dy =—兀,
si 2+/<i
故』(2乂 + n ) d』dz + n dr dy =— 7C
~2
s
3z dz du 3z 3v dz du dz dz 3z
(2)【解】 •----------• — = — 2-------r a — «
a? du d-v dx d y dv d y du dv
津z _ d2 Z d…u . 2d 2 〜z 一dp I z 九 An dv 語+ 2競 +养,
• — —I—----------- • — —I ----------- • ， —I— ‘ •———
3工2 33工jc dduu^^Vv dx 3ydu djc dv2 djC
d2 Z = ~2^ + a 去_2去+ a 养=-2 养+(「2)猛d2 Z + ° d2 Z
3j：dy dy2
d2 Z d2 Z du dd22 ZZ dv \ 32 Z 0% / N dv \
-2 du2 By dudy dy 丿 + a dydu 3y dy2 dy 丿
dyz
卜2f> 競)+a(-2 去a2 + a d2 z
-2
3vdu dy2
4养-也競+川舒
代入整理得
g2 q2
(5a + 10) -— F (— a2 + a + 6) -■―7 = 0,
dydu dy
5a + 10 # 0,
于是・+ + 6“解得<2 = 3.
五、【解】 令 S(z) = 丫 ---(— 1 V 工 VI),
” =2 n —1
则 SQ)= *(g 土_lh命)'
2
S(0) = 0
当H H 0时,
1 Xn+1 X \~y Xn 1 p Xn
S(H)= y S
n = 2
00 n
-yln(l-x)-^(S X
-------X
1九1 J7 1 JC
ln(l-^) + T + T，
2x 2
故乞7P^T7F = S F t -
nn == 22 I
六、【解】 曲线y =于（工）在点（无，于（乂））的切线为
丫一于（工）=厂（h）（X —工），
令灭=0得丫= /（J7 ） — jcf\x ）,
亡由 题FT?? 意得/口 /r( /x x) — jc fZ'/ (z «zX) = —1 I /'(t)dt,整理得 x/( j: ) — x2 =| /(Z )dz,
0
两边求导得 ff (x) + x ff\jc ) = 0,即[_x f\jc )]/ = 0,
c
解得 x/(x) = Ci，或 y'Q) = 故/Xz) = CJnr +C2 (C, ,C2 为任意常数).
X
七、【证明】（1）由泰勒公式得
f 〃( W)
/(0) = y(c)+/'(c)(O — c)+ 丿 (0 —c)2, 0 V V c,
G
f 〃( £ )
y(i)= /(c)+ /(c)(i-c)+ 2> (1-c)2,
两式相减得
c2 (1 _ c)2
厂(c) = /(l)-/(O)+y//(^1)---------------r(e2).
r2 (1 — r)2
(2)| /G) | <| /(l) |+| y(o)\+— I "1)1+—-— I r(?2)I
= 2a+务 2+(1 —
由 c2 W c , (1 — c)? W 1 — c 得 c? +(1 — c)? W 1,故 | 十(c) | W 2a + 专・
八、【证明】(1)令= k,
A2 = (E —§J)(E —爲T) = E + (& — 2)耸 T,
则A2 = A的充分必要条件是怡=1,即§它=1.
(2)方法一 当§它=1时，由=人得A(E — A) = O,从而r(A) + r(E—A)冬"
再由 r(A) + r(E -A) > r(E)="得 r(A) + r(E - A) = n,
因为g为非零向量，所以躬丁工O,从而E-A =乳丁 HO,艮卩r(E-A) ^1,
故r(A) <h,即A是不可逆矩阵.
方法二 令3 = U，矩阵b的特征值为儿== i,a2 = ... = A„ = 0,
矩阵A的特征值为小=0,心 A „ = 1,则 |a| = I e — b I = 0,
故r （A ） V 〃，即A不可逆.
5 一 1 3
九、【解】（1）令A = \-1 5 -3 ,X = 工2 ，则产（工1 ,工2，工3）= XtAX ,
3 - 3 无3
因为二次型的秩为2,所以丨A 1=0,
5 _ 1 3
由 | A | = -1 5 _ 3 =24c — 72 = 0,得 c = 3.
3 -3容易验证，此时A的秩是2. A的特征多项式为
A — 5 1 — 3
| AE - A | = 1 A -5 3 =A (A — 4)(入一9),
—3 3 A — 3
故所求特征值为入1 =0,入2 =4,入3 = 9.
(2)二次型f的标准形为 / = 4^2 + 9^3
由此可知/(X] ,x2,x3) = 1所表示的曲面是椭圆柱面.
十、填空题
3
⑴【答案】 y.
【解】 设A, = ｛抽取的为A厂产品｝,A2 = ｛抽取的为B厂产品｝,B = ｛抽取的为次品｝,
P (A!) = 0. 6, P CA2) = 0. 4 P (B | A!) = 0. 01, P (B | A2) = 0. 02,
P(A IE) — P(AW) P(人)PCBIAQ
则
11 P(B) PCAJPCB | A,) + P(A2)P(B I A2)
_ ______ 0. 6 X 0. 01______ _ _3_
—0. 6 X 0. 01 + 0. 4 X 0. 02 — T"
2
(2)【答案】
【解】令U = W_q，
因为£诃相互独立且都服从正态分布N 所以U〜N(0,l),
2
于是 E(怡一少 | ) = E( |U| )= __ du = T du
J 2低
=年“⑴=
J2x
十一、【解】(l)P{X = l,Y=l} = P{F = lq = l} = P{W = l}P{)? = l} = +，
P {X = 1,Y = 2} = 0, P {X = 1,Y = 3} = 0；
2
P {X = 2,Y = 1} = P{£ = 1, 7)= 2}+P{£ = 2, r/ = 1}=—,
P{X = 2,Y = 2} = P(e = 2,7 = 2} = P{e - 2}P{r] = 2} = *,
P {X = 2,Y = 3} = 0 ；
2
P {X = 3,Y = 1} = P{^ = 3,tj = 1} + P = 1,可=3}=—,
2
P {X = 3,Y = 2} = P{£ = 3,q = 2} + P{£ = 2,r/ = 3}=—,
P {X = 3 ,Y = 3} = ,故（X,Y）的联合分布律为
y
AV
1 2 3
1 — 0 0
9
2 1 °
2
9 9
2 2 1
3
T T T
（2）随机变量X的边缘分布律为
、9 9 9 '
E（X）= * +罟+ 罟= 22
故
T
