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第二章 导数与微分 第二节 函数的求导法则 主讲 武忠祥 教授一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理1 设 u(x),v(x) 都可导，则 1） (u  v)   u   v  2） (uv)   u  v  uv  u u  v  v  u 3） ( )   (v  0) 2 v v  例1 设 y  2 x  x ln x  3cos x  ln 2 ，求 y 例2 试证下列结论 (tan x)   sec 2 x (cot x)    csc 2 x (sec x)   sec x tan x (csc x)    csc x cot x二、反函数的求导法则 定理 2 设区间 I 上严格单调且 连续的函数 x  f ( y) 在 y 处可 导，且 f  ( y)  0 ，则它的反函数 y  f 1 (x) 在对应点可导,且 1 dy 1 ( f 1 )  (x)   f  ( y) dx dx dy 例3 求 y  arcsin x (x [1,1]) 导数1 1 (arcsin x)   (arccos x)    1  x 2 1  x 2 1 1 (arctan x)   (arc cot x)    1  x 2 1  x 2三、复合函数的求导法则 定理3（链式法则）设 在 可导， u  g( x) x y  f (u) 在对应 处可导，则 在 处可导，且 u y  f [g(x)] x dy dy dy du  f  (u)g  (x)   dx dx du dx 例4 求下列函数的导数 1 1） y  sin x 2 2） y  2cos 2 x x 4） 3） y  cot y  x  x  x 2 5） y  f (sin 2 x)  g(e x ) ，其中 f , g 可导四、基本求导法则与导数公式 1. 基本初等函数的导数公式 1） (C)   0 2） (x  )  x 1 3） (a x )   a x ln a 4） (e x )   e x 1 1 5）(log x)   6) (ln x )   a x ln a x 7) (sin x)   cos x 8) (cos x)    sin x 9) (tan x)   sec 2 x 10) (cot x)    csc 2 x 11） (sec x)   sec x tan x 12） (csc x)    csc x cot x 1 1 13) (arcsin x)   14) (arccos x)    1  x 2 1  x 2 1 1 15) (arctan x)   16) (arc cot x)    1  x 2 1  x 22. 函数的和、差、积、商的求导法则 设 都可导，则 u(x),v(x) 1） (u  v)   u   v  2） (uv)   u  v  uv  u u  v  v  u 3） ( )   (v  0) 2 v v 3. 反函数的求导法则 设区间 I 上严格单调且 连续的函数 x  f ( y) 在 y 处可导,且 f  ( y)  0 ，则它的反函数 y  f 1 (x) 在对应点可导，且 1 dy 1 ( f 1 )  (x)   f  ( y) dx dx dy4. 复合函数求导法则 设 u  g( x) 在 x 可导， y  f (u) 在对应 u 处可导，则 在 处可导，且 y  f [g(x)] x dy dy dy du  f  (u)g  (x)   dx dx du dx 例5 求下列函数的导数 x x 1．y  xarcsin  arctan x  x (arcsin ) 1  x 1  x 2．y  (1  x 2 ) sin x内容小结 1. 基本初等函数的导数公式 2. 函数的和、差、积、商的求导法则 3. 反函数的求导法则 4. 复合函数求导法则作业 ： ； ； ；（单号小题） P94 6 7 8 ； 9 14